金字塔和正四面体问题的简单解答

原题：

一个正四面体（四面都是正三角形），三角形边长为一．又有一金字塔，底为边长为
一的正方形，四个斜面为边长为一的正三角形．将金字塔的一个三角形与正四面体的
一个三角形合在一起，问这新的多面体有几个面．

简解：

金字塔的一个三角形与正四面体的一个三角形合在一起后，金字塔的一个底边与正四
面体的一个三角形的边重合。把与这个底边相对的金字塔的那个底边称为基准边。正
四面体的一个点悬空。把这个点成为自由点。

过基准边中点，自由点，做一个垂面(垂直于金字塔的底面)。现在讨论垂面的截痕。
金字塔的截痕是个等腰三角形，底边为1，其它两边都是sqrt(3)/2。而正四面体的
截痕是同样的倒立的等腰三角形。也就是说，金字塔与正四面体的共同截痕是平行四
边形。

过基准边中点，自由点，做一条连线。根据平行四边形的性质(对角线平分另一对角
线)，这线段在金字塔中的长度与在正四面体中的长度相等。设这个长度是d。还知道，
这线段与重合面(金字塔与正四面体重合面)的交点的高度是金字塔高度的1/2。

过基准边，自由点，做一个平面(上述讨论的线段就在这个平面中)。现在讨论此平面
的截痕。金字塔的截痕是个等腰梯形，下底为1，上底为1/2，高为d。正四面体的截
痕是等腰三角形，底为1/2，高为d。这说明，金字塔与正四面体的共同截痕是底为1
高为2d的等腰三角形。金字塔的侧面与正四面体的侧面的截痕是同一条直线，说明这
两个侧面在同一个平面。

所以答案是5个面。