戴世強教授今天轉載了一個帖子，很是震撼。用現在流行的網絡語言，應該屬於“心靈雞湯”。故事太長，可以讀下面鏈接，不懂數學的照樣可以受到激勵。我這篇文章只需要高中數學知識就能理解，對數學不感興趣的讀者可以跳過不看。我先介紹一下故事梗概。

海文思的故事

克里斯多弗*海文思（Christopher Havens），是西雅圖（Seattle）重刑監獄的罪犯，今年41歲。他從小就顯示出數學天賦，數學老師經常請他幫助同學。由於母親工作的原因，他每過幾年就要搬一次家。很不幸，他所處的環境，你要想“融入”，必須學壞，比如嘗試一點大麻和酒精。他終于越走越遠，有一次（或許）在毒品作用下，他殺了一個人。於是被關進這個重刑監獄。

在監獄裡，一個偶然的機會，他開始自學數學，後來還在獄中教獄友數學。也是一次偶然的機會，有人把他介紹給意大利都靈大學的一位數學副教授。副教授給了他一個數論難題，結果他做出來了。他後來還和副教授做了其他研究，並在《數論研究》上發表了論文。

文章結尾是海文思設計的一道數學題，刊登在《Math Horizon》。

使  1729 y² + 1 成為完全平方數的最小正整數y 是多少？拿起筆和紙，來試試吧。

令此數為x²。這個數字可以寫成1729 y² = (x+1)(x-1)，就是說兩個相差為2 的整數的乘積。

我們將1729因式分解，1729 = 7 ×13 × 19。假如有解，x+1 是這三個數中某些因子和y 中某些因子的乘積。x-1 是其他因子的乘積。

我們把y寫成 y = uv，y 不可能完整地同時出現在 x+1 和 x-1。所以 y 中因子在兩個數中出現的形式只能是 u²v 和 v。

將1729中的因子和u²v 及 v 結合可以有許多種方法。其中的一種是

7 u² v = x + 1 & 247 v = x – 1

簡單推導可得

v (7 u² - 247) = 2

很顯然 v (247 - 7 u²) = 2 也是可能的解。

這樣的方程一共有8個。

(1)   v (7 u² - 247) = 2

(2)   v (247 - 7 u²) = 2

(3)   v (13 u² - 133) = 2

(4)   v (133 - 13 u²) = 2

(5)   v (19 u² - 91) = 2

(6)   v (91 - 19 u²) = 2

(7)   v (u² - 1729) = 2

(8)   v (1729 - u²) = 2

我們現在逐一解答，方法其實是一摸一樣的。

由 (1)， v 只能有2 個可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， 7 u² = 249，無解。 假如 v = 2, 7 u² = 248，同樣無解。

由 (2)， v 只能有2 個可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， 7 u² = 245，就是u² = 35。所以無解。 假如 v = 2, 7 u² = 246，同樣無解。

由 (3)， v 只能有2 個可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， 13 u² = 135，無解。 假如 v = 2, 13 u² = 134，同樣無解。

由 (4)， v 只能有2 個可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， 13 u² = 131，無解。 假如 v = 2, 13 u² = 132，同樣無解。

由 (5)， v 只能有2 個可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， 19 u² = 93，無解。 假如 v = 2, 19 u² = 92，同樣無解。

由 (6)， v 只能有2 個可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， 19 u² = 89，無解。 假如 v = 2, 19 u² = 90，同樣無解。

由 (7)， v 只能有2 個可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， u² = 1731，無解。 假如 v = 2, u² = 1730，同樣無解。

由 (8)， v 只能有2 個可能的值， 1 或 2。 假如 v = 1， u² = 1727，無解。 假如 v = 2, u² = 1728，同樣無解。

看懂這個解答不算困難，大部分高中生應該都可以。但設計出這個方案，確實需要一些功力。剛看到這道題，感覺就是大海撈針。晨練的時候冷靜下來，發現經過因式分解，實際上只有8種情況。