Riemann 猜想漫談 (十二)

- 盧昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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十九. Montgomery-Odlyzko 定律

Montgomery 關於 Riemann ζ 函數非平凡零點分布的論文於 1973 年發表在美國數學學會的 Proc. Sym. Pure Math. 上。 但最初幾年裡它並不曾吸引多少眼球， 因為無論這種存在於零點分布與隨機矩陣理論間的關聯有多奇妙， 在當時它還只是一個純粹的猜測， 既沒有嚴格的數學證明， 也沒有直接的數值證據。 我們曾在第 十三、 十四 節中介紹過零點計算的簡史。 在 Montgomery 的論文發表之初， 人們對零點的計算還只進行到幾百萬個， 而且 - 如我們在 第十五節 中所說 - 那些計算大都只是驗證了 “前 N 個零點” 位於 critical line 上， 卻不曾涉及零點的具體數值。 既然沒有具體數值， 自然就無法用來檢驗 Montgomery 的對關聯假設。 更何況 - 如我們在 第十六節 中所說 - 為了檢驗後者， 我們需要研究虛部很大的零點， 這顯然也是當時的計算所遠遠不及的。 因此當時就連 Montgomery 自己也覺得對他的猜測進行數值驗證將是極為遙遠的將來的事情。

但是 Montgomery 和我們在 第十四節 中提到的輸掉葡萄酒的 Zagier 一樣大大低估了計算機領域的發展速度。 在他的論文發表五年之後的一天， 他又來到了 Princeton。 不過這次不是為了覲見 Selberg， 而是來做一個有關 Riemann ζ 函數零點分布的演講。 在那次演講的聽眾中有一位來自 32 英里外的貝爾實驗室 (Bell Labs) Murray Hill 研究中心的年輕人， 他被 Montgomery 講述的零點分布與隨機矩陣理論間的關聯深深地吸引住了。 而他所在的實驗室恰好擁有當時著名的 Cray 巨型計算機。 這位年輕人便是我們在 第十六節 中提到的 Andrew M. Odlyzko。

Princeton 真是 Montgomery 的福地， 五年前與 Dyson 在這裡的相遇， 使他了解到了零點分布與隨機矩陣理論間的神秘關聯， 從而為他的研究注入了一種奇異的魅力。 五年後又是在這裡， 這種魅力打動了 Odlyzko， 從而有了我們在 第十六節 中介紹的 Odlyzko 對 Riemann ζ 函數零點的大規模計算分析。 這些計算為 Montgomery 所猜測的零點分布與隨機矩陣理論間的關聯提供了大量的數值證據[注一]。 這種關聯， 即經過適當的歸一化後 Riemann ζ 函數非平凡零點的間距分布與 Gaussian Unitary Ensemble (參閱 第十八節) 的本徵值間距分布相同， 也因此漸漸被人們稱為 Montgomery-Odlyzko 定律 (Montgomery-Odlyzko Law)[注二]。 Montgomery-Odlyzko 定律雖然是用 Gaussian Unitary Ensemble 來表述的， 但我們在 第十八節 中曾經提到， 隨機矩陣理論的本徵值分布在矩陣階數 N→∞ 時具有普適性。 因此 Montgomery-Odlyzko 定律所給出的關聯並不限於 Gaussian Unitary Ensemble。 不僅如此， 這種本徵值分布的普適性還有一層含義， 那就是它不僅在各種系綜下都相同， 而且對系綜中任何一個典型的系統 - 即任何一個典型的隨機矩陣 - 都相同。 換句話說， 我們不僅不需要指定系綜的分布函數， 甚至連繫綜本身都不需要， 只要隨便取出一個隨機矩陣就可以了[注三]。 因此 Montgomery-Odlyzko 定律實際上意味着 Riemann ζ 函數非平凡零點的分布可以用任何一個典型隨機厄密矩陣的本徵值分布來描述。

