打牌学数学——懂概率的mm有福了

在网上打牌的mm有时相当苦恼，追求者过多，令mm无所适从。假设有n个gg排队等
候mm挑选，选哪个好呢？其实在数学上，这是一个最优选择问题，最佳策略如下：

首先，跟排在前面的[n/e]个gg网恋，全据（因为是全据，所以这个阶段网恋目的
不在于选哪个gg，而是藉此判断gg的品质，以便和后来者比较）；接着，跟后面的
gg网恋，如果他比前面[n/e]个gg都优秀，选这个gg，否则继续；如果挑剩最后一
个了，那无可奈何，只好选这个gg。

如果n较大，mm用以上策略选到最优秀gg的概率是1/e（随机挑选的概率只有1/n）。
e是一个数学常数，约等于2.718，所以如果有20个gg排队等候挑选，就拒掉前面的
7个，选到最优秀gg的概率大约是36%。

证明如下：

假设放弃前面r位gg，

A={选中最好的gg}
Bk={第k位gg被选中}
Ck={第k位gg是最优秀gg}

P(A) = sigma(r,n)(P(BkCk)) = sigma(r,n)(P(Bk|Ck)P(Ck))，

其中P(A)是选到最优秀gg的概率；sigma(r,n)是一个数学符号，表示叠加；P(BkCk)
是第k位gg被选中且他是最优秀gg的概率；P(Bk|Ck)是已知第k位gg是最优秀gg，他
被选中的概率；P(Ck)是第k位gg是最优秀gg的概率。

P(Ck)=1/n，这很显然；P(Bk|Ck)等于多少，就要费一点脑筋了。如果第k位gg是最
优秀gg，怎样才能选中他呢？前面k-1位gg中最优秀的那位必须在前面r-1位中才行，
否则，因为选择策略的缘故（跟后面的gg网恋，如果他比前面gg都优秀，选这个gg），
轮不到第k位，mm就作决定了。所以P(Bk|Ck)=(r-1)/(k-1)。

把P(Ck)和P(Bk|Ck)的值代入P(A)，得

P(A) = sigma(r,n)(1/n×(r-1)(k-1)) = (r-1)/n×sigma(r,n)(k-1) =
(r-1)/n×(1/(r-1)+1/r+1/(r+1)+……+1/(n-1))

现在问题就是求(r-1)/n×(1/(r-1)+1/r+1/(r+1)+……+1/(n-1))的最大值，计算
需要用到微积分，具体步骤就省略了。最后，可以近似得到：r=n/e, P(A)=1/e。
命题得证。

后记：

要建立数学模型，必须将纷繁复杂的现实简化为数学符号，写作此贴时因过于注重
数学证明，而把简化的步骤省略了，导致很多mm看不懂，十分遗憾。现补充如下：

1. gg是无限多的，但mm为了在有生之年把自己嫁出去，网恋的gg数量只能是有限
的。mm心中有杆秤，为网恋的gg数量设置一个上限n，即最多和n个gg网恋。

2. 同一时间mm只跟一个gg网恋，决不脚踏两只船。只有在把当前网恋的gg拒掉后，
才能接触下一个gg，开始新一轮网恋。

3. mm很骄傲，不吃回头草。一旦把gg拒掉，以后即使遇不到这样优秀的gg了，也
决不跟曾经被拒的gg再继前缘。

4. mm追求perfect，希望托付一生的gg是最优秀的那个。

好了，现在问题来了，在n个排队等候挑选的gg中，mm如何作出选择？当前gg不错，
可说不定后面的gg更好呢？但若拒了当前gg，万一后面gg一个比一个差怎么办？人
生是没有回头路的，人生是不能Save/Load的，如何在挑选的过程中及时止步，做
出明智的选择，而不是像熊掰玉米棒一样，掰一个丢一个，及至末了才发现最好的
那个已在无意中错过？To be, or not to be, that's a question.

懂概率的mm有福了；不懂概率的mm，如果看了我的帖子，也有福了。此贴运用概率，
科学地，雄辩地，无庸置疑地，斩钉截铁地……提出并证明了挑选gg的最佳策略。

随便举一个例子加以说明。比方说月儿要嫁人了，有九个gg排队等候，他们是：卖
羊肉串的陈佩斯，阮小二，阮小五，阮小七，姿三四郎，山本五十六，铁臂阿童木，
敲钟人夸西莫多。数一数，九缺一，好，加进王四。

月儿先跟陈佩斯网恋，光头虽然幽默，可惜在街上卖羊肉串，没有暂住证，随时会
被遣送回乡，一点完全感也没有，拒掉拒掉；排在后面的是阮小二，感觉不错，转
念一想，九个候选人呢，急什么，拒掉拒掉；跟阮小五网恋，感觉更佳，转念一想，
也许下一个更好，拒掉拒掉；跟阮小七网恋，感觉更佳，转念一想，似乎一个比一
个好么，拒掉拒掉；跟姿三四郎网恋，操，日本人，拒掉拒掉；跟山本五十六网恋，
这个更差，非但日本人，胡子都白了，拒掉拒掉；跟阿童木网恋，虽然是日本人，
倒是谈的来，可惜年纪小了点；依依不舍地告别了阿童木dd，迎来了敲钟人夸西莫
多gg，天，这个丑得影响市容了……

月儿后悔了，唉，早知道就选阮氏兄弟了，但好马不吃回头草，幸好还剩一个候选
人。于是只好选择了王四。

如果月儿使用此贴所述的策略，结果会好的多，即，成功地嫁给梁山好汉。首先，
跟排在前面的[n/e]个gg网恋，全据，把n=10，e=2.718代入，得3，即据掉前面三
个；接着，跟后面的gg网恋，如果他比前面gg都优秀，选这个gg，阮小七中标。

当然并不是每个人都能像月儿这么幸运，概率么，本身就是不确定的。但使用以上
策略，当候选gg较多时，选到最优秀gg的概率是1/e；而随便挑一个，希冀撞大运
撞到最优秀gg，概率只有1/n。还是用数字来说话吧：如果候选gg有一百个，用此
策略，有36%的机会挑得如意郎君；否则，机会只有1%。何去何从，相信聪明的mm
心知肚明。