Riemann 猜想漫谈 (十二)

- 卢昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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十九. Montgomery-Odlyzko 定律

Montgomery 关于 Riemann ζ 函数非平凡零点分布的论文于 1973 年发表在美国数学学会的 Proc. Sym. Pure Math. 上。 但最初几年里它并不曾吸引多少眼球， 因为无论这种存在于零点分布与随机矩阵理论间的关联有多奇妙， 在当时它还只是一个纯粹的猜测， 既没有严格的数学证明， 也没有直接的数值证据。 我们曾在第 十三、 十四 节中介绍过零点计算的简史。 在 Montgomery 的论文发表之初， 人们对零点的计算还只进行到几百万个， 而且 - 如我们在 第十五节 中所说 - 那些计算大都只是验证了 “前 N 个零点” 位于 critical line 上， 却不曾涉及零点的具体数值。 既然没有具体数值， 自然就无法用来检验 Montgomery 的对关联假设。 更何况 - 如我们在 第十六节 中所说 - 为了检验后者， 我们需要研究虚部很大的零点， 这显然也是当时的计算所远远不及的。 因此当时就连 Montgomery 自己也觉得对他的猜测进行数值验证将是极为遥远的将来的事情。

但是 Montgomery 和我们在 第十四节 中提到的输掉葡萄酒的 Zagier 一样大大低估了计算机领域的发展速度。 在他的论文发表五年之后的一天， 他又来到了 Princeton。 不过这次不是为了觐见 Selberg， 而是来做一个有关 Riemann ζ 函数零点分布的演讲。 在那次演讲的听众中有一位来自 32 英里外的贝尔实验室 (Bell Labs) Murray Hill 研究中心的年轻人， 他被 Montgomery 讲述的零点分布与随机矩阵理论间的关联深深地吸引住了。 而他所在的实验室恰好拥有当时著名的 Cray 巨型计算机。 这位年轻人便是我们在 第十六节 中提到的 Andrew M. Odlyzko。

Princeton 真是 Montgomery 的福地， 五年前与 Dyson 在这里的相遇， 使他了解到了零点分布与随机矩阵理论间的神秘关联， 从而为他的研究注入了一种奇异的魅力。 五年后又是在这里， 这种魅力打动了 Odlyzko， 从而有了我们在 第十六节 中介绍的 Odlyzko 对 Riemann ζ 函数零点的大规模计算分析。 这些计算为 Montgomery 所猜测的零点分布与随机矩阵理论间的关联提供了大量的数值证据[注一]。 这种关联， 即经过适当的归一化后 Riemann ζ 函数非平凡零点的间距分布与 Gaussian Unitary Ensemble (参阅 第十八节) 的本征值间距分布相同， 也因此渐渐被人们称为 Montgomery-Odlyzko 定律 (Montgomery-Odlyzko Law)[注二]。 Montgomery-Odlyzko 定律虽然是用 Gaussian Unitary Ensemble 来表述的， 但我们在 第十八节 中曾经提到， 随机矩阵理论的本征值分布在矩阵阶数 N→∞ 时具有普适性。 因此 Montgomery-Odlyzko 定律所给出的关联并不限于 Gaussian Unitary Ensemble。 不仅如此， 这种本征值分布的普适性还有一层含义， 那就是它不仅在各种系综下都相同， 而且对系综中任何一个典型的系统 - 即任何一个典型的随机矩阵 - 都相同。 换句话说， 我们不仅不需要指定系综的分布函数， 甚至连系综本身都不需要， 只要随便取出一个随机矩阵就可以了[注三]。 因此 Montgomery-Odlyzko 定律实际上意味着 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述。

