考驗你的邏輯。這是百度上應用數學分析定理證明另一個定理。

送交者: zhf 2018年11月16日14:47:21 於 [茗香茶語] 發送悄悄話

我認為證明有缺陷，看看誰能找出來。 ================================= 利用有限覆蓋定理證明閉區間上的連續函數一致連續。 已知：f(x)在閉區間[a,b]上有定義，且f(x)連續。求證：f(x)在閉區間[a,b]上一致連續。 證明： ∵f(x)在[a,b]上連續 ∴對任意x0∈[a,b]，   上式中的δ0(ε,x0)表示δ是ε和x0的函數，而    即意味着    。 固定ε，只讓x0在區間[a,b]上變化，則一般來說δ0也要發生變化。當x0取遍[a,b]上的所有實數時，[a,b]將被所有x0的鄰域    構成的集合S覆蓋，或者說S是[a,b]的一個無限開覆蓋。 由有限覆蓋定理得S中有有限個開區間能覆蓋住[a,b]，不妨設這有限個開區間構成的集合為    。 令    （∵i為有限正整數，∴δi為有限個，在這有限個δi之中一定有最小值），這個δ不再與x0有關，是因為無論對[a,b]上的哪個數xi，當    時，總有    。下證對任意x'和x''∈[a,b]，當|x'-x''|<δ時，總有|f(x')-f(x'')|<ε。 事實上，由連續的定義， 那麼，當 時，有 顯然，ε是任意正數，那麼2ε也是任意正數，也相應地存在正數2δ。這就證明了f(x)在[a,b]上一致連續。

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