那些智力大師的過人本領在於，知大小，即先於常人洞悉什麼是
重要的和最重要的，並且有能力形成直覺，心無雜念，臥薪嘗膽，最
終通向那高高的智力頂峰。他不是一攬眾山小，而是迅速選定下一個
他認為“重要的”的主題。不久，峰峰相望，多領域得到深刻貫通。
《天遇》（Celestial Encounter: The Origins of Chaos and Stability，
中譯本由上海科技教育出版社2001年底出版）一書描述的數十位數學
家、科學家幾乎都符合這一模式，如龐加萊、柯爾莫哥洛夫、夏志宏
等。譯名“天遇”受到《莊子·應帝王》渾沌寓言的啟發，華生當年
譯其中“時相與遇於渾沌之地”中的“遇”時就用了“encounter”一
詞，現在是倒過來往回譯！出版社最終採納了這個簡便而有蘊味的譯
名。
Florin Diacu
此書名義上由迪亞庫（Florin Diacu）和霍爾姆斯（Philip Holmes）
合著。先由迪亞庫撰寫成稿，後者作了大量修改補正。迪亞庫名不見
經傳，以前從來未聽說過，原來是羅馬尼亞的一個中學教員，後來移
民到德國和加拿大。他的確有天賦，自學成才並撰寫出博士論文。據
說是為了練英文寫作，出乎意料地寫出一本“內史”派佳著，無法想
像他究竟花了多大精力了解那麼多歷史細節、對諸多複雜理論給出畫
龍點睛的評論。
Philip Holmes
第二作者名氣頗大，也到過中國，他的大作《非線性振動、動力
系統與向量場的分岔》（他仍然是第二作者，第一作者為古根海姆（J.
Guckenheimer））列入斯普林格的“應用數學科學”叢書第42種，我還
買過一本，只能看懂一小部分。多少有點遺憾的是，作者1985年秋為
英文第二版所寫序言提到上海交通大學凌復華教授和北京大學朱照宣
教授及其學生將組織譯出中文版，據了解早就譯好了，但不知為什麼
中文版《非線性振動、動力系統與向量場的分岔》最終沒有面世。
《天遇》是那種所述內容和所述人物均讓人嘆為觀止的圖書。標
題的直接含義是，考慮天體之間的相互作用，它們是否會不期而遇甚
至碰撞，體系是否會瓦解？無疑，它與眾所周知的n 體問題、動力系
統有關，而這是近百年來數學、力學的中心話題之一，引無數英雄競
折腰或者摘桂冠。
在通俗類著作中，它是迄今為止最嚴格、最系統、最有啟示的一
部書，比斯圖爾特的《上帝擲骰子嗎》、呂埃爾的《機遇與混沌》、
格萊克的《混沌：開創新科學》、洛倫茲的《混沌的本質》、布里格
斯和皮特的《湍鑒》等等，更好更妙。普林斯頓大學出版社把它列入
“普林斯頓科學文庫”足以證明其特色。
《天遇》以宏大的場面描繪了百年來科學“範式”（paradigm）
的轉變。這裡範式是指自然科學全局思路或者方法，在哲學上是指人
們所理解的世界的運行方式，即世界圖景或自然觀。當然這個圖景是
就數理科學而言的，不包括生命現象。而且不是指所有的數理科學，
因為力學，不包括量子力學，只討論哲學上所說的“運動”，在“運
動－變化－發展”三個層次中，力學只涉及最低層次的“運動”，通
常指位置的變化。力學不處理事務或者物質的“質的規定性”，即力
學不考慮“主體”本身是什麼物質，不管它是碳做的還是鐵做的；也
不管主體的物質性質方面的變化。通常假定在時間流中主體固定不變，
當然這與希臘時哲人就說的一切都在變並且時時在變有出入。也就是
說，力學不同於物理學。廣義的物理學包括力學，但狹義的物理學與
力學是兩回事，力學更接近數學，甚至在某種程度上絕大部分力學是
數學。近代科學以力學為代表，恰是以科學與關於自然的理論的最好
結合為象徵，並在此過程中發明了大量數學工具，如微積分，後來還
有拓撲等。這範式變化的轉折點發生在龐加萊身上，之後數代數學家、
力學家一步一個腳印，艱難地前進着，到KAM理論為止算告一段落。
