金字塔和正四面體問題的簡單解答

原題：

一個正四面體（四面都是正三角形），三角形邊長為一．又有一金字塔，底為邊長為
一的正方形，四個斜面為邊長為一的正三角形．將金字塔的一個三角形與正四面體的
一個三角形合在一起，問這新的多面體有幾個面．

簡解：

金字塔的一個三角形與正四面體的一個三角形合在一起後，金字塔的一個底邊與正四
面體的一個三角形的邊重合。把與這個底邊相對的金字塔的那個底邊稱為基準邊。正
四面體的一個點懸空。把這個點成為自由點。

過基準邊中點，自由點，做一個垂面(垂直於金字塔的底面)。現在討論垂面的截痕。
金字塔的截痕是個等腰三角形，底邊為1，其它兩邊都是sqrt(3)/2。而正四面體的
截痕是同樣的倒立的等腰三角形。也就是說，金字塔與正四面體的共同截痕是平行四
邊形。

過基準邊中點，自由點，做一條連線。根據平行四邊形的性質(對角線平分另一對角
線)，這線段在金字塔中的長度與在正四面體中的長度相等。設這個長度是d。還知道，
這線段與重合面(金字塔與正四面體重合面)的交點的高度是金字塔高度的1/2。

過基準邊，自由點，做一個平面(上述討論的線段就在這個平面中)。現在討論此平面
的截痕。金字塔的截痕是個等腰梯形，下底為1，上底為1/2，高為d。正四面體的截
痕是等腰三角形，底為1/2，高為d。這說明，金字塔與正四面體的共同截痕是底為1
高為2d的等腰三角形。金字塔的側面與正四面體的側面的截痕是同一條直線，說明這
兩個側面在同一個平面。

所以答案是5個面。