懷爾斯證明費馬大定理有三大要素：橢圓曲線、模形式、谷山-志村猜想，此篇介紹其二。

拉馬努金是數學神才，他發現了數不盡的奇妙的數學公式，他研究這些公式的奇特性質。今天我們就從他寫下的一個表達式開始……

圖1：拉馬努金tao函數

拉馬努金（Ramanujan，1887-1920）研究的，乍一看好像也不是什麼深奧的函數，展開後只是一個q的多項式級數而已。不過，拉馬努金就是拉馬努金，他善於發現一般人看不見的數學奧秘。他考察這個多項式的係數t(n)，發現一些特點，比如下面這個，係數t(n)之間有種奇怪的關聯：

如果m和n互質，則t(mn)= t(m) t(n)。            （公式1）

比如說，2和3是互質的，t(2)=-24， t(3)=252，計算t(2)xt(3)=-24*252=-6048，正好等於t(2x3)= t(6)。還可以檢查別的互質數對應的係數，發現它們都符合（公式1）。

有關這個D(q)函數，拉馬努金還發現了其它幾個有趣的性質，他把它們總結成了幾個猜想，我們不在這兒一一列舉了。這種類似的函數還有很多別的，比如：

等等。

以上所說的，與 D(q)具有“類似”性質的函數，被數學家們稱之為“模形式”，在數學上，模形式（Modular form）被定義為一個上半複數平面上的全純函數f(z):

其中k是整數，叫做模形式的權。例如，拉馬努金研究的D(z)函數，是權k=12的判別模形式。

比拉馬努金更早，模形式還有另外一位老祖宗：德國猶太人數學家愛森斯坦（Einsenstein，1823-1852）。愛森斯坦是喜歡數論的小神童，不幸從小健康不佳，患有腦膜炎等疾病，他於29歲時就死於肺結核。愛森斯坦由於研究數論的原因而研究模形式，並作出重要貢獻。愛森斯坦以最簡單的模形式“愛森斯坦級數”聞名，另一位同時代的德國數學家克羅內克（Leopold Kronecker ，1823–1891）也對此作出貢獻，見圖2。

幾個世紀以來數學家們一直對模形式豐富的對稱性着迷。模形式越來越多地出現在各種各樣的問題中：它們是懷爾斯 1994 年證明費馬大定理的關鍵要素；烏克蘭數學家，2022年菲爾茲獎得主馬林娜用它解決高維空間的球體堆積問題；它們在朗蘭茲綱領（“數學大統一理論”）中發揮着核心作用；它們甚至被用來研究物理中的弦論和量子物理學中的模型。

圖2：愛森斯坦模形式

在數學的發展過程中，開始時各個領域猶如一個個孤島，之後，數學家們在孤島之間架起橋梁，不僅應用不同的知識解決了難題，也建立起新的數學分支。例如，在數論的發展過程中就架起了多個橋梁，發展出了初等數論、解析數論、代數數論和幾何數論四個部分。屬於解析數論的模形式，便是複分析與數論之間的一座“橋梁”。人們可以通過模形式，利用複分析的工具，來研究整數的性質，解決數論難題。黎曼猜想中使用的黎曼zeta函數也是解析數論中的一個核心函數，它編碼了有關素數分布的重要信息。

為什麼模形式更重要呢？因為它是一種在復上半平面上表現出特殊對稱性的全純函數。具有高度對稱性的函數在科學研究中有重要的意義，最典型的例子就是三角函數（正弦、餘弦函數），它們在物理及工程中的作用廣為人知。模形式的對稱性是如此驚人和複雜，使模形式比三角函數更為強大，特別是對數論問題而言，它們可用於編碼有關整數的深層算術信息。

從模形式f(z)的定義來看，它們在離散矩陣群SL₂(Z)的作用下以特定的線性分式的方式變換。模形式的對稱性由2×2 的特殊線性群定義，其中矩陣中的四個數字始終為整數。

你可能會說，從三角函數的圖像就可以看出它們的對稱性，而模形式長什麼樣呢？怎麼看出它們的對稱性呢？的確如此，複數函數很難形象化，因為它是從一個複數平面映射到另一個複數平面，需要4維圖像才能畫出來。因此，目前的辦法是求助於顏色和亮度，一定程度上也可以看出函數的對稱性。

模形式是定義在複數的上半平面H，H可以由共形映射轉換到單位圓盤D中的點。因此，模形式的對稱性可以用一個彩色的單位圓盤D來表示。有時也用H的方形彩色圖表示。

例如，下圖是判別模形式的圖案：

圖3：判別模形式

從中可看出，有平移對稱性、反射對稱性、周期性、和自相似性。

最簡單的模形式“愛森斯坦級數”的圖像：

圖4：愛森斯坦級數

模形式與橢圓函數密切相關，關鍵關係在於“模性定理”（之前也稱為谷山-志村猜想），將於下一篇介紹。

參考資料：

Zagier, D. (2008). "Elliptic Modular Forms and Their Applications," in The 1-2-3 of Modular Forms (edited by K. Ranestad), Springer, Berlin, Heidelberg.