Montgomery 當初的研究 - 如我們在 第十六節 中介紹的 - 只涉及零點分布的對關聯函數。 在他之後， 人們對零點分布的高階關聯函數也作了研究。 1996 年， Z. Rudnick 與 P. Sarnak 及 E. B. Bogomolny 與 J. P. Keating 分別 “證明” 了零點分布的高階關聯函數也與相應的隨機矩陣的本徵值關聯函數相同。 美中不足的是， 我們不得不對這種 “證明” 加上引號， 因為它們和 Montgomery 的研究一樣， 並不是真正嚴格的證明， 它們或是引進了額外的限制條件 (如 Z. Rudnick 與 P. Sarnak 的研究)， 或是運用了本身尚未得到證明的 Riemann 猜想及強 孿生素數猜想 (如 E. B. Bogomolny 與 J. P. Keating 的研究)。

但即便如此， 所有這些理論及計算的結果還是非常清楚地顯示出 Riemann ζ 函數非平凡零點的分布與隨機矩陣的本徵值分布 - 從而與由隨機矩陣理論所描述的一系列複雜物理體系的性質 - 間的確存在着令人矚目的關聯。 Montgomery-Odlyzko 定律在 “經驗” 意義上的成立幾乎已是一個毋庸置疑的事實。

二十. Hilbert-Pólya 猜想

那麼在 Riemann ζ 函數非平凡零點這樣的純數學客體與由隨機矩陣理論所描述的純物理現象之間為什麼會出現象 Montgomery-Odlyzko 定律那樣的關聯呢？ 這卻是一個我們至今也未能完全理解的謎團。 但有意思的是， 雖然在距離 Montgomery 的論文發表已有三十餘年的今天我們仍未能徹底理解 Montgomery-Odlyzko 定律的本質， 可是遠在 Montgomery 的論文發表六十餘年前的二十世紀一二十年代， 數學界就流傳着一個與 Montgomery-Odlyzko 定律極有淵源的猜想 - Hilbert-Pólya 猜想：

Hilbert-Pólya 猜想: Riemann ζ 函數的非平凡零點與某個厄密算符的本徵值相對應。

更確切地講， Hilbert-Pólya 猜想指的是： 如果把 Riemann ζ 函數的非平凡零點寫成 ρ=1/2+it， 則所有這些 t 與某個厄密算符的本徵值一一對應 (自 第十一節 引進 t 以來， 當我們提到 Riemann ζ 函數的非平凡零點時往往指的是 t， 這一點讀者應該很容易從上下文中判斷出來)。 我們知道， 厄密算符的本徵值都是實數。 因此如果所有的 t 都與某個厄密算符的本徵值相對應， 則它們必定全都是實數， 從而所有非平凡零點 ρ=1/2+it 的實部都等於 1/2， 這正是 Riemann 猜想的內容。 因此如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 則 Riemann 猜想也必定成立。

我們在 上節 中提到， Montgomery-Odlyzko 定律表明 Riemann ζ 函數非平凡零點的分布可以用任何一個典型隨機厄密矩陣的本徵值分布來描述。 這種描述雖然奇妙， 終究只是統計意義上的描述。 但是如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 則 Riemann ζ 函數的非平凡零點乾脆直接與某個厄密矩陣的本徵值一一對應了。 這是嚴格意義上的對應， 有了這種對應， 統計意義上的對應自然就不在話下。 因此 Hilbert-Pólya 猜想雖然比 Montgomery-Odlyzko 定律早了六十餘年， 卻是一個比 Montgomery-Odlyzko 定律更強的命題！

從二十世紀初開始流傳的 Hilbert-Pólya 猜想在無形之中與半個多世紀後才出現的 Montgomery-Odlyzko 定律做了跨越時間的遙遠呼應。

但是這一呼應委實是太過遙遠了， Montgomery 的論文尚且因為缺乏證據而遭冷場， Hilbert-Pólya 猜想就更無人問津了。 這種冷落是如此地徹底， 以至於當 Montgomery 的論文及後續研究重新燃起人們對 Hilbert-Pólya 猜想的興趣， 從而開始追溯它的起源時， 大家驚訝地發現不僅 Hilbert 和 George Pólya (1887-1985) 不曾在人們找尋得到的任何發表物或手稿中留下過一絲一毫有關 Hilbert-Pólya 猜想的內容。 而且在 Montgomery 之前所有其他人的文字中竟也找不到任何與這一猜想相關的敘述。 一個隱約流傳了大半個世紀的數學猜想竟似沒有落下半點文字記錄， 卻一直流傳了下來， 真是一個奇蹟！

