第四章∶再回到分形龍

兩人一看，張三本子上畫的是下面的圖形∶

圖（4.1）∶謝爾賓斯基三角形

�茝埲�介紹說，這是另一種很簡單的分形，由波蘭數學家瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基（Wacław Franciszek Sierpiński，1882-1969）而得名。謝爾賓斯基主要研究的是數論、集合論及拓撲學。他共出版了超過700篇的論文和50部著作，在波蘭的學術界很有威望。

圖（4.2）∶紀念謝爾賓斯基而發行的郵票和謝爾賓斯基獎章

張三說，他原來怎厶也想不通維數為什厶會是一個分數？後來，謝爾賓斯基三角形的生成過程使他有點開竅！

你們看，這個分形可以用兩種不同的方法產生出來∶一種就是圖（4.1）那種‘去掉中心’的方法∶最開始的第一個圖形是個塗黑了的三角形，顯然是個2維的圖形。我們對它做的迭代變換就是挖掉它中心的三角形，成為第二個圖，然後，再繼續挖下去┅┅

“開始我想，無論怎厶挖，不都應該還是好多好多2維的小三角形嗎？所以圖形總是2維的┅┅”張三說∶“但後來，我在網上發現有另外一種方法，也能腹成謝爾賓斯基三角形┅┅”

張三在本子上翻出另一張圖給朋友們看∶

圖（4.3）∶由曲線的迭代生成謝爾賓斯基三角形

這種方法是從圖（4.3）中（1）所示的曲線開始迭代，迭代無限次之後，最後也得到謝爾賓斯基三角形。而曲線是一維的，按照張三原來那種經典的想法，謝爾賓斯基三角形好像又應該是1維圖形。所以張三發現∶有些圖形的維數不好用原來那種經典的方式來理解，當進行無窮次迭代後，幾何圖形的性質發生了質變，維數也不同於原來的生成圖形的維數了。看起來，謝爾賓斯基三角形的維數應該是一個介於1和2之間的數。但到底是多少呢？張三看見李四給出了一個計算分形維數的公式，便急於想要把這個分數算出來。

根�评钏乃�解釋的方法，張三從圖（4.1）或圖（4.3）右邊的最後一個圖計算分形維數。你們看∶將圖形按照2∶1的比例縮小，然後，用3個小圖放在一起，就可以腹成和原圖一模一樣的圖形。因此，張三很快地算出了謝爾賓斯基三角形的豪斯多夫維數 d = ln(3)/ln(2) ≈ 1.585。

下面，我們再回頭研究分形龍的維數。第一章的圖（1.3）描述了分形龍的自相似性。從圖中看出∶如果將分形龍曲線，尺寸縮小為原來的一半之後，得到右上圖的小分形龍曲線。然後，將四個小分形龍曲線，分別旋轉方向，成為如右下圖的位置。最後，再按照右下圖中箭頭所指的方向，移動四個小分形龍曲線，便拼成了左下圖的、與原來曲線一樣的分形龍曲線。因此，如此可以證明，分形龍曲線的豪斯多夫維維數為2，因為根�乒�式（3.1），d = ln(4)/ln(2) = 2。

這兒又給出了一個具體例子∶經過無窮次迭代之後，圖形的性質發生了質變，豪斯多夫維從1維變成了2維。也就是說，圖（4.4）中，有限次迭代中的折線，無數次摺疊的結果，使折線充滿了2維空間，成為圖中右邊的2維圖形。

圖（4.4）有限次迭代到無限次迭代∶維數從1變成了2

有趣的是，如圖（4.5）所示，分形龍圖形的邊界也是一個可以用迭代法產生的分形，現在我們來計算分形龍邊界的豪斯多夫維。

圖（4.5）∶分形龍邊界腹成的分形

由圖（4.5）可知，整個分形龍曲線的邊界是由四段相似的圖形組成的。這種分形的維數估算方法比較複雜一些，它的“分形維數“(d)可以通過解如下方程求得:

圖（4.6）∶分形龍邊界由四段自相似圖形腹成

通過分形龍及其它幾種簡單分形，我們認識了分形，理解了分數維。分形幾何是理解混沌概念及非線性動力學的基礎，在現代科學技術中，有着廣泛的應用。

下面的連接可以讓你親身體會分形龍圖形的趣味和美妙∶

http://www.tianfangyetan.net/cd/java/fractals.html