近代數學的本質是變量數學，變量數學的產生的第一個標誌是16世紀韋達的符號代數學，其後在17世紀解析幾何的建立，微積分的勃興，和18世紀分析學的發展是近代變量數學取得的最重要的成果。19世紀幾何學、代數學、分析學等領域的一系列的重大突破，以及複變函數論、抽象代數、拓撲學、數理邏輯、集合論等新學科的產生則是近代數學成熟的標誌。從16世紀到19世紀這短短三百多年的時間裡，數學所取得的成果遠遠超過了以往所有時期數學成果的總和，其發展速度之快、範圍之廣、成就之大無不令我們感到震驚，瀏覽近代數學波瀾壯闊的精彩歷史畫面時，一種為人類的智慧所達到的不可思議的成就而震驚的情感油然而生。這段激動人心的歷史不由地引出了一個值得思考的問題：在當時的歐洲出現了什麼使得數學發生了如此巨大的變化，或者更具體一點說，近代數學的興起為什麼發生在一個特定的地點既歐洲，和一個特定的時間，而沒有發生在任何其他的地方或其他時代？這個問題也曾以"近代數學為什麼僅產生於西方"被李約瑟提了出來。在對於這個問題的討論中，人們一般認為是15、16世紀的歐洲在衝破了中世紀的宗教思想束縛以後，隨着文藝復興和資本主義的興起，科學中數學化趨勢的增長等因素促使了數學本身走向繁榮，在這個過程中希臘思想的傳入是近代數學發展的最主要的因素，近代數學是希臘數學的進一步發展。
　　上述觀點大部分是正確的，然而並不全面。因為它忽略了歐洲文明的另一主要淵源--基督教在近代數學興起的過程中的重要作用。讀近代數學的歷史，給我們以強烈印象的是這樣一個現象：對於上帝的讚美幾乎成為這一時期每一位科學家、數學家眾口一詞的行為。有些人這樣解釋這種現象：在眾多追求真理的科學家和數學家的心靈深處，科學與真理才是他們真正鍾情的，只是為了使數學和科學研究合法化而不得不舉起上帝的旗號。這種帶有主觀色彩的、一相情願的解釋，未免有些牽強附會。它起碼忽視了這樣一個事實：在近代科學與數學興起和發展的時代，宗教是當時歐洲社會中最強大的力量。近代數學的先驅們，像韋達、笛卡兒、帕斯卡、牛頓、萊布尼茨都懷有強烈的宗教情感，數學與科學只是他們完成宗教使命的一部分。因此，解釋與事實之間的矛盾需要重新審視過去的關於基督教與近代數學的關係的某些結論。即然如此，我們就不得不面對長期以來雖然被廣泛矚目但同時又被迴避的一個問題，即基督教對近代數學的興起與發展到底起了什麼作用？要回答這個問題，首先必須從基督教與數學的關係談起。

一，基督教與數學的關係

　　著名的數學家、哲學家懷特海在發表於1925年的《科學與近代世界》[1]一書中談到中世紀思想以及基督教神學對於近代科學的起源的貢獻時指出，近代精神的顯著特點是相信事實和相信規律的結合，即"如果沒有一種本能的信念，相信事物之中存在着一定的秩序，尤其是相信自然界中存在着秩序，那麼現代科學就不可能存在"。懷特海認為這種信念最初來源於古希臘人的悲劇精神，即認為命運是冷酷無情的，它驅使着悲劇性的事件無可逃避地發生。希臘人對自然的看法本質上與此類似，自然界亙古不移地遵守某個理想的方案。秩序這個概念後來受到斯多噶學派的推崇，並為羅馬法所加強。在羅馬帝國滅亡之後，這種法律秩序的觀念仍然存在於民族傳統中。他認為中古世紀在規律方面的見解為西歐的知識形成了一個很長的訓練期，使之成為一個理性主義的時期。在中世紀，秩序的思想是和對神的理性的堅定信念合而為一的，它相信每一事物都受到神的監視並被置於一種秩序之中，而研究自然的結果只能證實對理性的信念。正如喬瓦尼．皮科所說："大自然就是秩序，就是經過和諧調節後的多樣化了的統一性。這種和諧統一性的表現就是承認萬事萬物中存在着理智的聯繫和邏輯的推導。"
