日前所發文章“也談乘法表述及交換律”在朋友中散發傳閱後，得到了積極的反響和支持，也有不同的意見反饋。筆者又做了進一步的了解與思考，製作了乘除法算理的示意圖，加寫了“情境教學可否取代算理”的一段。由於內容的擴充，思考的深入，標題也改了。本文包含前一篇的全部內容，閱讀本篇即可。

也談乘除法算理及其功用

沈乾若

乘法表述是否應該區分被乘數與乘數，是小學數學爭論的一個焦點。2001年頒布的《全日制義務教育數學課程標準》，將傳統的“被乘數×乘數=積” 的表述改為“乘數×乘數=積”。著名留美數學教育專家馬立平博士形容此舉“打掉了支撐着大半壁算理體系的承重牆”。而倡導方則辯稱這座承重牆並無必要，新的乘法表述更符合乘法交換律。

本文對被乘數與乘數的區分和乘除法算理系統作進一步的探討，希望算理更為簡潔，協調一致。並對當下依賴情境教學、取消算理體系的作法提出了質疑。當然，本文的出發點是基礎數學教學，而非數學理論。

一．被乘數與乘數的區分

數學知識源於生產和生活的實際，也在物理等學科之中孕育發展。

在小學引入乘法運算，是從“一行栽樹8棵，3行可以栽多少棵？”、“一盒雞蛋12個，5盒幾個？”這類計算物體個數的實例着手的。這裡，被乘數與乘數的區分清清楚楚。

到小學高年級和中學，乘法的涵義很快深化，應用範圍將大大拓寬。尤其物理學科中，例子比比皆是：

例1. 密度與質量：鐵的密度為7.87克/厘米³，計算一個1250厘米³鐵塊的質量。

算式：7.87g/cm³ ×1250cm³ = 9838g

例2. 勻速運動：一輛汽車每小時行駛75公里，7小時行駛多少公里？

算式：75km/h × 7h = 525km

例3. 熱容量與溫度變化：一壺水的熱容量為5230焦耳/攝氏度，將水從20⁰C燒開，需要提供多少熱量？

算式：5230J/⁰C × (100-20)⁰C = 4.184 x 10⁵J

三例中，被乘數分別為密度，速度和熱容量；乘數為體積、時間和溫度變化；而作為乘積的質量、路程和熱量，則是乘法運算的目標和結果。參與運算的，是一個個完整的物理量；不但數字，單位也在其中。乘數的單位通過約分都被約掉，留下的恰好是乘積的單位。單位體現的是一個物理量的量綱，告訴人們它是什麽；甚至比數字更為重要。

從以上三例可見，被乘數與乘數量綱不同，意義不同；更不要提牛頓第二定律F = ma、歐姆定律 V = IR等公式中的質量與加速度，電流與電阻等各種不同的物理量了！

比照以上三例，“一行栽樹8棵，3行栽多少棵？”的算式為“8棵/行×3行=24棵”；“一盒雞蛋12個，5盒幾個？”應寫作：”12個/盒×5盒=60個“。即使最簡單的例子，乘法中的被乘數與乘數各自也具有不同的單位，承載不同的意義。二者的區分乃客觀存在，並非人們所強加。

再者，3個雞蛋加2個雞蛋等於5個雞蛋；然而3個雞蛋不能乘2個雞蛋。每碗3個雞蛋乘兩隻碗是可以的；正如速度可以乘時間，密度可以乘體積，熱容量可以乘溫度變化；等等。相加的通常是同一集合的元素，而相乘的一般屬於不同的集合。故加法不必區分被加數與加數，而被乘數和乘數的區分則有它的道理。

事實上人們爭論比較多的，是相乘的元素在乘法算式中的順序。國內規矩，被乘數在前而乘數在後，寫錯扣分沒商量；儘管交換位置並不影響結果的正確性。這種做法讓人感覺過於刻板，帶來取消被乘數與乘數區分的變革。

英語中，被乘數為Multiplicand, 乘數為Multiplier；區分是顯然的。但算式怎樣寫則未完全統一；有的先寫被乘數，有的先寫乘數，不像國內那般嚴格。寫前寫後畢竟是人訂的規則，有商討的餘地。同時也有的教科書採用“因子x因子=積”的表述，對二者不加區分。

二． 乘法表述的承重牆和三層台階

小學數學中，從計算物體個數的簡單實例入手引入乘法，得到的傳統表述為：“每份數×份數=總數”，它相當於“被乘數×乘數=積”，但意義更為清晰。這一表述提供了對乘法的實質性理解和把握；而且簡單明了，小學生容易懂，也利於牢固掌握。

