橢圓曲線不是“橢圓的曲線”，橢圓函數也不是·“橢圓的函數”。

圖1：橢圓函數的來龍去脈

增加一篇，介紹橢圓函數，魏爾斯特拉斯 ℘ 橢圓函數^【1】等，橢圓函數誕生的歷史，精彩而有趣，不可不知。

1，橢圓積分

我們講過橢圓曲線，以及它們定義在不同的域上的性質，此篇感興趣的是橢圓函數。但是，有關“橢圓”的名詞很多，首先將它們梳理清楚，以免混淆。所以，我們首先從圓和橢圓的比較，先引進橢圓積分。

橢圓，人人都熟悉，也很容易理解它們和“圓”的異同之點。從數學上也是很容易類比的：“圓”只有一個半徑r，“橢圓”有兩個參數a和b；“圓”是到一個定點距離相等的軌跡；“橢圓”是到兩個定點距離和相等的軌跡。它們的面積公式也長得很像：“圓”的面積=Pi*r*r；“橢圓”的面積=Pi*a*b。

不過，到了計算圓和橢圓的周長時，這種類比法就有點進行不下去了。你看，圓的周長是Pi*(r+r)；那麼，橢圓的周長是不是就等於Pi*(a+b)呢？這是古人使用的公式，但數學家們發現它只是一個近似。即使後來拉馬努金“隨口蹦出”了另外一個準確多了的公式，但仍然是近似！

數學家們總有辦法，他們說，沒問題，我們可以用微積分求弧長再算周長呀，那就試試吧。但是，這個“橢圓弧長的積分”好像算不出來哦，因為好像無法用初等函數表示它。有人不相信，例如大名鼎鼎的法國數學家勒讓德（Legendre，1752—1833），據說他一直固執己見，研究了40年也沒將它表示為初等函數！不過也不能說勒讓德是完全白費功夫，勒讓德起碼明白了這種類型的積分不僅僅出現在計算橢圓弧長的過程中，還有很多很多其它的地方。例如瑞⼠數學家雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）在1694年研究受擠壓的彈性杆時發現了一種更為簡單的雙紐線的弧⻓積分，也算不出來（圖2左），後來⼜發現了更多與它們形式相近⽽且也找不到初等函數的積分。

勒讓德潛心研究這些積分，心想，管它與橢圓有⽆關係，就把它們統稱為橢圓積分吧，勒讓德將它們分成三類，建⽴了橢圓積分的理論，見圖2右。

圖2：橢圓積分

2，橢圓函數的誕生

數學上早逝的天才太多了，十九世紀初，前後就有兩位著名的帥哥，二十幾歲就命喪黃泉，令人扼腕，令人遺憾！伽羅瓦（Galois，1811—1832）是好歹不分，誤入一場莫名爭端而決鬥，可歸於“自殺”類型；而另一位尼爾斯·阿貝爾（Niels Abel，1802- 1829），則是命中多舛，霉運連連。

首先，阿貝爾投胎到了挪威是第一個錯誤，這在現在是無所謂的事情，但兩百多年前不一樣。那個年代，有名的數學家不是在法國就是在德國（圖3），一個挪威無名之輩的文章，寄到了勒讓德、柯西，甚至於高斯手裡，都是看都不看就被束之高閣，甚至被拋進了廢紙箱！唉，這世道太不公平，千里馬問世了，卻不知伯樂何在？

圖3：與橢圓函數有關的數學家們

 一般都說阿貝爾死於貧病交加，但他憑藉在挪威的名氣，也得到獎學金到過法國德國等地，只能說又是因為運氣不好，關鍵人物一個也沒見到。此外，畢業後一時沒得到教職，這在如今也是常見之事，倒霉的是老天不容英才！正是阿貝爾在法國遊學時感染的肺結核，使他一命嗚呼撒手人寰，無法見證兩天之後才傳來的遲到了的好消息：他已經被德國柏林大學聘為了教授！

阿貝爾短暫又可憐的27年生命，卻開拓了幾個重要的數學研究方向，橢圓函數^【1】是其一。後來，德國數學家雅可比（Jacobi，1804—1851）繼續，因此雅可比被廣泛認為是橢圓函數理論奠基人。阿貝爾死後，巴黎科學院也找到了他的重要文章並發表，又頒發了大獎給阿貝爾和雅可比。家人代為領獎時，只能再次遺憾為時晚矣！

回到帥哥的數學，橢圓函數是什麼呢？它們是橢圓積分（圖2）定義的函數的逆函數。你會說：哇！這句話聽起來這麼拗口，更難說怎麼去理解它了。但是，其實你把它與反三角函數對照一下就明白了。不要看圖2右邊的複雜公式，只看左下的雙扭線公式，那是最簡單的橢圓積分例子。

圖4：橢圓函數

圖4中的第一個積分式表示的是反正弦函數，那麼，它的逆函數當然就是正弦函數。圖4中的第二個積分式表示的是橢圓積分，我們不知道它是個什麼東西，但是如果說到它的逆函數，就可以和第一個積分式類比一下了。因此，橢圓函數就是橢圓積分的逆函數，就有點像正弦函數了。

正弦、餘弦這樣的三角函數是我們再熟悉不過的東西，上面的類比使我們對橢圓函數有了一點親切感。實際上，在數學家的眼睛裡，橢圓函數比三角函數有趣多了，美麗多了。阿貝爾和雅可比兩位天才分別獨立地認識到了這一點。

為什麼說它們和正弦函數有點像呢？正弦函數是周期函數，橢圓函數也是，並且還是更為有趣的雙周期函數。因為有兩個周期，就不能像正弦函數那樣在平面上畫出來了，但是可以在複數平面的周期格點上形象地表示出來。

3，魏爾施特拉斯橢圓函數

與谷山-志村猜想有關的是魏爾斯特拉斯℘ 函數^【2】。

魏爾施特拉斯（Weierstrass，1815—1897）是位頗有特色的德國數學家，被譽為“現代分析之父”。他為人低調，做數學卻十分嚴謹。他原來是位鄉村教師，他對數學的一個重要貢獻是給函數的極限建立了嚴格的定義。讀者可能還記得剛學微積分的時候，那個對極限的定義，繞口令似的epsilon-delta說法，就是魏爾施特拉斯的功勞。此外，他對一位俄國女弟子的賞識令人稱道。

圖5：魏爾施特拉斯℘函數

魏爾斯特拉斯橢圓函數是一種具有特別形式的橢圓函數。這類函數也稱為 ℘ 函數，通常用符號 ℘ 表示，它們是雙周期的亞純函數。℘ 函數及其導數可用於參數化橢圓曲線，它們會生成關於給定周期格子的橢圓函數域。

在圖5中，左邊圖像是複平面上的周期格點，淡藍色平行四邊形表示基本區域，公式（1）是℘函數的表達式；公式（2）是℘函數及其微分滿足的方程；公式（3）是℘函數描述的對應的橢圓曲線的代數形式。圖6是℘函數的可視化圖像表示。

圖6：℘函數的圖像

參考資料：

【1】https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_function

【2】Wolfram MathWorld ：Weierstrass Elliptic Function

https://mathworld.wolfram.com/WeierstrassEllipticFunction.html