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 地藏菩薩說 ：

“地獄不空，誓不成佛。

   眾生度盡，方證菩提。”

《 場方程和微分幾何· 廣相論37》

6、場方程和微分幾何

場方程是建立在微分幾何（Differential Geometry）基礎上的，

微分幾何水平不行，

對一些概念是難以理解的。

對微分幾何，

愛因斯坦也是在創立場方程過程中，

向他的數學家朋友現學的。

微分幾何是運用微積分

來研究空間幾何性質的數學。

古典微分幾何起源於微積分，

內容是曲線論和曲面論。

歐拉、蒙日和高斯，是古典微分幾何的奠基人；

而近代微分幾何的創始人是黎曼。

黎曼在1854年創立了黎曼幾何，

黎曼幾何是近代微分幾何的主要內容。 

歐拉（Euler，1707－1783），瑞士數學家。

蒙日（Monge，1746～1818），法國數學家、化學家和物理學家。

高斯（英語：Gauss 1777－1855）， 德國數學家、物理學家、天文學家。

黎曼 ( 1826—1866 )，德國數學家

通過學習，我們了解到，

場方程的計算，離不開黎曼幾何

（黎曼幾何就是彎曲空間幾何）。

1916年愛因斯坦創立了‘引力場方程’，

引力場方程是一個二階張量方程，

或者說，引力場方程是一個

二階非線性偏微分方程*。

場方程是用‘張量微積分’表述的。

所謂‘張量微積分’

就是用張量場表述的微分方程。

 【回顧與複習】

假設彎曲空間，有兩個點靠的很近，

就可以把它寫成微分形式

（例如，可以把微小距離寫成ds 形式。

就是說，數學符號ds表示空間彎曲程度的極小距離）。

在微分幾何中，

求彎曲空間曲線的長度（弧長），

需要先定義

某一點的‘切向量’長度（參看下面3幅圖），

然後把這條‘切向量’所經過的

所有‘微元距離’ds，用微積分算一下，

就可以求出特定的線段或角度來。

就是說， 場方程

包含了運用曲線坐標的微分計算

從而得出彎曲時空的曲率。

曲線在某點的切向量可以理解為

沿曲線在該點的切線方向的向量。

切向量是與曲線相切的向量。

可以通俗理解為

切向量是與法線相互垂直的線，

即曲線的法線是垂直於切線的。

  謝謝閱讀。