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親愛的朋友，根據常識，幾乎人人皆知，

過某點可以作無數平面，

那麼，是否要用無數平面上的應力，

才能描述某點的應力狀況呢？回答是不需要。

物理上規定，只需用過一點的

‘任意一組’相互垂直的三個平面上的應力，

就可以代表某一點的應力狀態了。

而其它面的應力可以用與被考察面的方位關係來決定。

就是說，只要在無數可能產生的平面中

海選出一組做代表就可以了。

（圖中的F 代表合力F）

應變有‘線應變’、有‘角應變’兩大類。

（1）‘線應變’，又叫‘正應變’，

（‘正應變’用一個長得像短尾巴小蝌蚪的

     希臘字母Sigma 西格瑪 σ來表示       ）

‘正應變’是在某一方向上的

微小線段因變形產生的長度增量與原長度的比值 ；

（2）‘角應變’又叫‘切應變’或‘剪應變’。

‘切應變’用希臘字母τ(tau 套)表示。

‘切應變’是兩個相互垂直方向上的微小線段

在變形後所形成的夾角的改變量（以弧度表示）。

從宏觀角度說，

彈性是衡量物體抵抗彈性變形的能力，

從微觀角度來說，

則是原子、離子或分子之間鍵合強度的反映。

想象在某個‘假想截面’的P點處，

切開物體，如下圖所示。

根據定義，可以得到P點的

1 個‘正應力’和2個‘切應力’（剪應力）。

以上這3個分量（1個正應力、2個切應力）的合成,

叫‘全應力’，

‘全應力’用大寫希臘字母 T (Tau) 表示。

我們可以用蟾蜍（英語Toad）

第一個字母T來幫助記憶。

通過學習，我們還知道

實際情況是，過某一點的受力，常常是複雜的，

那麼如何能描述某一點的應力狀態呢？

用向量顯然不行，

物理上規定，在遇到具有多種方向的應力時，

需要使用‘具有多種方向’的物理量，

即使用一個叫‘張量’的東西來描述，

好像需要把‘粉條’換成‘洋蔥頭’。

粉條若是一維的；

洋蔥頭就是多維的（即蔥頭具有多重方向性）。

現在重點來了——

（3）什麼是‘應力張量’（ Stress tensor）？

如圖所示，P為直角坐標系0XYZ中，

某一（受壓）變形體內的任意一點，

在該點附近    切取一個‘各平面’都平行於

‘原坐標平面’的六面體（或叫單元體、微元體）。

此六面體上互相垂直的三個平面上的應力分量，

即可表示該點的應力狀態

（實際上凡是‘正六面體’，

    任意相鄰的2個面，都是彼此垂直的）。

應力，即某點處單位面積上受到的力。 

應力可分解為 

“正應力”（ 即 法向應力 ）和切應力。

【單元體的概念】

何謂“單元”？我們可以將單元體定義為：

具有相同形狀、體積或結構的

一個獨立體或多個空間形體組合體，

由單元體生成整體。

一個應力分量，由

‘截面方向’和 ‘分量方向’準確決定。

在數學上的表徵就是，

某點的應力狀態用一個‘二階張量’來表示。

簡單來說，應力張量是一個二階物理量。

這種二階狀態可以理解為：

要把空間內某一點的所有面的方向說清楚，

需要三個‘面元方向’作基底，

在數學中，用很多小的平面描述一個曲面。

這些小的平面就叫“面元”，可理解為曲面上的小單元。

基 (basis)（即基底）是描述向量空間的基本概念。

向量空間‘基’的元素，稱為基向量。

要把其中每一個‘面元方向’受力情況說清楚，

又各需要力的三個分量作基底，

如此一來，3乘3就得到9個分量。

【複習】

如圖所示，P為‘直角坐標系’OXYZ中

一個（受壓而變形的）‘變體’內的任意一點，

在‘該’P動手術, 切取一個各面都平行於

‘原坐標面’的‘新六面體’，

這個新的‘六面體’，呱呱落地後，

自然會帶來3個相互垂直的面，

但是在實際計算中，

根本不用取所有的面，

而只取1組3個相互垂直的面做代表，

這個作為代表的3個互相垂直的面上的‘應力量’，

即是該點的‘應力狀態’ ，

就是說，人們可以在這個‘六面體’上，

只取1組作為代表，

而這個‘代表組’所擁有的應力，就叫‘應力張量’。

【關於下標】

應力分量的

第一個下標表示作用平面的法向；

第二個下標表示應力作用的方向。

正應力的兩個下標是一樣的，故用一個下標簡寫之。

【小結】

場方程的“應力”，

是一個叫“應力張量”的二階張量

（stress tensor 應力張量）。

概略地說，應力描述了物質內各部分之間通過力

（且是通過近距離接觸的作用力）

進行相互作用的強度。

就是說，

相對論中，應力是二階的，全稱“應力張量” 。

三維空間中，某點需九個分量來確定這個張量

即三維空間的某一點需要用

3個‘正應力’和 6個‘剪應力’來確定。

 謝謝。