龐加萊微分方程定性理論研究初探——兼紀念龐加萊誕辰150周年

陳明暉 鄧明立

微分方程是微積分在數學物理研究領域最重要的應用之一，它在19世紀發展迅速，並誕生了一系列具有重大意義的研究理論。19世紀末，由龐加萊創立的常微分方程實域定性理論便是其中最重要的理論成果之一。

定性理論產生的背景

從微分方程產生到1820年，微分方程理論的唯一問題是：找到給定微分方程的解析解[1]。然而隨着研究的擴展和深入，人們遺憾地發現可以解析求解的常微分方程類型甚少。

19世紀中期，瑞士-法國數學家施圖姆（C.-F.Sturm）和法國數學家劉維爾（J.Liouville）由源於熱傳導和弦振動的數學物理問題，開闢出特徵值問題初值問題的研究領域。1836年，施圖姆的論文從新的定性角度研究二階線性微分方程。隨後，他與劉維爾合作開創了分析中一個新的分支施圖姆-劉維爾理論，其特徵是：當找不到解的任何可行表達時，直接從方程本身尋找答案，這時由方程決定的性質必然是定性的。這種思想與代數方程領域中阿貝爾、伽羅瓦由尋求根式解轉到研究解的存在和性質的思想是平行發展的。施圖姆-劉維爾理論可看作微分方程定性理論的早期萌芽。

1841年，劉維爾證明了最簡單的非線性方程黎卡提方程一般沒有初等解，從理論上結束了一般常微分方程求通解的努力。而出現在物理學、工程技術及其他實際問題中的常微分方程通常都是非線性的。這樣，客觀求解的需要與大多數解不能用初等函數及其積分表示的矛盾日益凸顯。

龐加萊的定性理論

就在人們為非線性微分方程沒有普遍解法和N體問題無法解決苦惱時，法國數學家龐加萊提示必須改變思考方式，因為試圖寫出表達式和積分的定量方法只能解決某些問題，即使不能找到精確解，仍可以利用定性的和幾何的思考獲得解的許多性質[2]。

龐加萊（1854—1912）被譽為19世紀末20世紀初數學界的領袖人物，是研究遍及數學各分支的最後一位通才，舉世公認的相對論和混沌理論的先驅，也是很有影響的哲學家。微分方程及其在動力學上的應用顯然處於其數學思想的中心地位。他利用全套分析工具從各種角度研究微分方程理論，幾乎每年都就此發表論文[3]。

1870年代，美國數學家希爾（Ｇ.Ｗ.Hill）在研究行星和衛星軌道穩定性問題時，創立了周期係數的線性齊次微分方程的數學理論[4]。受希爾激發，龐加萊從1880年開始考察微分方程，以微分方程定義的積分曲線為中心，強調一般積分曲線的全局性態的重要性。這種新探索從某種意義上更接近牛頓創立微積分時的思想，因為本質上它也是幾何的方法。

1881年到1886年，龐加萊發表了《關於由微分方程確定的曲線的報告》的一系列論文，開創了常微分方程實域定性理論。天文學、物理學、工程技術中的微分方程有時不必求出確定解，只要知道解的某些性質即可，而定性思想恰好成為精確性和模糊性辯證統一的契合點。龐加萊在微分方程定量研究的基礎上引入定性理論，在理論和實際應用中都發揮了重要的作用。

創 新 思 想

在微分方程問題上，龐加萊的研究道路完全與眾不同。他從三體問題出發，創造了無切環（不與任何滿足微分方程的曲線相切的閉曲線）等新的數學方法。在研究過程中開闢出實域定性理論、組合拓撲學兩個重要的數學分支。其創新之處主要可概括如下：

從定量研究轉向定性研究

龐加萊認為，對一個函數完整的研究應包括定性和定量兩部分：即函數定義下曲線的幾何研究；函數值的數值計算。以前研究代數函數時總試圖將其化簡為根式，而現在大多數先用施圖姆定理找到實根的個數，再計算根的數值。

龐加萊直接研究微分方程定義的函數，而不是將其簡化形式[5]。他先構造出方程定義的曲線，確定出一定數量的點，以此作為定量研究的基礎。其實，許多極為重要的分析和力學問題也由此可以轉化為定性研究。三體問題是由9個二階常微分方程組成的複雜問題，然而一旦定性地構造出三體運動的軌道，所有相關問題都迎刃而解了。

從分析方法轉為幾何方法

龐加萊的定性研究之所以能取得豐碩成果，很大程度上取決於他選擇了幾何直觀的方法。這也是他在微分方程工作上最突出的特點之一。實質是：在不求解的情況下，直接考察微分方程的係數和結構，分析和推斷積分曲線可能具有的各種特性，如曲線的形狀、結構和趨勢等，從而研究解的性質。

幾何方法比分析方法更加全面直觀，許多分析難以直接解決的問題往往利用幾何進行整體的考慮獲得解答。而且，幾何已是一門較為成熟完善的學科，具有許多經典的性質和方法，是解決數學難題的利器。

在這種思路指引下，研究對象也逐漸由函數轉向曲線。龐加萊認為，利用方程定義的曲線可以較完整、直觀地描述出解的特性；而把微分方程的解表示成函數形式會對幾何直觀造成障礙。龐加萊選擇微分方程定義的積分曲線作為研究對象，使其成為研究微分方程解的性質的有效手段。