然而，這一表述是否可以涵蓋意義較為複雜的乘法？譬如，前面的三例乘法是否符合這一表述呢？

首先考查三例中的被乘數：密度為單位體積的質量，速度為單位時間駛過的路程，熱容量為物體溫度每提高一度所吸收的熱量；將它們抽象為“每份數”是恰當的。而作為乘數的1250厘米³、7個小時和80個攝氏度的溫度變化，可以說都是“份數”。故三個乘法算式均契合“每份數×份數=總數”。與剛引入乘法時不同的只是，每份數、份數和總數不限於整數。

其他如“加速度×時間=速度變化”，“壓強×面積=壓力”,“功率×時間=功（或能量轉換）”；等等，均為“每份數×份數=總數”的模式。至於牛頓第二定律, 歐姆定律等公式，儘管表面上不易看出；細究起來，亦暗含該模式，或其延申和變形。這一點此處不贅。

可見，小學數學中，從計算物體個數抽象得來的“每份數×份數=總數”的表述，不但揭示了乘法的實際意義，而且為日後理解科學中更複雜的乘法預留了空間。

數學與科學中新概念的建立，眾所周知，依據的除生產與生活實踐外，還有已確立的概念。乘法即建立在加法的基礎之上。引進乘法之初，很自然地將其解釋為“若干相同加數之和”。其中加數為被乘數，加數的個數為乘數；如前所述，清清楚楚。此為理解乘法的第一個台階。

但這樣的解釋，第一隻適用於乘數為整數的情況，第二未能深入乘法的本質。切實理解乘法，須上升到第二層台階，即“每份數×份數=總數”。這一表述提供了對乘法的實質性理解和把握，提升了思維；是比“相同加數之和”更為到位的解釋。

用此表述，作為乘法的逆運算，除法的算理水到渠成：總數除以份數為等分除，總數除以每份數則為包含除。

將乘法延伸到分數與小數，用此表述亦輕而易舉。譬如6 x 2/3，按照“被乘數×乘數”的順序，解釋成每份6個，2/3份。而2/3×6 的意思是每份為2/3, 共6份；意思也很清楚。若再以6個2/3相加來解釋，好比上了第二層台階又退下去，從第一階賣力跨到第三階，沒有道理。

可見，小學乘除法的教學中，“每份數×份數=總數”的表述發揮着重要作用，“承重牆”的說法不為過。

那麽，什麽是乘法概念的第三層台階呢？乘法的核心，無非一個“倍數”概念，包括分數、小數或百分數作為倍數。乘法即“求某一數量的若干倍”。這個第三層台階，是我們的目標，也是每個懂得基礎數學的人所理解的乘法。

上到了這一層，含分數和小數乘除法的解釋簡便易行，甚至不必拘泥於“每份數x份數=總數”。分數作除數的算理是一個難點，但用倍數概念解釋起來卻頗為簡單。以4 ÷ 2/3為例，可以有兩種解釋。對應於包含除的是，求4為2/3的多少倍？另一種，一個數的2/3是4，求這個數，則對應於等分除。

抽象化、一般化是數學的目標。由“相同加數之和”， 到“每份數×份數=總數”，達到“求某一數量的若干倍”；乘法表述的這三層台階，由簡單到複雜，由具體到抽象，由個別到一般；為學生思維的訓練和素養的提升提供了一段科學的路徑。

三. 乘除法算理的圖示

綜合以上論述，乘除法的算理可用上面的示意圖來表示。示意圖左半部分為乘除法的各種運算；右半部分為算理，即運算的意義。虛線表示二者的對應關係。箭頭表示運算及其算理是怎樣層層遞進的；就乘法而言，即前面所說的三層台階。

示意圖清楚地揭示出從整數到分數和小數各類乘除法運算的涵義，及各部分之間的邏輯關係；它們構成一個有機的整體。

兩點說明。第一，筆者並非認為此圖所示為唯一正確的乘除法算理。若能進一步簡化、優化，使之更為和諧一致，當然最好。第二，乘除法算理遵循人們的認識過程，主要是為初學者預備的。算理的講解須融入運算的學習，為理解運算服務。萬不可將算理當作另一套理論灌輸給學生，要求學生死記硬背，從而加重他們的負擔。

四． 關於乘法交換律

取消被乘數與乘數的區分，倡導者的依據是乘法交換律。我們來看一看這樣做是否合理。

先定義乘法，才談得上兩個數能否交換。“一行栽樹8棵，3行栽多少棵”與“一行栽樹3棵，8行栽多少棵”儘管結果相同，畢竟先要懂得並算出24棵，才得到答數相同的結論。定義乘法而以交換律為依據？邏輯上不大說得通。

3個8和8個3皆為24，確實很簡單。然而，在初學乘法的小孩子腦中，這樣說不無幾分抽象，需要以實物來支撐。故我們只能從“一行栽樹8棵，3行栽多少棵”這樣的情境着手。