如果以工具之變化論科學之範式變化，那麼牛頓以定量微積分為
代表，龐加萊以定性拓撲為代表，他們都十分強調幾何式理解。牛頓
不過想模仿歐幾里得以示正統或者美觀，其後幾何式裝飾隨定量化之
發展而逐漸衰落；龐加萊則是在無奈之下重新發明了新的幾何，即拓
撲學（當時也叫位置分析）。但龐氏之後的動力系統、天體力學探索，
並非拋棄了定量成就，真的是有機地將定性與定量結合起來。微分流
形便是一個例子，流形是幾何概念，但在流形上進行微積分演算便有
了微分流形和微分動力系統；採用可微流形概念也是要化簡力學系統，
降低自由度，了解微分方程解的全局的、長期的行為（性態）。以“
工具”觀之，牛頓與龐加萊並駕，無人能比，其他人與他相比都是二
流人物。當然這只是就他們所涉及的力學，牛頓還研究光學，龐加萊
還研究一般的物理學，對相對論也有獨特貢獻，那與本論題無關（就
近現代物理而言，黎曼的幾何對於相對論至關重要）。
就力學，牛頓與龐加萊有何不同？牛頓給出了三定律和萬有引力
定律，並處理了二體問題，代表天體力學的決定性進步。二體問題的
完整解決是約翰·伯努利給出的，結論是二體作用的可能軌道是圓錐
曲線。二體運動相空間有12個維度（6個自由度），表面上極難處理，
但利用守恆定律可以把系統的自由度最終降低到1 個自由度。除了二
體呢？非常遺憾，至今非二體問題沒有一個得到完全徹底的解決，在
限定條件下還是有許多嚴格結果的。特別是，一到3 就麻煩了，老子
說三生萬物，在天體系統中，3 個天體組成的系統，完全服從引力定
律，卻沒有辦法求出微分方程的解。龐加萊對此理解深刻，他不但沒
有找出解析解，而且證明樂觀派試圖尋找的那種解根本不存在，即 3
體問題不能通過定量方法去解決。他是在試圖贏得奧斯卡國王就n 體
問題的懸賞時發現這一點的。他最終也沒有解決懸賞的原始問題，但
仍然當之無愧地贏得了那個大獎。那個奧斯卡國王獎只是名聲大，獎
金只有2500克朗。實際上龐加萊“得不償失”，還賠進去1000多克朗。
究竟為什麼，說起來話就長了。不過，這確是科學史上極其有趣極富
有人性味的篇章。簡單說就是：龐氏的論文已經在《數學學報》刊登
出來並已部分發行，此時人們（包括他本人）發現了一個嚴重錯誤，
主編米塔－列夫勒(G.Mittag-Leffler)停止了發行，並決定收回並銷毀所
有刊物。現在世界各大圖書館能夠見到的那期雜誌都是一年後補發的，
龐氏支付了全部費用。更奇妙的事情是，1985年明尼蘇達的麥吉（R.
McGehee）到瑞典偶然發現了一本未銷毀的錯雜誌！無巧不成書，龐
氏在對付那個令人痛苦的錯誤的幾個月中，有一驚人發現：渾沌（chaos），
而它註定要成為之後100年自然科學中的核心觀念之一（數學家哈爾
默斯已經總結過75年中數學中的若乾重要概念和進展，chaos列為其一，
《美國數學月刊》）。
龐加萊沒有解決n體問題，也沒有解決3體問題，現在任何人也沒
有。但是這其中有一個由純智力構成的浩瀚王國，一大批科學、數學
精英為之作出了貢獻，第一個人物當然就是龐加萊，還有柯爾莫哥洛
夫（Kolmogorov，概率論的歐幾里得，KAM理論的首創者），塞佩爾
（von Zeipel），阿諾德（Arnold）， 莫澤（Moser，曾任國際數學聯合
會主席，曾獲沃爾夫獎），斯美爾（Smale，寫過《時間之數學》），
李特爾伍德（Littlewood）， 伯克霍夫（Birkhoff）， 莫爾斯（Morse），
潘勒韋（Paul P. Painleve，曾任法國總理，曾提出潘勒韋猜想），薩瑞
（D.G.Saari,夏志宏的導師），夏志宏（Zhihong Xia，1962－ ，南京大
學天文系本科畢業，現在美國西北大學，1993年獲首屆Blumenthal獎，
北京大學長江學者），斯特尼科夫（K.Sitnikov）， 阿列克賽耶夫（V.