1981 年 12 月 8 日， Odlyzko 給 Pólya 發去了一封信， 詢問 Hilbert-Pólya 猜想的來龍去脈。 當時 Pólya 已是九十四歲高齡， 臥病在床， 基本不再執筆回復任何信件， 但 Odlyzko 的信卻很及時地得到了他的親筆回復。 畢竟， 對一位數學家來說， 自己的名字能夠與偉大的 Hilbert 出現在同一個猜想中是一種無上的榮耀。 Pólya 在回信中寫道[注四]：

很感謝你 12 月 8 日的來信。 我只能敘述一下自己的經歷。

1914 年初之前的兩年裡我在 Göttingen。 我打算向 Landau 學習解析數論。 有一天他問我： “你學過一些物理， 你知道任何物理上的原因使 Riemann 猜想必須成立嗎？” 我回答說， 如果 ξ-函數的非平凡零點與某個物理問題存在這樣一種關聯， 使得 Riemann 猜想等價於該物理問題中所有本徵值都是實數這一事實， 那麼 Riemann 猜想就必須成立。

三年後 Pólya 離開了人世， 他的這封信便成了迄今所知有關 Hilbert-Pólya 猜想的唯一文字記錄。 至於早已過世的 Hilbert 在什麼場合下提出過類似的想法， 則也許將成為數學史上一個永遠的謎團了。

二十一. Riemann 體系何處覓？

如上所述， 假如 Hilbert-Pólya 猜想成立， 則 Riemann ζ 函數的非平凡零點將與某個厄密算符的本徵值一一對應。 我們知道厄密算符可以用來表示量子力學體系的哈密頓量， 而厄密算符的本徵值則對應於該量子力學體系的能級。 因此如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 則 Riemann ζ 函數的非平凡零點有可能對應於某個量子力學體系的能級， 非平凡零點的全體則對應於該量子力學體系的能譜。 我們把這一特殊的量子力學體系稱為 Riemann 體系， 把這一體系的哈密頓量稱為 Riemann 算符[注五]。

那麼這個 Riemann 體系 - 如果存在的話 - 會是一個什麼樣的量子力學體系呢？

有關這個問題最重要的線索顯然來自 Montgomery-Odlyzko 定律。 由於 Montgomery-Odlyzko 定律表明 Riemann ζ 函數的非平凡零點分布與隨機厄密矩陣的本徵值分布相同， 因此我們不難猜測， Riemann 算符是一個隨機厄密矩陣。 那麼由隨機厄密矩陣所描述的量子力學體系具有什麼特點呢？ 這個問題自二十世紀七十年代末以來有許多人研究過。 1984 年， O. Bohigas 提出了一個猜想， 即由隨機矩陣理論描述的量子體系在經典近似下對應於經典混沌體系[注六]。 這一猜想已經有了許多數值計算的支持， 但至今仍未得到嚴格的證明。 不過從物理角度上講， 與經典混沌體系相對應的量子體系的波函數會在一定程度上秉承經典軌跡的混沌性， 從而使得哈密頓量的矩陣元呈現隨機性， 這正是隨機矩陣的特點。

由此看來 Riemann 體系很可能是一個與經典混沌體系相對應的量子體系。 那麼這個與 Riemann 體系相對應的經典混沌體系又會具有什麼樣的特徵呢？ 這個問題人們也做過一些研究。 由於我們所知有關 Riemann 體系最明確的信息是 Riemann ζ 函數的非平凡零點， 即 Riemann 體系的能譜。 因此尋找 Riemann 體系的努力顯然要從能譜入手。 描述量子體系能譜的一個很有用的工具是所謂的能級密度函數：

ρ(E) = Σnδ(E-En)

早在二十世紀六十年末和七十年代初， M. C. Gutzwiller 就對這一能級密度函數的經典極限做了研究， 得到了一個我們現在稱為 Gutzwiller 求跡公式 (Gutzwiller Trace xxxxula) 的結果。 在對應的經典體系具有混沌性的情形下， Gutzwiller 求跡公式為：

ρ(E) = ρ(E) + 2 ΣpΣk Ap,kcos(2πkSp/h + αp)

