趣味的數學 - 22-1【奇妙的“篩子“】-1

1】篩出平方數

利用以下步驟，可以從連續的自然數中“篩”出任何平方數。

a】第一行：按照自然數的原來順序，把它們寫下來。例如，寫下1至20：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

b】從2開始，划去其中所有的偶數，剩下

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

成為第二行。

c】第三行：第一個數，寫下1+3的和：4。

第二個數，寫下4與第二行中的5的和：9。

第三個數，寫下9與第二行中的7的和：16。

用此規則，繼續寫下去。

顯然地，第三行出現的是順序的平方數。

請說明其中的道理。

這個“篩子”還可以篩出立方數、4次方數，……， n次方數，乃至階乘數。