打牌學數學——懂概率的mm有福了

在網上打牌的mm有時相當苦惱，追求者過多，令mm無所適從。假設有n個gg排隊等
候mm挑選，選哪個好呢？其實在數學上，這是一個最優選擇問題，最佳策略如下：

首先，跟排在前面的[n/e]個gg網戀，全據（因為是全據，所以這個階段網戀目的
不在於選哪個gg，而是藉此判斷gg的品質，以便和後來者比較）；接着，跟後面的
gg網戀，如果他比前面[n/e]個gg都優秀，選這個gg，否則繼續；如果挑剩最後一
個了，那無可奈何，只好選這個gg。

如果n較大，mm用以上策略選到最優秀gg的概率是1/e（隨機挑選的概率只有1/n）。
e是一個數學常數，約等於2.718，所以如果有20個gg排隊等候挑選，就拒掉前面的
7個，選到最優秀gg的概率大約是36%。

證明如下：

假設放棄前面r位gg，

A={選中最好的gg}
Bk={第k位gg被選中}
Ck={第k位gg是最優秀gg}

P(A) = sigma(r,n)(P(BkCk)) = sigma(r,n)(P(Bk|Ck)P(Ck))，

其中P(A)是選到最優秀gg的概率；sigma(r,n)是一個數學符號，表示疊加；P(BkCk)
是第k位gg被選中且他是最優秀gg的概率；P(Bk|Ck)是已知第k位gg是最優秀gg，他
被選中的概率；P(Ck)是第k位gg是最優秀gg的概率。

P(Ck)=1/n，這很顯然；P(Bk|Ck)等於多少，就要費一點腦筋了。如果第k位gg是最
優秀gg，怎樣才能選中他呢？前面k-1位gg中最優秀的那位必須在前面r-1位中才行，
否則，因為選擇策略的緣故（跟後面的gg網戀，如果他比前面gg都優秀，選這個gg），
輪不到第k位，mm就作決定了。所以P(Bk|Ck)=(r-1)/(k-1)。

把P(Ck)和P(Bk|Ck)的值代入P(A)，得

P(A) = sigma(r,n)(1/n×(r-1)(k-1)) = (r-1)/n×sigma(r,n)(k-1) =
(r-1)/n×(1/(r-1)+1/r+1/(r+1)+……+1/(n-1))

現在問題就是求(r-1)/n×(1/(r-1)+1/r+1/(r+1)+……+1/(n-1))的最大值，計算
需要用到微積分，具體步驟就省略了。最後，可以近似得到：r=n/e, P(A)=1/e。
命題得證。

後記：

要建立數學模型，必須將紛繁複雜的現實簡化為數學符號，寫作此貼時因過於注重
數學證明，而把簡化的步驟省略了，導致很多mm看不懂，十分遺憾。現補充如下：

1. gg是無限多的，但mm為了在有生之年把自己嫁出去，網戀的gg數量只能是有限
的。mm心中有桿秤，為網戀的gg數量設置一個上限n，即最多和n個gg網戀。

2. 同一時間mm只跟一個gg網戀，決不腳踏兩隻船。只有在把當前網戀的gg拒掉後，
才能接觸下一個gg，開始新一輪網戀。

3. mm很驕傲，不吃回頭草。一旦把gg拒掉，以後即使遇不到這樣優秀的gg了，也
決不跟曾經被拒的gg再繼前緣。

4. mm追求perfect，希望託付一生的gg是最優秀的那個。

好了，現在問題來了，在n個排隊等候挑選的gg中，mm如何作出選擇？當前gg不錯，
可說不定後面的gg更好呢？但若拒了當前gg，萬一後面gg一個比一個差怎麼辦？人
生是沒有回頭路的，人生是不能Save/Load的，如何在挑選的過程中及時止步，做
出明智的選擇，而不是像熊掰玉米棒一樣，掰一個丟一個，及至末了才發現最好的
那個已在無意中錯過？To be, or not to be, that's a question.

懂概率的mm有福了；不懂概率的mm，如果看了我的帖子，也有福了。此貼運用概率，
科學地，雄辯地，無庸置疑地，斬釘截鐵地……提出並證明了挑選gg的最佳策略。

隨便舉一個例子加以說明。比方說月兒要嫁人了，有九個gg排隊等候，他們是：賣
羊肉串的陳佩斯，阮小二，阮小五，阮小七，姿三四郎，山本五十六，鐵臂阿童木，
敲鐘人夸西莫多。數一數，九缺一，好，加進王四。

月兒先跟陳佩斯網戀，光頭雖然幽默，可惜在街上賣羊肉串，沒有暫住證，隨時會
被遣送回鄉，一點完全感也沒有，拒掉拒掉；排在後面的是阮小二，感覺不錯，轉
念一想，九個候選人呢，急什麼，拒掉拒掉；跟阮小五網戀，感覺更佳，轉念一想，
也許下一個更好，拒掉拒掉；跟阮小七網戀，感覺更佳，轉念一想，似乎一個比一
個好麼，拒掉拒掉；跟姿三四郎網戀，操，日本人，拒掉拒掉；跟山本五十六網戀，
這個更差，非但日本人，鬍子都白了，拒掉拒掉；跟阿童木網戀，雖然是日本人，
倒是談的來，可惜年紀小了點；依依不捨地告別了阿童木dd，迎來了敲鐘人夸西莫
多gg，天，這個丑得影響市容了……

月兒後悔了，唉，早知道就選阮氏兄弟了，但好馬不吃回頭草，幸好還剩一個候選
人。於是只好選擇了王四。

如果月兒使用此貼所述的策略，結果會好的多，即，成功地嫁給梁山好漢。首先，
跟排在前面的[n/e]個gg網戀，全據，把n=10，e=2.718代入，得3，即據掉前面三
個；接着，跟後面的gg網戀，如果他比前面gg都優秀，選這個gg，阮小七中標。

當然並不是每個人都能像月兒這麼幸運，概率麼，本身就是不確定的。但使用以上
策略，當候選gg較多時，選到最優秀gg的概率是1/e；而隨便挑一個，希冀撞大運
撞到最優秀gg，概率只有1/n。還是用數字來說話吧：如果候選gg有一百個，用此
策略，有36%的機會挑得如意郎君；否則，機會只有1%。何去何從，相信聰明的mm
心知肚明。