　　對秩序與理性的重視導致了數學並未被中世紀的神學家們所忽視，實際上，古代的數學知識的保存許多是由修士們保存下來，並且中世紀的課程"七藝"（算術、音樂、幾何、天文、文法、修辭和邏輯）中有四門與數學有關[10]。在中世紀這樣一個仍然同基本的閱讀力進行抗爭的社會來說，數學之所以受到如此的重視的原因何在？科學史學家漢金斯認為[2]，基督教文化中重視數學的傳統是由於人們對於上帝與理性的理解有關。中世紀的學者把所有的方案和行為都歸於上帝，他是設計者和創造者，而且所有的自然界行為都遵循他制訂的規則，宇宙是他的傑作，是他的意志的產物。上帝創造的宇宙是有法則、有秩序的，而人的職責則是運用"理性"去發現宇宙的秩序與法則。所謂理性一般是指正確方法的關鍵，它也指自然界的秩序，也表示邏輯上有效的論證，就像數學中的論證那樣，所以，數學一直被作為秩序和理性的典範。在這樣一種價值取向下，數學受到推崇是很自然的。因此，數學的最基本的思想、方法和觀念等成分漸漸被吸納進基督教體系中去，並成為構建基督教體系所必須的條件之一。這一點特別明顯地體現在九世紀著名的經院哲學家和神學家Saadia Gaon的著作中。在他的系統的神學理論中已經曾現出十九世紀和二十世紀數學所特有的某些方法和思維過程。如Saadia在他的著作中曾把上帝的存在作為假定，而上帝的唯一性被證明出來，並且以後所賦予上帝的一些性質通過抽象推理和《聖經》的象徵手法有趣地結合而推導出來。在這裡希臘人的方法與希伯來傳統結合起來。這也引出了近現代數學中的"唯一性問題"。中世紀神學理性的思想在托馬斯．阿奎那等人的著作中達到了頂點，他們直接吸納了數學基本的抽象觀念和邏輯推理的方法，從而構建了一個龐大而又嚴密的宗教思想體系。在他們的著作中可以發現抽象的程序，符號表示的應用，包括像"反證法"的有趣的邏輯設計，也有一些邏輯的概念，這些概念從羅素和懷特海以後變得標準化起來。更進一步他們對上帝存在（唯一性）的證明引起了這樣一種觀念的產生：存在唯一性定理在一個理論體系中處於一個中心地位，這種觀念也在近代數學的內容中留下了烙印。總之，中世紀的"明確嚴謹的思想之習慣……由於經院神學的長期統治而被灌輸到歐洲人的頭腦之中"，正是這種理性的精神構成了神學思辯和數學思維相互默契的一個樞紐。
　　這樣，數學在瀰漫着神學氣質的精神環境中就成為宗教內容的一部分。相應地探求自然界的數學法則就成為一種很虔誠的宗教活動，其目的是揭示上帝的偉大和輝煌。這種思想明確出現在中世紀的一些神學家的文獻中，例如，Gandersheim的 修女、劇 作 家Hrosvita （公元980）在 她 的 劇 本"Sapientia"中曾經給出關於數的某些結論的複雜的討論，然後她說：[4]"這個討論如果沒有導致我們欣賞我們的創造者的智慧，以及自然界的作者令人驚奇的智慧的話，那麼它將是徒勞的。他從無中開始了世界的創造，並置一切事物於數、測量和重量之中。然後，在人類的漫長歲月中，形成了一門越研究越展現出令人耳目一新的神奇科學。"所以，對於此時的歐洲學者來說，上帝就是一位至高無上的數學家，人類不可能指望像上帝那樣清楚地明白上帝的意圖，但人至少可以通過謙恭的態度和理性的思考來接近上帝的思想，就可以明白神創造的世界。

