也谈乘法表述及交换律

近年来，乘法定义是否应该区分被乘数与乘数，成为小学数学教育争论的一个焦点。2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准》，一改传统的“被乘数×乘数 = 积” 的表述为“乘数×乘数 = 积”。虽仅一字之差，小学数学教学受到的影响却是巨大的。著名留美数学教育专家马立平博士形容此举“打掉了支撑着大半壁算理体系的承重墙”。而倡导方则认为这座承重墙并无必要，新的乘法定义更符合乘法交换律。

只要认真阅读马立平博士于2022年7月发表的“小学数学教材中比问题插画更严重的问题：算理体系的垮塌（草稿）”，都会承认作者立论有据，说理严谨。本文在此文的基础上作进一步的探讨和补充。

一．被乘数与乘数可以互换麽？

数学知识源于生产和生活的实际，也在物理等学科之中孕育发展。

在小学引入乘法运算，是从“一行栽树8棵，3行可以栽多少棵？”、“一盒鸡蛋12个，5盒几个？”这类数物体个数的实例着手的。这里，被乘数与乘数的区分清清楚楚。

到小学高年级和中学，乘法的涵义会很快深化，应用范围将大大拓宽。尤其物理学科中，例子比比皆是：

例1. 密度与质量：铁的密度为7.87克/厘米³，计算一个1250厘米³铁块的质量。

算式：7.87g/cm³ x 1250cm³ = 9838g

例2. 匀速运动：一辆汽车每小时行驶75公里，7小时行驶多少公里？

算式：75km/h x 7h = 525km

例3. 热容量与温度变化：一壶水的热容量为5230焦耳/摄氏度，将水从20⁰C烧开，需要提供多少热量？

算式：5230J/⁰C x (100-20)⁰C = 4.184 x 10⁵J

三例中，被乘数分别为密度，速度和热容量；乘数为体积、时间和温度变化；而作为乘积的质量、路程和热量，则是乘法运算的目标和结果。参与运算的，是一个个完整的物理量；不但数字，单位也在其中。乘数的单位通过约分都被约掉，留下的恰好是乘积的单位。单位体现的是一个物理量的量纲，告诉人们它是什麽；甚至比数字更为重要。 从以上三例可见，被乘数与乘数量纲不同，意义不同，岂能互换？更不要提互换牛顿第二定律F = ma、欧姆定律 V = IR等公式中的质量与加速度，电流与电阻等各种不同的物理量了！

比照以上三例，“一行栽树8棵，3行栽多少棵？”的算式为：

8棵/行 x 3行 = 24棵，

“一盒鸡蛋12个，5盒几个？”应写作：

12个/盒 x 5盒 = 60个

即使最简单的例子，乘法中的被乘数与乘数各自也具有不同的单位，承载不同的意义。

二． 乘法表述的承重墙：每份数 x 份数 = 总数

小学数学中，从数物体个数的简单实例入手引入乘法，得到的传统定义为：“每份数 x 份数 = 总数”，它相当于“被乘数 x乘数 = 积”，但意义更为清晰。这个定义提供了对乘法的实质性理解和把握；而且简单明了，小学生容易理解，也利于之后牢固掌握。

然而，这一定义是否可以涵盖意义较为复杂的乘法？譬如，前面的三例乘法是否符合此定义呢？

首先考查三例中的被乘数：密度为单位体积的质量，速度为单位时间驶过的路程，热容量为物体温度每提高一度所吸收的热量；将它们抽象为“每份数”是恰当的。而作为乘数的1250个厘米³、7个小时和80个摄氏度的温度变化，可以说都是“份数”。故三个乘法算式均契合“每份数 x 份数 = 总数”的乘法定义。与刚引入乘法时不同的只是，每份数、份数和总数不限于整数。

反过来也可以说，小学数学中，定义乘法为“每份数 x 份数 = 总数”，揭示了乘法的本质，亦为日后理解科学中更复杂的乘法预留了空间。

其他如：

加速度 x 时间 = 速度变化，

压强 x面积 = 压力，

电流 x 时间 = 电量，

功率 x 时间 = 功 （或能量转换）；

等等，均为“每份数 x 份数 = 总数”的模式。至于牛顿第二定律, 欧姆定律等公式，尽管表面上不易看出；细究起来，亦暗含该模式，或其延申和变形。这一点此处不赘。

未知新课标无视被乘数与乘数的差别，采用“乘数 x 乘数 = 积”这样空洞的表述，如何能够让学生产生直觉，明白乘法究竟是怎麽回事？！

三． 乘法表述的三层台阶

数学与科学中新概念的建立，众所周知，其基础除生产与生活实践外，还有已确立的概念。乘法即建立在加法的基础之上。引进乘法之初，很自然地将其解释为“若干相同加数之和”。此为理解乘法的第一个台阶。