Montgomery 当初的研究 - 如我们在 第十六节 中介绍的 - 只涉及零点分布的对关联函数。 在他之后， 人们对零点分布的高阶关联函数也作了研究。 1996 年， Z. Rudnick 与 P. Sarnak 及 E. B. Bogomolny 与 J. P. Keating 分别 “证明” 了零点分布的高阶关联函数也与相应的随机矩阵的本征值关联函数相同。 美中不足的是， 我们不得不对这种 “证明” 加上引号， 因为它们和 Montgomery 的研究一样， 并不是真正严格的证明， 它们或是引进了额外的限制条件 (如 Z. Rudnick 与 P. Sarnak 的研究)， 或是运用了本身尚未得到证明的 Riemann 猜想及强 孪生素数猜想 (如 E. B. Bogomolny 与 J. P. Keating 的研究)。

但即便如此， 所有这些理论及计算的结果还是非常清楚地显示出 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布与随机矩阵的本征值分布 - 从而与由随机矩阵理论所描述的一系列复杂物理体系的性质 - 间的确存在着令人瞩目的关联。 Montgomery-Odlyzko 定律在 “经验” 意义上的成立几乎已是一个毋庸置疑的事实。

二十. Hilbert-Pólya 猜想

那么在 Riemann ζ 函数非平凡零点这样的纯数学客体与由随机矩阵理论所描述的纯物理现象之间为什么会出现象 Montgomery-Odlyzko 定律那样的关联呢？ 这却是一个我们至今也未能完全理解的谜团。 但有意思的是， 虽然在距离 Montgomery 的论文发表已有三十余年的今天我们仍未能彻底理解 Montgomery-Odlyzko 定律的本质， 可是远在 Montgomery 的论文发表六十余年前的二十世纪一二十年代， 数学界就流传着一个与 Montgomery-Odlyzko 定律极有渊源的猜想 - Hilbert-Pólya 猜想：

Hilbert-Pólya 猜想: Riemann ζ 函数的非平凡零点与某个厄密算符的本征值相对应。

更确切地讲， Hilbert-Pólya 猜想指的是： 如果把 Riemann ζ 函数的非平凡零点写成 ρ=1/2+it， 则所有这些 t 与某个厄密算符的本征值一一对应 (自 第十一节 引进 t 以来， 当我们提到 Riemann ζ 函数的非平凡零点时往往指的是 t， 这一点读者应该很容易从上下文中判断出来)。 我们知道， 厄密算符的本征值都是实数。 因此如果所有的 t 都与某个厄密算符的本征值相对应， 则它们必定全都是实数， 从而所有非平凡零点 ρ=1/2+it 的实部都等于 1/2， 这正是 Riemann 猜想的内容。 因此如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann 猜想也必定成立。

我们在 上节 中提到， Montgomery-Odlyzko 定律表明 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述。 这种描述虽然奇妙， 终究只是统计意义上的描述。 但是如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点干脆直接与某个厄密矩阵的本征值一一对应了。 这是严格意义上的对应， 有了这种对应， 统计意义上的对应自然就不在话下。 因此 Hilbert-Pólya 猜想虽然比 Montgomery-Odlyzko 定律早了六十余年， 却是一个比 Montgomery-Odlyzko 定律更强的命题！

从二十世纪初开始流传的 Hilbert-Pólya 猜想在无形之中与半个多世纪后才出现的 Montgomery-Odlyzko 定律做了跨越时间的遥远呼应。

但是这一呼应委实是太过遥远了， Montgomery 的论文尚且因为缺乏证据而遭冷场， Hilbert-Pólya 猜想就更无人问津了。 这种冷落是如此地彻底， 以至于当 Montgomery 的论文及后续研究重新燃起人们对 Hilbert-Pólya 猜想的兴趣， 从而开始追溯它的起源时， 大家惊讶地发现不仅 Hilbert 和 George Pólya (1887-1985) 不曾在人们找寻得到的任何发表物或手稿中留下过一丝一毫有关 Hilbert-Pólya 猜想的内容。 而且在 Montgomery 之前所有其他人的文字中竟也找不到任何与这一猜想相关的叙述。 一个隐约流传了大半个世纪的数学猜想竟似没有落下半点文字记录， 却一直流传了下来， 真是一个奇迹！

