【數學】有趣的三角形數

三角形數（triangular number）是指一定數目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，這樣的數被稱為“三角形數”。

見圖即可分曉：

【圖1】

前幾個三角形數是：1, 3, 6, 10, ..., n(n+1)/2, ...

其中，n(n+1)/2 是第n個“三角形數”T(n)的值。

顯然，求T(n)值的公式，就是一個求算術/等差級數的求和公式。

“三角形數”的性質有：

1】第n個“三角形數”是從1開始的n個自然數的和。

【由算術級數的級數求和公式可得】

2】所有大於3的“三角形數”都不是素數。

【證明：由“三角形數”通項公式T(n) = n(n+1)/2可知，T(n)必有一個因數 n 或 (n+1)，故得證。】

3】任何三角形數乘以8再加1是一個平方數。

【證明：利用三角形數的通項公式即可證明】

3.1】一種檢驗正整數x是否三角形數的方法，可計算：

2n+1=[(√8x+1)-1]/2：

--如果(2n+1)是整數，那麼x就是第n個三角形數；

--如果(2n+1)不是整數，那麼x不是三角形數。

這個檢驗法是基於上述性質【4】。

4】一部分“三角形數”（3、10、21、36、55、78……）可以用以下公式表示： T(n)=k*(2k+1)；

而剩下的另一部分“三角形數”（1、6、15、28、45、66……）則可以用 公式 T(n)=k*(2k-1) 表示。

【證明：將n分別以偶數和奇數2種情況考慮：

1）當n=2k為偶數時（k>=1），T(n)=2k*(2k+1)/2=k*(2k+1)；

2）當n=(2k-1)為奇數時（k>=1），T(n)=2k*(2k-1)/2=k*(2k-1)。】

5】一個三角數乘以9加上1仍是一個三角數。

【證明：9n/[2(n+1)]+1 = (1/2)*(3n+1)(3n+2)】

6】兩個相繼的三角形數之和是平方數。

【證明：利用三角形數的通項式即可證明】

7】從1開始的n個立方數的和是第n個“三角形數”的平方（舉例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10^2）

【證明：參見以下鏈接里的證明：

https://brilliant.org/wiki/sum-of-n-n2-or-n3/#sum-of-the-cubes-of-first-n-positive-integers】