M.Alekseev）等等。在這個王國中工作的，大部人是數學家或者理論
力學家。王國中壯麗的成就是由嚴格的幾何觀念表述的，拓撲因此而
生，後來又有符號動力學方法。所有這一切的最原創思想均可直接追
蹤到龐加萊，貝爾（E.T.Bell）在《數學精英》中說的“最後一位通才”。
如英國的傑克遜（E.Atlee Jackson）在巨著《非線性動力學展望》中所
說，現代非線動力學如果有一個“聖父”（模仿《聖經》首句）的話
那就是龐加萊，但甚至在巨著的開篇用“起初，龐加萊”的字樣（In
the beginning … 1.1 … there was Poincare），令人想起“起初，神創造
諸天和大地”。
龐加萊得到了奧斯卡國王大獎，但當初他提交的論文有一個錯誤
（去掉錯誤部分他仍然可以心安理得地獲得該獎），後來他補上了，
並因此發現了首先令他自己驚奇後來令所有動力系統學者驚奇的同宿
橫截現象，他說太複雜了，簡直畫不出來。他看到了現在所說的渾沌。
依他的世界觀，他不相信，但那是嚴格的數學推理。他迷惑了。他是
那個時代少有的先知，因而不是那麼樂觀。他為探索那種神秘的東西
發明了一系列工具和洞見，影響了100多年，現在還有效。
非線性動力學渾沌（混沌）意味着什麼？不同人有不同的認識。
1995年過世的福特（J.Ford，佐治亞理工學院的教授）有深刻的理解，
在許多方面他評論得對，《今日物理學》上有他的妙文。但是回想一
下，在另外一些方面他的評論不着邊際，難怪《科學哲學》雜誌上有
人跟他叫板。渾沌之普遍存在（這本身不全是個科學問題，還與哲學
有關，如模型與實在的關係），暗示簡單的自然可預測、可控制道路
是行不通的。這是相當令人失望的，科學難道不就是預測和控制世界
嗎？難道混沌意味着科學之路行不通？微妙之處顯現了。
對這個問題的不同解釋導致不同派別的科學觀和自然觀。科學不
會終結，並且會大大發展，產生更多新結果，豐富人們對世界的認識，
並且作為結果增強人們改造、控制世界的能力。這是顯然的，我不認
為有什麼特別的力量能夠扭轉這種局面，學術反科學或者非學術反科
學都不足以抵擋科學的這種開拓、延拓（數學用語）。但是，科學由
於自身已經發展到非線性時代，特別是由於動力系統理論的結果，科
學必須反思自己實際上能夠做什麼能夠控制什麼。
前文說過非線性動力學源於力學，力學只考慮簡單的低層次的“
運動”，甚至連“物理”都算不上。它的結論相對於宇宙學、化學、
粒子物理學，有什麼高妙的？可能不值一提，因為它不涉及“質變”
也不涉及系統的“組織”或者“進化”。但是，正因為它是低級的，
簡單的，所以適用於一切系統。因為它以數學的形式表述，數學是
一切科學的工具，現在的複雜行為恰出現在數模型中，而這種模型
原則上可以模擬所有領域的所有真實系統。這是問題的要害。在動
力系統中不講“主體”，因為它適用於所有想象得到任何主體，只
要那個現實的系統能夠近似地抽象成為動力系統。
這裡面立即產生一個問題，一個大的疑問：那數學模型與現實
世界之間有多少一致性，有何根據說現實世界也有那種行為？這的
確是一個致命問題。可以說以前也很難回答。科學哲學時常也面對
類似的問題，如實在論（realism）與反實在論就與此有關。但是，
現在，恰好利用動力系統的理論，可以令人信服地說明這件事。要
用到動力系統中的“穩定性理論”。何謂穩定性？一言難盡，有太
多種穩定性（有嚴格定義），但簡單說穩定性是指“某種東西在某