1981 年 12 月 8 日， Odlyzko 给 Pólya 发去了一封信， 询问 Hilbert-Pólya 猜想的来龙去脉。 当时 Pólya 已是九十四岁高龄， 卧病在床， 基本不再执笔回复任何信件， 但 Odlyzko 的信却很及时地得到了他的亲笔回复。 毕竟， 对一位数学家来说， 自己的名字能够与伟大的 Hilbert 出现在同一个猜想中是一种无上的荣耀。 Pólya 在回信中写道[注四]：

很感谢你 12 月 8 日的来信。 我只能叙述一下自己的经历。

1914 年初之前的两年里我在 Göttingen。 我打算向 Landau 学习解析数论。 有一天他问我： “你学过一些物理， 你知道任何物理上的原因使 Riemann 猜想必须成立吗？” 我回答说， 如果 ξ-函数的非平凡零点与某个物理问题存在这样一种关联， 使得 Riemann 猜想等价于该物理问题中所有本征值都是实数这一事实， 那么 Riemann 猜想就必须成立。

三年后 Pólya 离开了人世， 他的这封信便成了迄今所知有关 Hilbert-Pólya 猜想的唯一文字记录。 至于早已过世的 Hilbert 在什么场合下提出过类似的想法， 则也许将成为数学史上一个永远的谜团了。

二十一. Riemann 体系何处觅？

如上所述， 假如 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点将与某个厄密算符的本征值一一对应。 我们知道厄密算符可以用来表示量子力学体系的哈密顿量， 而厄密算符的本征值则对应于该量子力学体系的能级。 因此如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点有可能对应于某个量子力学体系的能级， 非平凡零点的全体则对应于该量子力学体系的能谱。 我们把这一特殊的量子力学体系称为 Riemann 体系， 把这一体系的哈密顿量称为 Riemann 算符[注五]。

那么这个 Riemann 体系 - 如果存在的话 - 会是一个什么样的量子力学体系呢？

有关这个问题最重要的线索显然来自 Montgomery-Odlyzko 定律。 由于 Montgomery-Odlyzko 定律表明 Riemann ζ 函数的非平凡零点分布与随机厄密矩阵的本征值分布相同， 因此我们不难猜测， Riemann 算符是一个随机厄密矩阵。 那么由随机厄密矩阵所描述的量子力学体系具有什么特点呢？ 这个问题自二十世纪七十年代末以来有许多人研究过。 1984 年， O. Bohigas 提出了一个猜想， 即由随机矩阵理论描述的量子体系在经典近似下对应于经典混沌体系[注六]。 这一猜想已经有了许多数值计算的支持， 但至今仍未得到严格的证明。 不过从物理角度上讲， 与经典混沌体系相对应的量子体系的波函数会在一定程度上秉承经典轨迹的混沌性， 从而使得哈密顿量的矩阵元呈现随机性， 这正是随机矩阵的特点。

由此看来 Riemann 体系很可能是一个与经典混沌体系相对应的量子体系。 那么这个与 Riemann 体系相对应的经典混沌体系又会具有什么样的特征呢？ 这个问题人们也做过一些研究。 由于我们所知有关 Riemann 体系最明确的信息是 Riemann ζ 函数的非平凡零点， 即 Riemann 体系的能谱。 因此寻找 Riemann 体系的努力显然要从能谱入手。 描述量子体系能谱的一个很有用的工具是所谓的能级密度函数：

ρ(E) = Σnδ(E-En)

早在二十世纪六十年末和七十年代初， M. C. Gutzwiller 就对这一能级密度函数的经典极限做了研究， 得到了一个我们现在称为 Gutzwiller 求迹公式 (Gutzwiller Trace xxxxula) 的结果。 在对应的经典体系具有混沌性的情形下， Gutzwiller 求迹公式为：

ρ(E) = ρ(E) + 2 ΣpΣk Ap,kcos(2πkSp/h + αp)

