茶館酒肆，常有高人出沒。在下雖愚不甘寂寞，在教壇上了一貼，無人理睬。一好心仁兄勸在下別浪費時間玩遊戲。在下心有不甘，在次再貼一回，請方家不吝賜教。

這旮沓高人多，俺就亂扯一通，請方家指教。

好像沒有一個簡潔的定義說數學是什麼。我導師是調和分析專家，有一次他請了一個劍橋大學的牛人訪問，該牛人自稱是大不列顛調和分析第二牛。對我來說，我導師和他都是調和分析大牛啦。我問這兩位大牛能否給調和分析下個定義，這兩牛都沒正面回答這一問題。

好像說數學是在公理體系中邏輯推理的結果。那末公理體系又是建立在什麼基礎之上的呢？個人感覺總得知道點什麼才行。如果什麼都不知道這公理也無從談起。數學家知道了什麼就可以建立公理體系呢？

好像克郎奈克說過，“上帝創造了自然數”。好像也有數學大師要建立自然數的公理系統。但這種公理化只能是對自然數性質的理解，而不是用這種方法來定義自然數。記得說，有一個元素叫做1，每一個元素都有一個後繼者。這不就有了自然數嘛。但是怎麼叫有一個元素，怎麼叫每一個元素，這已經使用了數的概念。所以自然數是上帝造的。

有了上帝造的自然數，人造了有理數。戴德金造了實數，康托也造了實數。戴老的實數是對有理數集的分割，康老的實數是由有理數組成的柯係數列。這實在是與人們頭腦中關於數的印象相去甚遠。他們說這就是實數咱也不敢有意見。但是在下認為如此一來，有理數就不是實數。因為一個有理數就是一個有理數，它不是一個對有理數集的分割，也不是一個有理數列。精確的說法應該是有理數域與戴德金實數域或康托實數域的一個子集同構。看來戴老和康老的實數理論只能是幫助人們理解實數的連續性，他們定義的並不是實數本身，而是實數的同構體。這不，實數還是上帝創造的。

最近弄到一本中文的幾何原本。歐老先生兩千多年前就建立起幾何的公理體系，令人嘆為觀止。看了幾頁之後總感覺這個公理體系還是建立在直觀之上的。如果一個人對點，直線，角，長度完全沒有印象沒有認識，看了歐氏的定義你還是不知所云，沒有這些基本概念，就沒法用歐老的公設公理進行邏輯推理。比如歐老沒有定義線段的相等。但定義圓的時候用到了相等的概念。從某些命題的證明可以看出，兩個線段如果經移動後能重合便是相等。那麼什麼是移動？歐老並沒給出定義。直角是這樣定義的：兩條直線相交如果所有角都相等便是直角。如果不知道什麼是直線，談直線相交便無意義。即使知道了直線，也還是不知道怎麼才是兩個角相等。

有人認為學校里應該取消平面幾何，學平面幾何純屬浪費時間毫無用處，有解析幾何就夠了。說是邏輯訓練，其實數學每一門都是邏輯訓練。似乎不無道理。有了實數，我們可以定義坐標，在解析幾何中點線面都有明確定義。但是解析幾何是依賴勾股定理的。有了勾股定理我們才知道那樣去定義距離。勾股定理在解析幾何中是沒法證明的，而在平面幾何中可以證明。又繞回來了。

好像集合是沒有定義的。好像有了集合的概念，我們就可以定義各種結構。於是我們就有了群有了度量空間有了拓撲空間有了可測空間。好像這些數學對象可以完全從公理（定義）出 發進行研究。但是公理或定義並不能解決存在性問題。數學家還得從他所已知的數學中找例子。這又顯出了公理系統的無力與無奈。

接着扯。前面說有大師對自然數公理化。有了1有了後繼者的概念就有了全部自然數。加法也不難定義。加1就等於後繼數，加2等於後繼數的後繼數，以此類推。有了加法就有了乘法。但是，但是研究整數的性質只知道整數遠遠不夠。比如說費爾馬大定理的最後解決就是應用了他橢圓曲線理論，儘管這只是一個表達非常簡潔的整數問題。這是否說明公理提起的局限性呢？

結論：數學的公理化離不開人們對自然界的直觀感知。數學的公理化不完全是數學家的遊戲。公里體系是由局限性的。