交換律適用於純數字相乘。或者說，交換律只是在做數值計算時可以使用。在實際問題中，交換被乘數與乘數的數字結果相同；但這樣做除極少數情況外，要麽改變了情境，要麽失去了意義。

面積計算似乎是支持交換率的一個較強的例證，屬於前面提到的“極少數情況”。如一張長30cm、寬20cm的紙，面積的計算：30cm×20cm = 600cm²，或 20cm×30cm = 600cm² 均可。但若這樣端給小學生，他們不一頭霧水才怪！學生能夠接受的講法是：：1cm²是邊長為1cm的小方塊；把紙分為30行，每行寬1cm；得知每行有20個方塊，乘以30行，從而算出600cm²的面積。故算式為：30cm²/行×20行 = 600cm²。請看，被乘數與乘數的區分繞得開麽？

再者，本文討論的乘法為標量相乘的基本運算。以後的數學或物理課還會學習矢量乘法，甚至矩陣相乘，等等。其中有的交換律成立，如矢量之間的點乘；有的不成立，如叉乘。故即使不考慮單位，交換律於乘法也並非理所當然，需要十分注意。

五．情境教學可否取代算理？

課程標準規定不再區分被乘數和乘數之後，小學數學教材中只剩下“乘數×乘數=積”的表述，及倍數和平均分等若干概念的說明。傳統的算理體系消失殆盡，新的體系卻無蹤影；連“除法為乘法的逆運算”都未提及。

這很自然。“乘數×乘數=積”的表述並未提供有實際意義的信息；很難用來解釋分數或小數乘法；更不用提解釋除法，特別是作為難點的分數除法了。

那麽，我們的教學是如何讓學生懂得乘除法，並且能夠加以運用的？

翻開時下的小學數學課本，筆者不禁暗暗吃驚。目之所及，處處是圖畫，描繪日常生活、動植物、科技知識等各種各樣的場景。實例之豐富、具體、直觀，洋溢着以前的教材所沒有的氣象，更遠非國外的教科書可比。

本世紀以來的新課改強調“創設情境”，這一說法來自美國，來自西方。然而事實上，國外數學教材純數學的成分居多，應用題在數量和種類方面都差得遠；即使小學數學也存在這一問題。“情境創設”仍然不足，“問題解決”更未落實。由於缺少實例的支撐，應用題從來都是難點。不會應用除法，在國外中小學生中非常普遍。

國內則真刀真槍，實實在在下了功夫。教材中成千上萬的實例，其背後的工作量非同小可。國內教育界付出的巨大努力，由此可見一斑。

回到我們的問題：國內學生是怎樣學會乘除法的？

沒有了算理系統，教科書和教師授課通常依據具體情境給出解釋，並確定運算方法。比如從運動類題目得到“速度×時間=路程”的公式；求速度時則用路程除以時間。從購物類題目得到“單價×數量=總價”，那麽總價除以單價則得到數量。又如，由除以2相當於乘以1/2, 推出除數為分數的情況下顛倒相乘的計算方法。至於一個數除以分數的實際意義，則避免做一般性的討論。

正是在眾多實際情境的浸潤之下，學生得以懂得乘除法，基本上掌握了它們的應用。

然而，抽象化、一般化、培養邏輯思維能力乃數學的宗旨；情境教學而不提升到一般性規律，我們是否走向了另一個極端？是否有偏離數學正軌之嫌？儘管每一部分的解釋都有道理；但支離零散，缺少關聯，不成系統的解釋，終歸差強人意；達不到數學的目標與應有的境界。

人認識事物的過程包含一往一返的兩個階段，第一階段從個別到一般，從具體到抽象，得出概念與理論；第二階段從一般到個別，從抽象到具體，驗證和應用理論於實際問題。第一階段的思維方式是歸納、猜想之類；第二階段則主要為演繹思維。演繹推理乃數學中大量訓練的思維模式。

顯然，沒有提升到一般性規律的情境教學，不完整、不到位，也缺少演繹推理的訓練。具體到乘除法，缺了算理，學生可以應付一般的題目，但欠缺解決深層次問題的能力。

數學歸根結底玩的是概念。“需要逐步養成從概念出發思考和解決問題的習慣，概念缺失對後續數學大廈的建立是有較大影響的”，數學教師楊磊如是說。

2023年6月

鳴謝：

本文在寫作過程中筆者與楊磊、韋煒進行了討論，吸收了他們的觀念；特此致謝。

同時感謝張景中院士的指導和啟發。

    作者簡介：

    沈乾若，北京大學物理系畢業，北京航空航天大學工學碩士，加拿大西蒙菲沙大學數學博士。《加拿大博雅教育學會》名譽會長，《融匯中西教育論壇》召集人。具備中國大陸和加拿大數十年大、中學教學及辦學經驗。現為獨立教育學者，從事比較教育研究。研究方向為教育體制與政策，基礎數學與科學教育。