【1】廣義相對論下的張量，流形，纖維結構

俺們知道，如果談論量子糾纏，就不得不了解所謂的拓撲幾何學，了解像流形這樣的概念。在了解流形以前，我們要先了解所謂張量的概念，特別是：量子張量的概念。也就是說：量子化特徵是張量的一個內容，當初如果愛因斯坦明白了這個量子化特徵是空間點，或者叫做向量場的一個屬性，而不只是微觀粒子的屬性，那麼他的廣義相對論場的公式就會重寫，而量子糾纏就會在幾十年前實現。其實，從所謂的超炫理論開始，有關量子化下的引力方程就出現了很多，但還是沒有最後突破所謂的數學模式。

其實很有意思的是，在愛因斯坦發明廣相的時候，他是向自己的朋友仔細學習了向量公式的，是他蘇黎世理工學院的同學，叫做：GROSSMAN，其中的小故事，請大家自己參看《上帝是微妙的 SUBTLE IS THE LORD》，以防又說我草蓆。
而職佬最近就這個小愛的廣義相對論進行了重整，公式下周寫出來，參看『3』，以防漕溪，職老先談三點，其核心就是引入量子化張量的概念，來重新組成和表述愛廣，其中突破有三點

1）如何把量子拓撲引入，特別是複數方程引入愛廣，實現引力子量子糾纏；

2）宏微對稱下的引力量子拓撲構建

3）時間向量的引入，一個在宇宙絕對時間上連續的引力場

好下面先從張量入手談流形，包括辛流形，然後談纖維叢和KAHLER幾何

俺們知道，張量TENSOR是一個非常有意思的概念，他用來表示向量，純量關係的一種多線性函數—線性關係，包括內急，外籍，線性映射，笛卡爾積。在N維度空間內，如果把張量的序（階）寫做R，張量就是一個有N的R次方分量的函數。

比如，

R=0，零界張，就是純量；

R=1，一劫張，就是向量；

R=2，二姐張，就是矩陣

舉個栗子，對於3維度空間，R=1的時候的張量就表示為（X,Y,Z）^T也就是說，對於每個空間軸都存在着對應的張量，並分成：協變張量，逆變張量，混合張量。

在數學上，張量是一個幾何實體，並且不依賴坐標系選擇，就實際應用而言，利用擴散張量成像，可以產生大腦的掃描圖，利用了水在器官裡面的微分透性的張量。

一個（M,N）型的張量被定義為一個多重線性映射：MULTILINEAR MAP，這個也就是前兩天道奇同學說的MAP

T:V*X……..XV*（M COPIES）X VX……XV （N COPIES）----R

在這裡，前面一項V*叫對偶空間，V叫做向量空間

具體計算，就是如果一個3階張量（2，5，7）的實體，當從《1，1，1》這樣的實體S^3球開始，一共有70個值。

對於廣義相對論中的黎曼曲率張量，他是一個維度為《4，4，4，4》 （3個空間+一個時間）的四階張量，就有256=4X4X4X4的向量也就是矩陣存在，但其中大約只有20個分量是獨立的。

那麼張量場 TENSOR FIELD是什麼概念呢？

就向量場而言就是：從點到點的變化的向量，如果空間的每一個點的屬性都可以用一個張量來代表的話，那麼這個場就是張量場，比如應力張量場STRESS-ENERGY TENSOR FIELD，而定義在流形上的場每個流形上的點就有一個張量。向量從就是依賴於流形作為參數的向量空間，比如下面要談的辛流形。而切叢就是TANGENT BUNDLE，切空間組成的向量從，擁有所謂的光滑流形，或者叫做微分流形SMOOTH MANIFOLD的拓撲流形，可以擴展為纖維叢：派;E –B 的連續滿射，而向量場可以叫做切從的截面。

張量場是對流行的每一個點都定義一個張量值。

而張量場，可以有個密度，要乘以雅可比矩陣，變成向量從

俺們知道，數學家HEINZ HOPF描述了他的纖維叢FIBRATION，借着複數，其實就是拓撲學的一個的一個最普遍內容。這個理論首先從C^2內的S^3球面入手，在4維度空間內的單位S^3球就是就是一個距離原點一個單位長度的點的集合，比如太陽，比如原子核，就是一個S^3球。因為是4維度時空，4個實數坐標就表示為：X1^2+Y1^2+X2^2+Y2^=1，但如果把Z1=X1+iY1這樣用複數表示，同理Z2，這樣就絕對值下Z1^2+Z2^2=1了，這樣S^3球就可以簡化為複數平面下的一個圓了。但是這是一個複平面，如果軸線Z2=0，就是復直線，對應一個實平面，他與S^3球相交皆滿足Z1絕對值=1的點（Z1,0）。就是說在S^1圓上的點。而如果Z1=0, Z2=aZ1，a為一個複數，對應於S^3球面上的一個圓，所以S^3球面上充滿了圓，好像一個膨脹的4個維度不同顏色的毛線球，但是那種交接的不是正球的，象一種麵包，對於每個S^2內的點，就是說所有複數a的值，都有一個圓，而且沒有兩個這樣的圓會在不同的a值情況下相同，就好像一個圓鐵圈不斷的自繞成一個更大的鐵圈，但每個地方會出現一個交叉的小圓弧，類似一個花壇，這個分解3維度球的過程就叫做HOPF纖維化，而S^3與S^2之間的映射很有意思，不能被描述為一個常值映射，而高維度下的S^N與S^P之間的映射就更複雜了。

俺們知道，所謂幾何結構，指的是實體流形M的N次方上的二階張量場T。如果用G屬於GLN®來表示T的線性群，通過結構群約化我們可以賦予TM以G從結構，這時我們叫M為G的流形。舉個栗子：

就定向流形M的N次方，可以看做GLN+®流形，比如黎曼流形（M的N次方，g） ，而易欣流形（M的2N次方，w）w 為非退化的斜對稱（0，2）張量/2形式，就可以看做SP2N(R)流形，而姨夫流形（M的2N次方，J）在這裡J 為（1，1）張量。

如果G結構呈現點態，而我們希望進一步T在每個淋浴中均可以標準化為“平坦”張量場，就需要附加一個可積分性的條件。對於RIEMAN流形，F就是RIEMAN的曲率張量，也叫做黎曼定理。對於姨夫流行或者易欣流形，F分別對應NIJENHUIS張量的NJ（NWELANDER-NIRENBERG定理）和DW（DARBOUX定理），相應的平坦流形也就是複流形和辛流形。其中黎曼幾何幾乎都在平坦流中引用，複流形最近才火起來，而辛流形仍然沒有火。除了在姨夫流形的HERMITE流形上對應以外，KAHLER流形有多種不同定義方式，一般吧HERMITE流形的M的2N次方稱為KAHLER流形。從平坦度量的角度看，HERMITE流形成為KAHLER流形的充分必要條件是（A’）在任意點附近均存在全純坐標系使得H與標準HERMITE度量的差異至少成為2結項，這是因為KAHLER流形通常不滿足黎曼的可積性。