也談乘法表述及交換律

近年來，乘法定義是否應該區分被乘數與乘數，成為小學數學教育爭論的一個焦點。2001年頒布的《全日制義務教育數學課程標準》，一改傳統的“被乘數×乘數 = 積” 的表述為“乘數×乘數 = 積”。雖僅一字之差，小學數學教學受到的影響卻是巨大的。著名留美數學教育專家馬立平博士形容此舉“打掉了支撐着大半壁算理體系的承重牆”。而倡導方則認為這座承重牆並無必要，新的乘法定義更符合乘法交換律。

只要認真閱讀馬立平博士於2022年7月發表的“小學數學教材中比問題插畫更嚴重的問題：算理體系的垮塌（草稿）”，都會承認作者立論有據，說理嚴謹。本文在此文的基礎上作進一步的探討和補充。

一．被乘數與乘數可以互換麽？

數學知識源於生產和生活的實際，也在物理等學科之中孕育發展。

在小學引入乘法運算，是從“一行栽樹8棵，3行可以栽多少棵？”、“一盒雞蛋12個，5盒幾個？”這類數物體個數的實例着手的。這裡，被乘數與乘數的區分清清楚楚。

到小學高年級和中學，乘法的涵義會很快深化，應用範圍將大大拓寬。尤其物理學科中，例子比比皆是：

例1. 密度與質量：鐵的密度為7.87克/厘米³，計算一個1250厘米³鐵塊的質量。

算式：7.87g/cm³ x 1250cm³ = 9838g

例2. 勻速運動：一輛汽車每小時行駛75公里，7小時行駛多少公里？

算式：75km/h x 7h = 525km

例3. 熱容量與溫度變化：一壺水的熱容量為5230焦耳/攝氏度，將水從20⁰C燒開，需要提供多少熱量？

算式：5230J/⁰C x (100-20)⁰C = 4.184 x 10⁵J

三例中，被乘數分別為密度，速度和熱容量；乘數為體積、時間和溫度變化；而作為乘積的質量、路程和熱量，則是乘法運算的目標和結果。參與運算的，是一個個完整的物理量；不但數字，單位也在其中。乘數的單位通過約分都被約掉，留下的恰好是乘積的單位。單位體現的是一個物理量的量綱，告訴人們它是什麽；甚至比數字更為重要。 從以上三例可見，被乘數與乘數量綱不同，意義不同，豈能互換？更不要提互換牛頓第二定律F = ma、歐姆定律 V = IR等公式中的質量與加速度，電流與電阻等各種不同的物理量了！

比照以上三例，“一行栽樹8棵，3行栽多少棵？”的算式為：

8棵/行 x 3行 = 24棵，

“一盒雞蛋12個，5盒幾個？”應寫作：

12個/盒 x 5盒 = 60個

即使最簡單的例子，乘法中的被乘數與乘數各自也具有不同的單位，承載不同的意義。

二． 乘法表述的承重牆：每份數 x 份數 = 總數

小學數學中，從數物體個數的簡單實例入手引入乘法，得到的傳統定義為：“每份數 x 份數 = 總數”，它相當於“被乘數 x乘數 = 積”，但意義更為清晰。這個定義提供了對乘法的實質性理解和把握；而且簡單明了，小學生容易理解，也利於之後牢固掌握。

然而，這一定義是否可以涵蓋意義較為複雜的乘法？譬如，前面的三例乘法是否符合此定義呢？

首先考查三例中的被乘數：密度為單位體積的質量，速度為單位時間駛過的路程，熱容量為物體溫度每提高一度所吸收的熱量；將它們抽象為“每份數”是恰當的。而作為乘數的1250個厘米³、7個小時和80個攝氏度的溫度變化，可以說都是“份數”。故三個乘法算式均契合“每份數 x 份數 = 總數”的乘法定義。與剛引入乘法時不同的只是，每份數、份數和總數不限於整數。

反過來也可以說，小學數學中，定義乘法為“每份數 x 份數 = 總數”，揭示了乘法的本質，亦為日後理解科學中更複雜的乘法預留了空間。

其他如：

加速度 x 時間 = 速度變化，

壓強 x面積 = 壓力，

電流 x 時間 = 電量，

功率 x 時間 = 功 （或能量轉換）；

等等，均為“每份數 x 份數 = 總數”的模式。至於牛頓第二定律, 歐姆定律等公式，儘管表面上不易看出；細究起來，亦暗含該模式，或其延申和變形。這一點此處不贅。

未知新課標無視被乘數與乘數的差別，採用“乘數 x 乘數 = 積”這樣空洞的表述，如何能夠讓學生產生直覺，明白乘法究竟是怎麽回事？！

三． 乘法表述的三層台階

數學與科學中新概念的建立，眾所周知，其基礎除生產與生活實踐外，還有已確立的概念。乘法即建立在加法的基礎之上。引進乘法之初，很自然地將其解釋為“若干相同加數之和”。此為理解乘法的第一個台階。

