小學作業越來越讓人看不懂

　　書劍子

　　最近，小學的教育越來越讓人看不懂。我暑假在家輔導上小學5年級的侄子
做暑假作業，發現我居然輔導不了他，不僅僅在《語文》上我顯示出驚人的無知
外，《數學》我都做不好。在下雖然不才，可是當年高中也是所有功課全部優秀，
高考語文全校最高，全縣前三。所以做不出小學題還確實讓我鬱悶。語文題我通
過搬出《辭海》、《成語詞典》以及大量使用GOOGLE，總算彌補了我在地理、歷
史、考古等方面的無知，但是數學我實在沒有辦法。有一道數學題，反正我不用
高等數學做不出來，特在此請教高手。

　　來源：蘭州大學出版社出版的小學生暑假作業，五年級數學
　　題目：生活數學：用一塊面積為80平方米的鐵皮，製作一個無蓋的長方體盒
子，請問怎麼做盒子的體積最大？

　　這道題目真的好“生活”啊！我不知道編者自己會不會做這道如此“生活”
的題。這道題就是放到研究生台入學考試的數學卷子上去，估計也會有人不會。
雖然條件極值問題的拉格朗日乘子法本科都學過，但是這道題求解的具體過程中
還是有點技巧。至少我女朋友和我兩個碩士現場都只列出方程而解不出來。動了
會腦筋才求出答案。所以我敢說就是放到考研試題中，得分率也不會很高。

　　現在徵求高手，能用小學五年級能聽懂的方法給出個答案。退一步說，用小
學教師（我侄子的老師是師範中專學校畢業）能聽懂的方法——初等數學方法解
出答案也行。這本暑假作業的總編先生也不妨試試。

　　PS：用高等數學做還有漏洞：原題表述為“用一塊80平方米的鐵皮”，而不
是“製成表面積為80平方米的無蓋盒子”，所以鐵皮的形狀也是約束條件之一，
要這麼考慮還是拓撲約束，形狀稍稍複雜一些，此問題就是很高深的優化問題了。
真不知道豬頭編者怎麼出的題。這樣的題給小學生做，除了讓他們對自己，對老
師，對教材失去信心外還能得到什麼。
　　為此我很生氣，要求我侄子停止做這個作業，而看我給他買的課外書。可是
他哭了：“做不完老師要打，不但要做完，而且做完一遍後再用作業本抄下題目
然後再做一遍！”

　　無語！

　　不明白我們的小學教育現在是怎麼了。我（碩士），我女友（碩士），我姐
姐（小學教師），我爸爸（小學高級教師）四個人被小學五年級的暑假作業傷透
腦筋。

yiduan:

也真湊巧，我侄子的數學作業里也有這個題，不過不同的是，他半分鐘就做完了，雖然他不是少年班神童，也沒學過高等數學。他說老師教過：“表面積相等的情況下，正方體比長方體的體積更大”。然後他解：80/(5個面)=16平方米每個面，長寬高均為4的時候體積最大。做完後開開心心去玩去了。雖然直接算“沒蓋子”的算不對，至少能加幾分吧。

因為沒蓋子，所以長/寬與高不相等。
長寬高均為4時，體積=64。
長、寬相等，高是長或寬的一半時，體積=68.85。

嚴格的數學證明要用“拉格朗日乘數法”。

拉格朗日乘數法也非常簡單，用不着動什麼腦筋。
設面積為S，長、寬、高分別為a、b、c，則目標函數為
f = abc - k(ab+2ac+2bc-S)
其中k為拉格朗日乘數。
求f對a、b、c的偏導並設為0，得到
(1) df/da = bc - k(b+2c) =0
(2) df/db = ac - k(a+2c) =0
(3) df/db = ab - k(2a+2b)=0
稍微一觀察便可看出，在a、b、c、k非零的前提下，顯然a=b=2c。
如果信不過“觀察”，可由(1)、(2)聯立得到a = b = 2kc/(k+c)，由(2)、(3)聯立得到a = 2c = 2kb/(2k+b)

標準答案：68.85

可以這麼看：用兩分同樣的材料，做出兩個長方體，合在一起面積最大時是正方體，所以高是寬的一半。

稍作修改陳述如下：
用兩分同樣的材料，做出兩個無蓋長方體，合在一起構成正方體時體積最大，所以長、寬相等，高是長或寬的一半。

另外題目本身沒有要求算出具體結果，只是問“怎麼做盒子的體積最大？”。

不過小學時會求根號嗎？