二，新的數學觀的形成及其對於近代數學實踐的影響

　　希臘人的宗旨--自然是依數學設計的，與聖經宗教的教義--上帝是這個設計的作者的信念融會在一起而演化成一種新的信仰--上帝依照數學設計了宇宙。這一信念經過中世紀幾百年的基督教文化氛圍的積累和醞釀，終於在16世紀左右爆發出來前所未有的活力，對於推進近代數學和近代科學的產生起到極大的促進作用。它的第一個成果就是促進了一種不同於古希臘人的嶄新的數學觀形成。
　　近代科學的開創者伽利略和開普勒也是近代數學觀的奠基者，伽利略曾說："自然是永遠寫在我們眼前的偉大的書本里的--宇宙--但是，如果我們不先學會書裡所用的語言，掌握書裡的符號，就不能了解它，這本書是用數學語言寫出的，符號是三角形、圓形和別的幾何圖形。沒有它們的幫助，人是連一個字也不會認識的；沒有它們，就象在一個黑暗的迷宮裡勞而無功地遊蕩。"[3]這種觀點與柏拉圖所認為的世界是按照數學模式運作的觀念是一脈相承的。然而，無論伽利略本人是否以柏拉圖主義者自居，也無論他對畢達哥拉斯、柏拉圖、歐幾里德和阿基米德推崇備至到何等地步，他與柏拉圖等人的立場有本質的區別。伽利略對數學的熱情集中在數學能夠與觀測相符，這是一條遵循數學的實用性的道路。在畢達哥拉斯和柏拉圖那裡，數學是一門獨立的、專門的學科，它被賦予了完美與和諧的性質。他們把數學孤立起來看待，認為數學是人們通往理念世界的階梯，而當完美的數學與不完美的可感世界產生矛盾時，現實是被校正的對象，柏拉圖尤其認為在現象世界中物質阻礙了對數學理念的精確反映。而伽利略則認為創世主已在他所創造的宇宙中充分實現了他的數學規劃，這就意味着人類對數學的基本原理理解必須來自經驗與實驗。這種觀點為數學與物理世界、與實踐活動的結合奠定了基礎。伽利略所做的是把數學成功地與自然研究相結合併對此堅信不疑，而不是單單復興了古代數理知識。與伽利略相似，開普勒也認為物質根本不是上帝創世活動的障礙。他說："哪裡有物質，哪裡就有幾何學"。對開普勒來說，經驗並非是不相幹的事物。他們認為雖然數學的形式存在於頭腦之中，但經驗能夠決定何種形式已被加諸於物質世界之上。所以，伽利略等人和柏拉圖分別熱衷的數學是各自不同的時代精神的產物。人文主義學者彼得o拉穆斯則明確拋棄了柏拉圖一味褒揚思辨、放棄實際應用和普及的"盲目偏見"，他認為，數學學科幾乎為這種偏見所毀掉，因為只有在實踐的刺激下數學科學才能夠繁榮發展。F．培根是這個時期思想思潮的總結者，他極力提倡實驗的方法，重視歸納法，強調知識的實用性，他認為數學應為物理服務。他要求科學既要上升為公理又要下降到應用，認為科學造福於人類才是最為合理的目標。於是，在這個時期一種明顯區別於畢達哥拉斯-柏拉圖的觀點的數學經驗論就形成了。這種觀點對近代科學，同時也對近代數學的發展產生了重大的影響。