其中 h 为 Planck 常数， ρ(E) 是一个平均密度。 我们感兴趣的是第二项， 它包含一个对经典极限下所有闭合轨道 p 及正整数 k (沿闭合轨道的绕转数) 的双重求和。 求和式中的 Sp 是闭合轨道 p 的作用量， αp 是一个被称为 Maslov phase 的相位。 而 Ap,k 与 闭合轨道的性质有关， 可以表示为：

Ap,k = Tp/h[det(Mpk-I)]1/2

其中 Tp 是闭合轨道 p 的周期， Mp 则是描述闭合轨道 p 稳定性的 monodromy matrix。

另一方面， 我们也可以计算 Riemann ζ 函数非平凡零点的密度函数：

ρ(t) = Σnδ(t-tn)

1985 年， M. V. Berry 给出了这一计算的结果：

ρ(t) = ρ(t) - 2 ΣpΣk [ln(p)/2π]exp[-k ln(p)/2]cos[k t ln(p)]

要注意的是， 这里的 p 是素数而非一般的自然数！ 将这个结果与前面有关量子体系能级密度的计算相比较， 我们发现为使两者一致， 必须：

αp = π

Tp = ln(p)

Sp = (ht/2π) Tp

Ap,k = Tp/[2π exp(kTp/2)]

这其中最简洁而漂亮的关系式就是 Tp = ln(p)， 它表明与 Riemann 体系相对应的经典体系具有周期等于素数对数 ln(p) 的闭合轨道！ 这无疑是这一体系最奇异的特征之一。

研究 Riemann 体系的努力仍在继续着， 在一些数学物理学家心目中， 它甚至已经成为了一种证明 Riemann 猜想的新的努力方向， 即物理证明。 会不会有一天人们在宇宙的某个角落里发现一个奇特的物理体系， 它的经典基本周期恰好是 ln2, ln3, ln5, ...？ 或者它的量子能谱恰好包含 14.1347251, 21.0220396, 25.0108575, ...？ 我们不知道。 也许并不存在这样的体系， 但如果存在的话， 它无疑将是大自然最美丽的奇迹之一。 只要想到象素数和 Riemann ζ 函数非平凡零点这样纯粹的数学元素竟有可能出现在物理的天空里， 变成优美的轨道和绚丽的光谱线， 我们就不能不惊叹于数学与物理的神奇， 惊叹于大自然的无穷造化。 而这一切， 正是科学的伟大魅力所在。

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二零零四年十一月二十一日写于纽约
http://www.changhai.org/

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注释

[注一] 这种数值证据之一便是我们在 第十六节 中给出的关于 Montgomery 零点对关联函数的拟合曲线。

[注二] 这 “定律” 二字通常在物理学中用得比在数学中多， 它很贴切地表达了这一命题虽有大量的数值证据， 却缺乏数学意义上的严格证明这一特点。

[注三] 当然， 别忘了 N→∞， 以及矩阵为幺正 (对演化算符而言) 或厄密 (对哈密顿量而言) 这些条件。

[注四] Pólya 提到的 ξ-函数应该是指我们在 第四篇 的 [注一] 中提到的 Riemann 本人所定义的 ξ 函数。 Riemann 猜想等价于那个 ξ 函数的零点为实数。

[注五] 严格讲， 量子力学中所有的可观测量都是由厄密算符表示的， 哈密顿量只是其中之一。 不仅如此， 由厄密算符的本征值所描述的物理量甚至并不限于量子力学中的物理量。 从 Pólya 给 Odlyzko 的信中也可以看到， Pólya 当年并没有对与 Riemann ζ 函数非平凡零点相对应的 “物理问题” 做具体的猜测。 因此从 Hilbert-Pólya 猜想到 Riemann 体系是后人所做的进一步猜测。 之所以做这种猜测， 除了哈密顿量对物理体系所具有的重要性外， 或许是因为随机矩阵理论最初是在研究原子核能级时被引入物理学中的。 另一方面， 量子体系的能级是自然界中含义最为深刻的离散现象之一， 这或许也是人们把注意力集中到这一方向上的原因之一。

[注六] Bohigas 猜想的原始表述是只针对 Gaussian Orthogonal Ensemble 的。