種擾動下的某種保持性”。這裡“某種”是科學上嚴格限定的，有
豐富的內涵，這裡不表。動力系統理論妙就妙在，對於諸多系統出
現的性質、行為，討論它們的穩定性，並且證明了有時存在穩定性
有時不存在，或者存在某種特別的穩定性。某種不變環面（tori）的
保持性意味着穩定性，但是對於高維系統，環面存在並不能保證存
在穩定性，阿諾德給出了一個實例。最常講的穩定性有運動穩定性
（對初值擾動）和結構穩定性（對函數、對系統整體擾動），這兩
者必須區分開，兩者都有用。穩定性起到了溝通實在的橋梁的作用。
在物理上這對應於某種“粗粒化過程”。（這種關係類似於現在數
理經濟學與一般實用經濟學的關係。）動力系統理論指出，在某些
條件下，就一定出現某種行為。現實是複雜的，不會老老實實服從
科學家的描述，特別是在建模時，要考慮大量的簡化和假定，不會
簡化、不敢假定一定不是好科學家，可參見安德羅諾夫的《振動理
論》前言。考慮了建模的誤差，永遠也無法消除的誤差，理論結果
與實在世界的運作之間總是有差別的，科學現有結論總是不滿足捕
住實在的要求，也正是這一點使科學無盡地發展下去。但是，同時，
穩定性理論等也提供了數學之物理有效（特別是數學有效）的根據
（本來數學與物理是可以分開的，對應於科學哲學上的分析命題與
綜合命題之分）。
概括起來講，非線性動力學提供了如下全新的思路和工具：1）
整體定性的觀念；2）關於穩定性的分析工具。用伯克霍夫的話講：
“動力系統的目的就是利用系統的定性性質完整地刻划動力系統運
動的整體。”
這兩條都與局部的、分析的舊思路不同。可微性是局部的，微
分方程解存在／唯一性定理通常也是局部的，但現在要更關註解的
長期行為，並且不是單個解的行為，而是相空間所有解的全部可能
的行為。只有把這種全局性的結構搞清楚，才能對系統有深入的認
識，這時是否解出某一個具體解，已經不再那麼重要。問題是，根
據KAM等理論和阿諾德擴散，定性全局圖極其複雜，複雜得超出了
想像。對於n體問題，當n大於3時，是否存在非碰撞的含有奇點的解？
這是一個定性的問題，被稱作潘勒韋猜想。薩瑞、麥吉、馬瑟、塞
佩爾、傑弗（J.Gerver）、夏志宏都曾不斷向它發起衝擊，最後夏就
n大於4的情況證明了該猜想。至於n等於4時，該猜想是否成立，現
在還不知道。
動力系統研究主要依靠定性分析，但其中也大量使用定量方法，
其複雜程度非常人所能理解。當年莫澤證明KAM定理時曾經考慮了
一個函數的333階導數！（見《中國大百科全書》天文卷）我們學分
析時最多用到3階導數，極個別時也許用過4階導數。這一領域的重
大結果發表時，一篇論文就長達100到200頁，有時接近300頁。這可
不是人文社科領域的某些充數文字，而是定義、引理、定理、系定
理之類嚴格的推理。審讀這樣的論文也相當困難，通常難以判斷其
中是否有某種漏洞，因為人人都可能出錯。夏志宏證明潘勒韋猜想
的第一次投稿論文，足足被審了兩年，答覆是“無法判斷證明是否
正確”！最終他又仔細修改論證，爭取表述得更清楚，並補證了許
多直覺上顯然而原來沒有給出證明的命題。幸運的是，普林斯頓的
馬瑟（John Mather）教授1991年在一個討論班上長時間討論夏的證
明，學期結束時馬瑟遞交了他的審稿意見：夏的證明是正確的。夏
的論文1992年發表在《數學年刊》。1993年獲大獎，當時他還是副
教授。夏志宏很可能贏得今年的菲爾茲獎，預測是否準確8 月份即
可見分曉。