　　上述這種新的數學發展趨向和價值觀的出現與聖經宗教所倡導的教義有密切的關係。在《聖經》中，上帝把所有的勞動都看作是神聖的，而不管這些勞動是否由奴隸完成還是由自由民來完成。物質並不比非物質的東西低一等，它們同為上帝的創造物，從事物質性的職業不應被看作是不名譽的，這樣手工藝者受到了尊重。這種觀念在16世紀宗教改革中得到了充分的肯定和發揚。因此，在希臘哲學中的那些阻礙實驗科學發展的因素就不存在了。實驗科學也就直接獲得了必不可少的宗教認可，而數學中的實驗方法也就間接地獲得了認可。從此，數學就從柏拉圖主義的束縛中解放出來，它不象古希臘數學僅限於邏輯思辨的方法，近代數學由此出現了一個主要特徵，那就是數學研究方法的多樣化，包括邏輯證明、實物實驗等。這種新的數學觀的影響體現在近代數學活動和實踐的探索中，由此刺激了許多新學科的產生，如畫家達．芬奇和丟勒、荷蘭的工程師西蒙．斯蒂文分別在他們的實踐活動中發展了幾何射影法和十進制小數。
　　上述新的數學觀的也導致了16和17世紀，尤其是在一些商業和工業中心，科學家和工匠之間存在密切合作，從而為數學活動的普及展開提供了前提條件。下面這些事件是這種趨勢的最好例證。一位紐倫堡的鑄鐵匠請求數學家、牧師Johannes Werner將歐幾里得幾何翻譯成德文，以便他的兒子學習，並提議每個專題都應該附上實際應用的例子。英國的數學家Leonard Digges、Thomas Harriot和John Dee等偉大的數學家對有發明創造的工匠極為尊重。英國數學家Robert Recorde為了便於不諳希臘文和拉丁文的工匠們閱讀學習，開始用英文撰寫他的數學著作。自1588年起，Thomas Hood在倫敦為水手、工匠和士兵公開講授科學、數學和天文學。1598年，倫敦格雷沙姆學院建成，以此作為學者與技師的一個會面地點以及用拉丁文與英文講授科學、數學及神學的地方，大名鼎鼎的數學家布里格斯等是這所學院的數學教授。
　　於是，近代數學在這種完全嶄新的文化氛圍中邁開了步伐。由於技工與學者相互合作、邏輯思辨與實驗科學攜手大大刺激了數學中新的觀點、新的理論和方法的產生，這時，數學一方面從實驗的自然科學中吸取了的靈感，激發了眾多新學科的創造，如對數、三角學的形成，微積分的產生與分析學的發展都是建立在自然科學的研究的基礎上的。另一方面，數學的成果也日益廣泛的被應用到其他自然科學的研究中去。實際上，從開普勒、笛卡爾、伽利略、牛頓到十八世紀的拉普拉斯，他們在一般方法上或具體研究中都是以數學家的身份去探索自然的。依靠數學的指導，建立定量化的規律，從而導出了極有價值的科學成果。
　　由此看到，聖經宗教所蘊涵的思想，特別是宗教改革運動之後的新教思想無疑更有利於導致近代數學的產生和發展所需要的一種社會文化環境。在這種環境中，人們既能對物理世界所提出的問題發生興趣，又有人願意從抽象的觀點去思考由各方面提出的問題所引起的概念，而不計其是否能謀取眼前的或實際的利益。而自然界是產生概念的溫床，通過對這些概念本身進行研究得到新的抽象結論，然後反過來應用於自然，於是便獲得關於自然的新的觀點，對自然界有更豐富、更廣泛、更強有力的理解，而這又會刺激產生出更深刻的數學成果。近代數學就是在這樣一個思辨與現實的相互作用、循環往復的過程中成長起來。

三，宗教動機--近代數學研究的出發點

