小学作业越来越让人看不懂

　　书剑子

　　最近，小学的教育越来越让人看不懂。我暑假在家辅导上小学5年级的侄子
做暑假作业，发现我居然辅导不了他，不仅仅在《语文》上我显示出惊人的无知
外，《数学》我都做不好。在下虽然不才，可是当年高中也是所有功课全部优秀，
高考语文全校最高，全县前三。所以做不出小学题还确实让我郁闷。语文题我通
过搬出《辞海》、《成语词典》以及大量使用GOOGLE，总算弥补了我在地理、历
史、考古等方面的无知，但是数学我实在没有办法。有一道数学题，反正我不用
高等数学做不出来，特在此请教高手。

　　来源：兰州大学出版社出版的小学生暑假作业，五年级数学
　　题目：生活数学：用一块面积为80平方米的铁皮，制作一个无盖的长方体盒
子，请问怎么做盒子的体积最大？

　　这道题目真的好“生活”啊！我不知道编者自己会不会做这道如此“生活”
的题。这道题就是放到研究生台入学考试的数学卷子上去，估计也会有人不会。
虽然条件极值问题的拉格朗日乘子法本科都学过，但是这道题求解的具体过程中
还是有点技巧。至少我女朋友和我两个硕士现场都只列出方程而解不出来。动了
会脑筋才求出答案。所以我敢说就是放到考研试题中，得分率也不会很高。

　　现在征求高手，能用小学五年级能听懂的方法给出个答案。退一步说，用小
学教师（我侄子的老师是师范中专学校毕业）能听懂的方法——初等数学方法解
出答案也行。这本暑假作业的总编先生也不妨试试。

　　PS：用高等数学做还有漏洞：原题表述为“用一块80平方米的铁皮”，而不
是“制成表面积为80平方米的无盖盒子”，所以铁皮的形状也是约束条件之一，
要这么考虑还是拓扑约束，形状稍稍复杂一些，此问题就是很高深的优化问题了。
真不知道猪头编者怎么出的题。这样的题给小学生做，除了让他们对自己，对老
师，对教材失去信心外还能得到什么。
　　为此我很生气，要求我侄子停止做这个作业，而看我给他买的课外书。可是
他哭了：“做不完老师要打，不但要做完，而且做完一遍后再用作业本抄下题目
然后再做一遍！”

　　无语！

　　不明白我们的小学教育现在是怎么了。我（硕士），我女友（硕士），我姐
姐（小学教师），我爸爸（小学高级教师）四个人被小学五年级的暑假作业伤透
脑筋。

yiduan:

也真凑巧，我侄子的数学作业里也有这个题，不过不同的是，他半分钟就做完了，虽然他不是少年班神童，也没学过高等数学。他说老师教过：“表面积相等的情况下，正方体比长方体的体积更大”。然后他解：80/(5个面)=16平方米每个面，长宽高均为4的时候体积最大。做完后开开心心去玩去了。虽然直接算“没盖子”的算不对，至少能加几分吧。

因为没盖子，所以长/宽与高不相等。
长宽高均为4时，体积=64。
长、宽相等，高是长或宽的一半时，体积=68.85。

严格的数学证明要用“拉格朗日乘数法”。

拉格朗日乘数法也非常简单，用不着动什么脑筋。
设面积为S，长、宽、高分别为a、b、c，则目标函数为
f = abc - k(ab+2ac+2bc-S)
其中k为拉格朗日乘数。
求f对a、b、c的偏导并设为0，得到
(1) df/da = bc - k(b+2c) =0
(2) df/db = ac - k(a+2c) =0
(3) df/db = ab - k(2a+2b)=0
稍微一观察便可看出，在a、b、c、k非零的前提下，显然a=b=2c。
如果信不过“观察”，可由(1)、(2)联立得到a = b = 2kc/(k+c)，由(2)、(3)联立得到a = 2c = 2kb/(2k+b)

标准答案：68.85

可以这么看：用两分同样的材料，做出两个长方体，合在一起面积最大时是正方体，所以高是宽的一半。

稍作修改陈述如下：
用两分同样的材料，做出两个无盖长方体，合在一起构成正方体时体积最大，所以长、宽相等，高是长或宽的一半。

另外题目本身没有要求算出具体结果，只是问“怎么做盒子的体积最大？”。

不过小学时会求根号吗？