【1】广义相对论下的张量，流形，纤维结构

俺们知道，如果谈论量子纠缠，就不得不了解所谓的拓扑几何学，了解像流形这样的概念。在了解流形以前，我们要先了解所谓张量的概念，特别是：量子张量的概念。也就是说：量子化特征是张量的一个内容，当初如果爱因斯坦明白了这个量子化特征是空间点，或者叫做向量场的一个属性，而不只是微观粒子的属性，那么他的广义相对论场的公式就会重写，而量子纠缠就会在几十年前实现。其实，从所谓的超炫理论开始，有关量子化下的引力方程就出现了很多，但还是没有最后突破所谓的数学模式。

其实很有意思的是，在爱因斯坦发明广相的时候，他是向自己的朋友仔细学习了向量公式的，是他苏黎世理工学院的同学，叫做：GROSSMAN，其中的小故事，请大家自己参看《上帝是微妙的 SUBTLE IS THE LORD》，以防又说我草席。
而职佬最近就这个小爱的广义相对论进行了重整，公式下周写出来，参看『3』，以防漕溪，职老先谈三点，其核心就是引入量子化张量的概念，来重新组成和表述爱广，其中突破有三点

1）如何把量子拓扑引入，特别是复数方程引入爱广，实现引力子量子纠缠；

2）宏微对称下的引力量子拓扑构建

3）时间向量的引入，一个在宇宙绝对时间上连续的引力场

好下面先从张量入手谈流形，包括辛流形，然后谈纤维丛和KAHLER几何

俺们知道，张量TENSOR是一个非常有意思的概念，他用来表示向量，纯量关系的一种多线性函数—线性关系，包括内急，外籍，线性映射，笛卡尔积。在N维度空间内，如果把张量的序（阶）写做R，张量就是一个有N的R次方分量的函数。

比如，

R=0，零界张，就是纯量；

R=1，一劫张，就是向量；

R=2，二姐张，就是矩阵

举个栗子，对于3维度空间，R=1的时候的张量就表示为（X,Y,Z）^T也就是说，对于每个空间轴都存在着对应的张量，并分成：协变张量，逆变张量，混合张量。

在数学上，张量是一个几何实体，并且不依赖坐标系选择，就实际应用而言，利用扩散张量成像，可以产生大脑的扫描图，利用了水在器官里面的微分透性的张量。

一个（M,N）型的张量被定义为一个多重线性映射：MULTILINEAR MAP，这个也就是前两天道奇同学说的MAP

T:V*X……..XV*（M COPIES）X VX……XV （N COPIES）----R

在这里，前面一项V*叫对偶空间，V叫做向量空间

具体计算，就是如果一个3阶张量（2，5，7）的实体，当从《1，1，1》这样的实体S^3球开始，一共有70个值。

对于广义相对论中的黎曼曲率张量，他是一个维度为《4，4，4，4》 （3个空间+一个时间）的四阶张量，就有256=4X4X4X4的向量也就是矩阵存在，但其中大约只有20个分量是独立的。

那么张量场 TENSOR FIELD是什么概念呢？

就向量场而言就是：从点到点的变化的向量，如果空间的每一个点的属性都可以用一个张量来代表的话，那么这个场就是张量场，比如应力张量场STRESS-ENERGY TENSOR FIELD，而定义在流形上的场每个流形上的点就有一个张量。向量从就是依赖于流形作为参数的向量空间，比如下面要谈的辛流形。而切丛就是TANGENT BUNDLE，切空间组成的向量从，拥有所谓的光滑流形，或者叫做微分流形SMOOTH MANIFOLD的拓扑流形，可以扩展为纤维丛：派;E –B 的连续满射，而向量场可以叫做切从的截面。

张量场是对流行的每一个点都定义一个张量值。

而张量场，可以有个密度，要乘以雅可比矩阵，变成向量从

俺们知道，数学家HEINZ HOPF描述了他的纤维丛FIBRATION，借着复数，其实就是拓扑学的一个的一个最普遍内容。这个理论首先从C^2内的S^3球面入手，在4维度空间内的单位S^3球就是就是一个距离原点一个单位长度的点的集合，比如太阳，比如原子核，就是一个S^3球。因为是4维度时空，4个实数坐标就表示为：X1^2+Y1^2+X2^2+Y2^=1，但如果把Z1=X1+iY1这样用复数表示，同理Z2，这样就绝对值下Z1^2+Z2^2=1了，这样S^3球就可以简化为复数平面下的一个圆了。但是这是一个复平面，如果轴线Z2=0，就是复直线，对应一个实平面，他与S^3球相交皆满足Z1绝对值=1的点（Z1,0）。就是说在S^1圆上的点。而如果Z1=0, Z2=aZ1，a为一个复数，对应于S^3球面上的一个圆，所以S^3球面上充满了圆，好像一个膨胀的4个维度不同颜色的毛线球，但是那种交接的不是正球的，象一种面包，对于每个S^2内的点，就是说所有复数a的值，都有一个圆，而且没有两个这样的圆会在不同的a值情况下相同，就好像一个圆铁圈不断的自绕成一个更大的铁圈，但每个地方会出现一个交叉的小圆弧，类似一个花坛，这个分解3维度球的过程就叫做HOPF纤维化，而S^3与S^2之间的映射很有意思，不能被描述为一个常值映射，而高维度下的S^N与S^P之间的映射就更复杂了。

俺们知道，所谓几何结构，指的是实体流形M的N次方上的二阶张量场T。如果用G属于GLN®来表示T的线性群，通过结构群约化我们可以赋予TM以G从结构，这时我们叫M为G的流形。举个栗子：

就定向流形M的N次方，可以看做GLN+®流形，比如黎曼流形（M的N次方，g） ，而易欣流形（M的2N次方，w）w 为非退化的斜对称（0，2）张量/2形式，就可以看做SP2N(R)流形，而姨夫流形（M的2N次方，J）在这里J 为（1，1）张量。

如果G结构呈现点态，而我们希望进一步T在每个淋浴中均可以标准化为“平坦”张量场，就需要附加一个可积分性的条件。对于RIEMAN流形，F就是RIEMAN的曲率张量，也叫做黎曼定理。对于姨夫流行或者易欣流形，F分别对应NIJENHUIS张量的NJ（NWELANDER-NIRENBERG定理）和DW（DARBOUX定理），相应的平坦流形也就是复流形和辛流形。其中黎曼几何几乎都在平坦流中引用，复流形最近才火起来，而辛流形仍然没有火。除了在姨夫流形的HERMITE流形上对应以外，KAHLER流形有多种不同定义方式，一般吧HERMITE流形的M的2N次方称为KAHLER流形。从平坦度量的角度看，HERMITE流形成为KAHLER流形的充分必要条件是（A’）在任意点附近均存在全纯坐标系使得H与标准HERMITE度量的差异至少成为2结项，这是因为KAHLER流形通常不满足黎曼的可积性。