　　除了古希臘的數學觀與基督教教義相結合而產生的數學觀刺激了數學的創造和實踐探索之外，它對近代數學的另一個重要影響是為近代數學的產生和發展提供了強大研究動力。"尋找大自然的數學規律是為了研究上帝的本性和行為，以及上帝安排宇宙的方案"是近代數學時期數學家們從事數學研究的強烈動機。這種宗教動機最清楚地體現在開普勒所說一段話中："對外部世界進行研究的主要目的在於發現上帝賦予它的合理次序與和諧，而這些是上帝依數學語言透露給我們的"。開普勒、伽利略、帕斯卡、笛卡兒、牛頓以及同時代的萊布尼茨等近代科學和數學的開創者們都視科學為一種宗教使命，他們認為科學家有義務去肩負之。"整個人類的首要追求目標應該是理解和發展上帝所創造的奇蹟，這也是上帝賜給人類地球這個帝國的原因。"在這種熱烈的宗教動機的驅使下，他們證明了自然界的一些現象與數學定律相吻合。由此使他們更加深信上帝不僅創造了世界，而且其創造與數學思維相一致。於是對於這種美妙的吻合懷着一種難以置信的欣喜之情，1619年開普勒在他的《世界的和諧》一書中表達了他對上帝的不盡的讚頌："我感謝你，上帝，我們的創造者，你使我看到你所創造的傑作的美，我讚頌經你之手所創造的作品。看，我已經完成了我被指派的任務；並從你所賦予我的智慧中獲得了樂趣。我將盡力在我的智力所能達到的極限的程度上，向閱讀這個證明的人公開讚揚這項工作的榮耀。"[4]
　　偉大的數學家、物理學家牛頓的科學工作最明顯體現了尋求上帝設計自然界的秘密的宗教動機。牛頓的光輝業績呈現給人類一個嶄新的世界秩序和一個包括了石頭下落、海洋潮汐、行星及其衛星運動等宏大現象的宇宙圖景。牛頓的規劃使世人折服：自然界是依數學設計的，自然界的真正定律是數學。牛頓之所以提倡他的自然哲學的數學原理，而且確信數學是他所描述的現象的真正解釋，其基礎也是與他那個時代的所有數學家和科學家同樣的信念：上帝創造的世界與數學原理吻合。牛頓多次表明對上帝的信仰是他進行數學和科學研究的真正動力。他認為科學也是崇拜上帝的一種形式，科學將揭開上帝輝煌設計的秘密。他為自己的工作揭示了無所不在的上帝的秘密而倍感欣慰。事實上，牛頓重視宗教遠勝於重視數學與科學，因為後者只不過是展示上帝對宇宙的設計而已，牛頓把他的後半生全部獻給了神學。
　　對於上帝依數學設計自然界的堅信在十八世紀最偉大的數學家歐拉那裡達到了高峰。他不僅用最大最小原理證明上帝比16、17世紀的人們所稱頌的更為英明，而且他還確信上帝賦予人類的使命是運用人類自身的才能去理解他的法則，自然之書已經打開在人們的面前，但是它是上帝用人們一時半會不能理解的語言寫成的，只有用毅力、熱愛、堅忍和鑽研才能讀懂，這種語言便是數學。正是這種強烈的宗教使命感使歐拉把自己的一生奉獻給了數學與科學，直到生命的最後一刻。
　　伴隨着歐拉虔誠地進行數學研究的同時，在歐洲，另一場影響深遠的運動--啟蒙運動也在如火如荼地的展開，這場以宏揚"理性"為宗旨的思想運動的一個直接結果是科學與上帝開始出現的分離傾向。有個著名的故事說，拉普拉斯把他的《天體力學》呈現給拿破崙時，後者說："你寫的這本關於宇宙系統的書，卻根本沒有提到它的創造者"。拉普拉斯回答說："陛下，我不需要這樣的假設"。那麼，宗教信仰的衰退是不是意味着探討上帝的宇宙的數學設計這一動力的消失呢？事實證明這種動力並未消失，它仍然是近代數學發展的主要精神動力和創造源泉。其實，從更深層的意義上來審視啟蒙運動並不能單純地把它看作是一個反對宗教的一場運動，啟蒙運動實際上是基督教文化在成熟時期所進行的自我反思和自我批評，啟蒙時期的思想家們所用的思想武器也仍然是基督教文化鍛造出來的，沒有基督教就不會有啟蒙運動，基督教文化是啟蒙運動展開和發展的土壤。