定性方法由於龐加萊的開拓性工作而成為一個新時代的主力工
具，但是有趣的是，現在定性方法之所以能夠真正復興，還有賴於
與其反面：計算機的離散計算！龐加萊那個時代不容易取得進展，
在於僅僅藉助於頭腦的想像還不夠，走不了很遠。從20世紀50年代
開始，純數學家也用計算機（在論文的證明中是絕對不能用計算機
數值計算代替的），主要想獲得一些形象上的啟發，然後再用純數
學的方法給出嚴格證明。值得向人文社會科學工作者指出的是，定
性不等於不精確、不嚴格，恰相反，數學中的定性是精確的和嚴格
的，如大於、小於、有界於、收斂於等等。對於高維系統，分析與
數值模擬都遇到了困難，幾何直觀已經失掉，少數大師頭腦中還能
保存或者洞見一些幾何影像，而普通人物則沒有了直觀的幫助。於
是又有一個問題：幾何方法能夠走多遠？
考慮這些，加上渾沌、其他奇異性的存在，我們實在沒有過分
樂觀的理由。
當考慮動力系統的結果對各種社會、經濟系統同樣適用時，我
們採取的人為控制和對其運行動態過程的理解都是成問題的。只要
找到相互作用對象之間的關係，它們就可以抽象成為動力系統，就
可以用現成的方法研究。動力系統理論是自反的，可以用於科學事
業整體的時間演化，從動力系統理論中也可以瞥見科學的局限性甚
至危險性。
而所有以上說的，都還不涉及高層次的質變和系統進化，如果
考慮“運動－變化－發展”中的後兩者，或者把三者結合起來，那
是何等複雜。有人聲稱“我完全理解了這個世界”，這怎麼可能呢，
這是無知的表現。回到n 體問題，引用莫澤的一段話：“太陽系是
穩定的嗎？確切說，答案還不知道，但是由這個問題已經引出了許
多深刻的結果，它們可能比對初始問題的解答更為重要。”（這段
話廣為引作卷首語或者章首語）
最後，不是不重要的，《天遇》作為科普作品或者科學史著作
對一般讀者，可能仍然算是“艱深”，但如果不要求讀懂全部或者
一半以上的話，它提供了大量的信息，有相當多是極有趣的，是可
讀的。比如大量這樣的故事：
１）柯爾莫哥洛夫從手稿上抬起眼睛望着他的學生。“年輕人，”
他一字一句地說，“你已經解決了希爾伯特第13問題！”（第263頁）
這個年輕人就是阿諾德，KAM理論中的第二人。
２）阿諾德對科學史有自己獨特的認識，他曾說：“在我看來，
從惠更斯和牛頓到黎曼和龐加萊的200年間只充滿了計算的荒漠。”
多大的口氣！當然這表示他對創新性的定性結果的重視，中間有計算、
分析時代只是小打小鬧。西方記者採訪阿諾德的一篇文章還指出，阿
氏曾說他很少讀西方人的數學論文，理由是不想搗亂了自己的思路（
《數學譯林》）。而西方學者聽後，沒有人表示疑義，用時尚的話講
阿諾德就是一個字：牛。他倒像費曼那種量級和那種類型的人物。
３）莫澤到莫斯科訪問時，那裡的拓撲學家諾維科夫（S.P.Novikov）
只有二十幾歲，默默無聞，他請求莫澤把自己的論文帶到西方，分發
給普林斯頓的同行，他唯一的希望是在一份有聲望的西方雜誌發表自
己的論文。莫澤冒着激怒蘇聯當局的風險滿足了諾維科夫的願望。諾
維科夫的論文發表在《數學年刊》上，1970年他獲得菲爾茲獎。
４）柯爾莫哥洛夫多才多藝，暫不說他的研究歷史，他發表過用
統計學證明了孟德爾遺傳學的論文，觸犯過李森科主義。他還反對過
學生阿諾德研究心臟的振動問題，理由是它不是一個經典的數學物理
問題，而後來加拿大麥吉爾大學的學者在這一方向上做出了漂亮的結
果。
總之，《天遇》難遇，值得細讀，慢慢品味。