其中 h 為 Planck 常數， ρ(E) 是一個平均密度。 我們感興趣的是第二項， 它包含一個對經典極限下所有閉合軌道 p 及正整數 k (沿閉合軌道的繞轉數) 的雙重求和。 求和式中的 Sp 是閉合軌道 p 的作用量， αp 是一個被稱為 Maslov phase 的相位。 而 Ap,k 與 閉合軌道的性質有關， 可以表示為：

Ap,k = Tp/h[det(Mpk-I)]1/2

其中 Tp 是閉合軌道 p 的周期， Mp 則是描述閉合軌道 p 穩定性的 monodromy matrix。

另一方面， 我們也可以計算 Riemann ζ 函數非平凡零點的密度函數：

ρ(t) = Σnδ(t-tn)

1985 年， M. V. Berry 給出了這一計算的結果：

ρ(t) = ρ(t) - 2 ΣpΣk [ln(p)/2π]exp[-k ln(p)/2]cos[k t ln(p)]

要注意的是， 這裡的 p 是素數而非一般的自然數！ 將這個結果與前面有關量子體系能級密度的計算相比較， 我們發現為使兩者一致， 必須：

αp = π

Tp = ln(p)

Sp = (ht/2π) Tp

Ap,k = Tp/[2π exp(kTp/2)]

這其中最簡潔而漂亮的關係式就是 Tp = ln(p)， 它表明與 Riemann 體系相對應的經典體系具有周期等於素數對數 ln(p) 的閉合軌道！ 這無疑是這一體系最奇異的特徵之一。

研究 Riemann 體系的努力仍在繼續着， 在一些數學物理學家心目中， 它甚至已經成為了一種證明 Riemann 猜想的新的努力方向， 即物理證明。 會不會有一天人們在宇宙的某個角落裡發現一個奇特的物理體系， 它的經典基本周期恰好是 ln2, ln3, ln5, ...？ 或者它的量子能譜恰好包含 14.1347251, 21.0220396, 25.0108575, ...？ 我們不知道。 也許並不存在這樣的體系， 但如果存在的話， 它無疑將是大自然最美麗的奇蹟之一。 只要想到象素數和 Riemann ζ 函數非平凡零點這樣純粹的數學元素竟有可能出現在物理的天空裡， 變成優美的軌道和絢麗的光譜線， 我們就不能不驚嘆於數學與物理的神奇， 驚嘆於大自然的無窮造化。 而這一切， 正是科學的偉大魅力所在。

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二零零四年十一月二十一日寫於紐約
http://www.changhai.org/

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注釋

[注一] 這種數值證據之一便是我們在 第十六節 中給出的關於 Montgomery 零點對關聯函數的擬合曲線。

[注二] 這 “定律” 二字通常在物理學中用得比在數學中多， 它很貼切地表達了這一命題雖有大量的數值證據， 卻缺乏數學意義上的嚴格證明這一特點。

[注三] 當然， 別忘了 N→∞， 以及矩陣為幺正 (對演化算符而言) 或厄密 (對哈密頓量而言) 這些條件。

[注四] Pólya 提到的 ξ-函數應該是指我們在 第四篇 的 [注一] 中提到的 Riemann 本人所定義的 ξ 函數。 Riemann 猜想等價於那個 ξ 函數的零點為實數。

[注五] 嚴格講， 量子力學中所有的可觀測量都是由厄密算符表示的， 哈密頓量只是其中之一。 不僅如此， 由厄密算符的本徵值所描述的物理量甚至並不限於量子力學中的物理量。 從 Pólya 給 Odlyzko 的信中也可以看到， Pólya 當年並沒有對與 Riemann ζ 函數非平凡零點相對應的 “物理問題” 做具體的猜測。 因此從 Hilbert-Pólya 猜想到 Riemann 體系是後人所做的進一步猜測。 之所以做這種猜測， 除了哈密頓量對物理體系所具有的重要性外， 或許是因為隨機矩陣理論最初是在研究原子核能級時被引入物理學中的。 另一方面， 量子體系的能級是自然界中含義最為深刻的離散現象之一， 這或許也是人們把注意力集中到這一方向上的原因之一。

[注六] Bohigas 猜想的原始表述是只針對 Gaussian Orthogonal Ensemble 的。