但这样的解释对思维高度的提升有限，很难揭示乘法的本质。于是上升到第二层台阶，即“每份数 x 份数 = 总数”。

这一定义不但提供了对乘法的实质性理解和把握；而且作为乘法的逆运算，除法的算理水到渠成：总数除以份数为等分除，总数除以每份数则为包含除。

将乘法延伸到分数与小数，用此定义亦轻而易举。譬如6 x 2/3, 解释成每份6个，2/3份。而2/3 x 6 的意思是每份为2/3, 共6份；意思也很清楚。若再以6个2/3相加来解释，好比上了第二层台阶又退下去，从第一阶卖力跨到第三阶，自然不必要。

可见，小学乘除法的教学中，“每份数 x 份数 = 总数”的定义发挥着重要作用，“承重墙”的说法不为过。

那麽，什麽是乘法概念的第三层台阶呢？乘法的核心，无非一个“倍数”概念，包括分数、小数或百分数作为倍数。乘法即“求某一数量的若干倍”。这个第三层台阶，就是我们的目标，也是每个懂得基础数学的人所理解的乘法。上到了这一层，含分数和小数乘除法的解释简便易行，不必再拘泥于“每份数 x 份数 = 总数”的定义。

譬如，分数作除数的算理是一个难点，但用倍数概念解释起来却颇为简单。以4 ÷ 2/3为例，可以有两种解释。对应于包含除的是，求4为2/3的多少倍？另一种，一个数的2/3是4，求这个数；则对应于等分除。

抽象化、一般化是数学的目标。由“相同加数之和”， 到“每份数 x 份数 = 总数”，达到“求某一数量的若干倍”；乘法表述的这三层台阶，由简单到复杂，由具体到抽象，由个别到一般；为学生思维的训练和素养的提升提供了一段科学的路径。

四． 关于乘法交换律

取消被乘数与乘数的区分，倡导者的依据是乘法交换律。我们来看一看这样做是否合理。

先定义乘法，才谈得上两个数能否交换。“一行栽树8棵，3行栽多少棵”与“一行栽树3棵，8行栽多少棵”尽管结果相同，毕竟先要懂得并算出24棵，才得到答数相同的结论。定义乘法而以交换律为依据，逻辑不通。

交换律适用于纯数字相乘。或者说，交换律只是在做数值计算时可以使用，讲解乘法概念时不宜。在实际问题中，除极少数情况外，交换被乘数与乘数的数字结果相同；但这样做要麽改变了情境，要麽失去了意义。

3个8和8个3皆为24，确实很简单。然而，在初学乘法的小孩子脑中，这样说不无几分抽象，需要以实物来支撑。故我们从“一行栽树8棵，3行栽多少棵”着手。被乘数与乘数的区分来自于生活或生产实际，自然而然，并不是人们强加的。

面积计算似乎是支持交换率的一个较强的例证，属于前面提到的“极少数情况”。如一张长30cm、宽20cm的纸，面积的计算：30cm x 20cm = 600cm²，或 20cm x 30cm = 600cm² 均可。但若这样端给小学生，他们不一头雾水才怪！读者想必都记得，当年老师是这样讲的：1cm²就是边长为1cm的小方块；然后把纸分为30行，每行宽1cm；得知每行有20个方块，乘以30行，从而算出600cm²的面积。故小学生可以理解的算式为：

30cm²/行 x 20行 = 600cm²。请看，被乘数与乘数的区分绕得开麽？

再者，本文讨论的乘法为标量相乘的基本运算。以后的数学或物理课还会学习矢量乘法，甚至矩阵相乘，等等。其中有的交换律成立，如矢量之间的点乘；有的不成立，如叉乘。故即使不考虑单位，交换律于乘法也并非理所当然，需要十分注意。

   2023年6月9日

作者简介：

沈乾若，北京大学物理系毕业，北京航空航天大学工学硕士，加拿大西蒙菲沙大学数学博士。《加拿大博雅教育学会》名誉会长，《融汇中西教育论坛》召集人。中国大陆和加拿大数十年大、中学教学及办学经验。现为独立教育学者，从事比较教育研究。研究方向为教育体制与政策，基础数学与科学教育。