📘 第五章：分形初态下的量子动力学行为分析

5.1 初态构造与分形特征

我们采用广义 Weierstrass 函数构造具有控制性分形维度的初态波函数，其定义如下：

其中，参数 $alpha$ 控制分形粗糙度，$beta$ 保证收敛性。通过调整 $alpha$ 可获得从光滑态到高度分形态的连续过渡。图 5.1 展示了不同 $alpha$ 下波函数形貌，明确分形度与空间结构之间的关系。

图 5.1：初始波函数的空间形貌（左：$alpha=0$，中：$alpha=0.5$，右：$alpha=1.5$）

此外，我们通过谱统计与分形维数计算（如 box-counting）验证其多尺度特性，并讨论其与能量谱分布之间的关联。

5.2 局域性维持与扩散行为指标分析

为评估分形初态在演化过程中的扩散特征，我们引入以下量化指标：

5.2.1 均方位移（Mean Square Displacement, MSD）

衡量波包空间扩展速率：

标准扩散行为满足 $langle x^2(t) rangle sim t^gamma$，其中 $gamma=1$ 为线性扩散，$gamma<1$ 表示亚扩散。分形初态普遍呈现亚扩散行为，如图 5.2 所示，$alpha=1.5$ 的 MSD 增长缓慢，表明空间演化受分形结构抑制。

图 5.2：不同分形参数 $alpha$ 下的 MSD 随时间变化曲线

5.2.2 参与度（Participation Ratio, PR）

参与度量化波包分布体积：

初态分形度越高，其 PR 值越低，表征更强的局域性。随时间演化，分形初态 PR 增长缓慢，表现出局域性维持能力。如图 5.3 所示，$alpha=1.5$ 的 PR 曲线在整个演化过程中上升幅度最小。

图 5.3：不同初态下参与度 PR 的演化趋势

5.3 谱响应与保真度分析

为了刻画分形态在能量谱空间中的行为，我们考察以下指标：

5.3.1 保真度（Fidelity）

衡量初始态与演化态的重合程度：

高保真度表示态演化稳定不偏离初态，分形初态在某些势场下可维持高保真度，对应保守演化路径。图 5.4 展示了不同态保真度随时间的衰减趋势。

图 5.4：不同 $alpha$ 初态的保真度演化曲线

5.3.2 谱投影与本征态展开

我们分析态在系统本征态空间中的展开：

谱重分布可揭示态是否集中在某类本征态上。分形初态往往激发多尺度分布，呈现非局域谱响应。如图 5.5 所示，不同初态在谱空间中的密度图表现出截然不同的展开结构。

图 5.5：谱投影分布热图（横轴为本征能级，纵轴为投影概率）

5.4 动力学行为总结与指标体系展望

我们系统分析了分形初态在量子系统中的动力学行为。总体而言：

• 局域性维持： PR 指标揭示分形态强局域性；

• 扩散减缓： MSD 显示亚扩散现象；

• 谱响应差异化： 保真度与谱投影揭示分形诱导的演化路径选择；

此外，所提指标体系具备可拓展性，未来可应用于：

• 高维量子系统；

• 非线性势场与耗散系统；

• 分形控制的量子信息存储与传输机制。