但這樣的解釋對思維高度的提升有限，很難揭示乘法的本質。於是上升到第二層台階，即“每份數 x 份數 = 總數”。

這一定義不但提供了對乘法的實質性理解和把握；而且作為乘法的逆運算，除法的算理水到渠成：總數除以份數為等分除，總數除以每份數則為包含除。

將乘法延伸到分數與小數，用此定義亦輕而易舉。譬如6 x 2/3, 解釋成每份6個，2/3份。而2/3 x 6 的意思是每份為2/3, 共6份；意思也很清楚。若再以6個2/3相加來解釋，好比上了第二層台階又退下去，從第一階賣力跨到第三階，自然不必要。

可見，小學乘除法的教學中，“每份數 x 份數 = 總數”的定義發揮着重要作用，“承重牆”的說法不為過。

那麽，什麽是乘法概念的第三層台階呢？乘法的核心，無非一個“倍數”概念，包括分數、小數或百分數作為倍數。乘法即“求某一數量的若干倍”。這個第三層台階，就是我們的目標，也是每個懂得基礎數學的人所理解的乘法。上到了這一層，含分數和小數乘除法的解釋簡便易行，不必再拘泥於“每份數 x 份數 = 總數”的定義。

譬如，分數作除數的算理是一個難點，但用倍數概念解釋起來卻頗為簡單。以4 ÷ 2/3為例，可以有兩種解釋。對應於包含除的是，求4為2/3的多少倍？另一種，一個數的2/3是4，求這個數；則對應於等分除。

抽象化、一般化是數學的目標。由“相同加數之和”， 到“每份數 x 份數 = 總數”，達到“求某一數量的若干倍”；乘法表述的這三層台階，由簡單到複雜，由具體到抽象，由個別到一般；為學生思維的訓練和素養的提升提供了一段科學的路徑。

四． 關於乘法交換律

取消被乘數與乘數的區分，倡導者的依據是乘法交換律。我們來看一看這樣做是否合理。

先定義乘法，才談得上兩個數能否交換。“一行栽樹8棵，3行栽多少棵”與“一行栽樹3棵，8行栽多少棵”儘管結果相同，畢竟先要懂得並算出24棵，才得到答數相同的結論。定義乘法而以交換律為依據，邏輯不通。

交換律適用於純數字相乘。或者說，交換律只是在做數值計算時可以使用，講解乘法概念時不宜。在實際問題中，除極少數情況外，交換被乘數與乘數的數字結果相同；但這樣做要麽改變了情境，要麽失去了意義。

3個8和8個3皆為24，確實很簡單。然而，在初學乘法的小孩子腦中，這樣說不無幾分抽象，需要以實物來支撐。故我們從“一行栽樹8棵，3行栽多少棵”着手。被乘數與乘數的區分來自於生活或生產實際，自然而然，並不是人們強加的。

面積計算似乎是支持交換率的一個較強的例證，屬於前面提到的“極少數情況”。如一張長30cm、寬20cm的紙，面積的計算：30cm x 20cm = 600cm²，或 20cm x 30cm = 600cm² 均可。但若這樣端給小學生，他們不一頭霧水才怪！讀者想必都記得，當年老師是這樣講的：1cm²就是邊長為1cm的小方塊；然後把紙分為30行，每行寬1cm；得知每行有20個方塊，乘以30行，從而算出600cm²的面積。故小學生可以理解的算式為：

30cm²/行 x 20行 = 600cm²。請看，被乘數與乘數的區分繞得開麽？

再者，本文討論的乘法為標量相乘的基本運算。以後的數學或物理課還會學習矢量乘法，甚至矩陣相乘，等等。其中有的交換律成立，如矢量之間的點乘；有的不成立，如叉乘。故即使不考慮單位，交換律於乘法也並非理所當然，需要十分注意。

   2023年6月9日

作者簡介：

沈乾若，北京大學物理系畢業，北京航空航天大學工學碩士，加拿大西蒙菲沙大學數學博士。《加拿大博雅教育學會》名譽會長，《融匯中西教育論壇》召集人。中國大陸和加拿大數十年大、中學教學及辦學經驗。現為獨立教育學者，從事比較教育研究。研究方向為教育體制與政策，基礎數學與科學教育。