第二章：小波分形态的构造方法与数学特性

一、基本构造思路

小波函数是一类具有紧支撑和多尺度结构的基函数族，在信号分析与函数展开中具有重要作用。与传统的傅里叶基不同，小波可同时兼具空间局域性与频率定位性，使其在分形结构建模中具有天然优势。

我们采用如下形式构造分形波函数：

其中：

• $phi_{j,k}(x)$ 为在尺度 $j$ 和位置 $k$ 上的小波基函数（如 Haar 或 Daubechies）

• $c_{j,k}^{(alpha)}$ 为调制系数，满足尺度衰减律 $|c_{j,k}|^2 sim 2^{-jalpha} f(k)$

• 参数 $alpha$ 控制各尺度上的能量分布，直接影响波函数的自相似强度与分形特征

该构造允许通过调整 $alpha$ 实现从光滑态到强振荡态的连续变形，具备高可控性。

二、分形性调控机制

1. 振荡强度与空间稀疏度

随着 $alpha$ 减小：

• 高阶小波分量贡献增加，波函数呈现强烈振荡行为

• 实空间支撑区域趋于稀疏化，能量分布更集中于局部区域

这种行为直接体现了分形几何中的“孔洞性”与非均匀性，是后续进行维度测度分析的基础。

2. 自相似性与尺度不变特性

小波构造中每一层级的结构均为高阶振荡函数的组合，其在不同尺度上呈现类似模式分布，构成了数值上的自相似行为。通过 $alpha$ 的调控，可以放大或削弱这种尺度不变性。

三、分形维度测度方法

我们采用 $epsilon$-支撑集的 Hausdorff 维度作为分形度量：

1. 定义

令支撑集为：

其中 $epsilon > 0$ 为设定阈值。我们定义其 Hausdorff 维度为：

其中 $N(epsilon_n)$ 为在尺度 $epsilon_n$ 下覆盖 $text{supp}_epsilon(psi)$ 所需的最小区间数。

2. 模拟关联

若调制系数满足 $|c_{j,k}|^2 sim 2^{-j beta}$，则支撑区域在尺度 $j$ 上的密度亦呈指数稀疏。此时有：

从而 $alpha$ 间接控制分形维度：$d_f approx alpha$，实现结构-参数之间的桥接。

四、数值构造与可视化示例

为了更直观地呈现结构差异，可进行如下模拟：

• 构造 $psi_alpha(x)$ 在 $alpha = 0.3, 0.6, 0.9$ 下的图像

• 观察实空间支撑区域的变化，以及波函数在不同区间的振荡强度

• 计算对应支撑集的维度变化，验证 $d_f$ 与 $alpha$ 的单调关系

这些示例在第3章图像中已有初步呈现，后续将在第5章中与动力学指标进行关联分析。