的確，即使像狄德羅、拉普拉斯這樣激烈否定上帝存在的數學家也在他們的思想和實踐中承襲了對於"上帝依照數學設計了宇宙"的信仰。例如，[5]拉普拉斯需要有一個"無限的智慧者"的假設去澄清他的概率思想以及解釋他為什麼把概率置於人類思想中一個如此重要的地位的緣由。機會對於拉普拉斯來說並不是不可化約的隨機，而是一大群獨立事件的相互交錯和相互作用這樣一個圖式的偶然的結果。如果自然界的所有事件能夠同時被感知到，並且如果我們的演算技術足夠先進的話，那麼我們將不比無限的智慧者更需要概率。但是有限的人類是不可能達到萬能的境界的，這樣概率本質上是對人類謬誤的水平的一種估計，概率之應用於自然界也只是在一定的知識水平上的預測，而它的本質恰恰是人們可憐的無知。
　　十九世紀的數學家們仍被這樣的信念所驅使：他們就是神派來揭示上帝的意圖的。高斯、柯西、傅立葉、康托等數學巨人們仍然沿着先人鋪設的道路前進，他們加速尋求自然界的數學定律，創造了更為神奇的數學領域，並把它們應用到對自然的進一步探索之中。甚至到二十世紀，許多數學家和科學家，如魏爾、愛爾密特、愛因斯坦、懷特海等在解釋數學在現實、在科學、在一切人類事務中為何如此有效時仍然認為，這種現象很難訴諸理性，而只能訴諸於自然的數學設計這一信念。時至今日，當人們廣泛接受數學是"研究秩序和模式的科學"這一定義時，也許並沒有意識到這樣一個事實，儘管幾乎所有的知識都已世俗化，然而，數學這門學科的基礎動力仍然來自於"自然界的數學設計"這一宗教的形而上學的基礎。
　　總之，對於近代數學時期數學家的研究動機的評價，威廉．詹姆斯[3]在《實用主義》一書中給出了精確的概括："當最初數學的、邏輯的和自然的統一體、最初的定律被發現時，它們的清晰、美妙和簡潔深深地吸引了人們，使眾人相信似乎它們已成功地讀出了萬能之主的真正思想。上帝的心智發出轟鳴，作為對演繹法的回聲，他也陷入了對圓錐曲線、平方、方根和比例的沉思，像歐幾里得那樣進行幾何研究。他為行星運動確立了開普勒定律，他使落體的速度與時間成比例地增長。他還創造了正弦定律，使光在折射時遵循。…上帝構想出一切物體的原型，設計出它們的變體，而當我們重新發現了其中任何一個神奇創作時，也就是說我們理解了他的原始本意。"
綜上所述，我們看到近代數學的產生不僅僅是古希臘數學的成長壯大，而且也受益於基督教文化傳統的滋潤與培育，由此培養起為榮耀上帝而通過理性與實驗方法去探索自然和自然法則的思想，從而促進了現代數學思想的形成。荷蘭科學史學家霍伊卡曾說："倘若我們將科學喻為人體的話，其肉體組成部分是希臘人的遺產，而促進其成長的維他命和荷爾蒙是《聖經》的因素"。"科學更多地是某種宗教觀念的結果，而不是其原因"[9]。實際上，基督教在近代數學興起過程中所起的作用並不比上述比喻弱，除了本文中所探討的基督教為近代數學的研究提供了強大的動力，以及宗教思維刺激了近代數學的某些特徵的出現和實踐探索之外，近代數學與基督教之間還有着其他方面千絲萬縷的聯繫和影響，如近代數學的高度抽象性和廣泛的應用性等特徵的產生、近代數學教育的形成、近代數學向不同文化地區的傳播，等等。當然應當指出，基督教對近代數學的影響未必都是正面的。但是，在近代數學興起的時代，基督教是當時歐洲生活中最強大的力量，人們對上帝的看法影響了他們的數學觀，而這種數學觀又必然影響了他們探究數學的動機和方法，進而影響到近代數學的進程與面貌，這一點是毫無疑問的。