龐加萊在研究微分方程解的性質時，為避免研究無窮分支，先將一個平面投影到一個球面上，然後用微分方程把每一個確定方向與球面上的每一點聯繫起來[6]，確定投影在整個球面的積分曲線形式。

從復域轉回到實域

19世紀，復域成為分析學的重點。柯西在建立微分方程解的存在性定理時，把解析理論應用到復域中。幾乎在整個19世紀，數學家主要在復域上進行微分方程解的研究。

龐加萊在行星運動方面要解答的問題是：軌道是否是穩定的。在這裡，實數解的整體性質與複數解同樣重要，而且，在復域上研究問題不利於幾何想象與幾何直觀[7]。因此，他只在實域範圍內討論問題，探索滿足方程的實曲線的一切可能形式。

希爾伯特著名的23個問題中的第16題便是常微分方程理論的著名難題，在求極限環的最大數問題上又將定性理論重新引回復域。因為許多研究表明，若干根本性的規律存在於復域中，例如，n次代數方程恰好有n個根。

常微分方程在這一階段先後經歷了復域到實域再到復域的研究過程，科學探索的規律由此可見一斑。

從局部研究（級數收斂區）轉為全局研究（整體拓撲性質）

19世紀末，天文學研究太陽系運動的穩定性，需要知道微分方程積分曲線在整個空間的性質，在小範圍內考慮問題已無濟於事。

龐加萊突破局部分析的限制，着重研究大範圍內積分曲線的分布情況，在整個平面上進行定性研究。他認為，採用全局觀點並不是摒棄數值逼近的研究方法或對直接積分的全盤否定[7]，而是在局部分析的基礎上研究積分曲線的整體拓撲性質。

在奇點附近，龐加萊對初等奇點的拓撲性質作了分類。在全局情況下，為描述奇點的性質，引入指數的概念，由拓撲論證法得出一些只由閉曲面本身的拓撲結構所決定的性質，即這些性質只與閉曲面本身有幾個洞有關，與分割方式、微分方程的具體形式均無關[8]。

龐加萊的工作不僅成為定性理論的開端，而且奇點的分布情況直接引導他開創了組合拓撲學這一新的分支，定性理論因此成為拓撲學產生的源泉之一。

從用等式轉到用不等式

數學家在微分方程求解過程中不懈努力，使許多特殊類型的一階方程有較成熟的解法，對複雜的高階方程則利用分離變量法化為低階問題解決。在方程不能以封閉形式解出時，歐拉等人又採取級數展開法求近似解。但這些方法都沒有根本擺脫求確定解的桎梏，使研究的道路越來越窄。

其實，在科學探索中求“是”存在困難時，可以轉而通過求“否”去界定研究對象的性質和範圍，從而達到求“是”的目的，這是科學思想中最重要的方法之一。龐加萊就將這種簡單有效的思想方法廣泛應用於微分方程定性理論中。

微分方程定義下的積分曲線與無切曲線的關係就類似於等式與不等式的關係。當解等式較難時，可以用不等式的解來界定等式的解。龐加萊沒有直接確定積分曲線，而是利用無切環確定出極限環，從而獲得微分方程解的基本性態。

法國科學院院士阿達瑪（J.Hadamard）在《亨利·龐加萊的科學工作》一書中稱無切環概念為“非積分”，以便與微分方程的“積分”相對比，正如不等式與等式的關係。“無切環” 與“無切弧”等概念是龐加萊對實域定性理論引入的主要工具，是將等式轉為不等式的研究、將分析工具轉為幾何工具的體現。

龐加萊將定性理論應用到微分方程解的研究中，引發了一系列理論研究的新變革、新突破，同時也使人們對定性思想的認識提升到了新的高度。

與恩里克斯研究思想的比較

定性理論誕生初期並未受到廣泛的重視。人們對龐加萊的工作存在兩種看法。一派認為他是一個徹頭徹尾的“革新者”，大量引入幾何方法，用定性分析代替定量分析，完全摒棄經典決定論，動搖了經典理論的根基。另一派則認為，他在廣泛使用幾何方法的同時，仍堅持以分析為研究基礎，並沒有放棄解的傳統定量分析，定性研究和幾何方法只不過是傳統方法的擴充。

當時盛行的定性分析觀點是意大利數學家恩里克斯（F.Enriques）晚於龐加萊幾年提出的，即定性分析應當徹底取代19世紀數學與數學物理中特有的分析/定量思想，體現綜合化的幾何觀念[7]。

恩里克斯是意大利代數幾何學派的主要代表人物，研究代數曲面理論，發展了代數幾何方法，並發現了許多新的事實[9]。

20世紀初，以相對論為代表的物理研究取得重大突破，經典物理根深蒂固的觀念被徹底修正[10]，自然科學研究進入了一個反思變革的新時期。在這一氛圍下，恩里克斯的幾何觀念顯得尤為新穎。他認為，幾何應當從研究中分離出來，成為一個獨立的系統，而且只有幾何才能擔當描述、解釋力學和物理現象的角色，取代分析在數學中的傳統地位，在當代科學綜合化、定性化的過程中發揮主導作用。恩里克斯提出的幾何與分析的和諧一致，實質仍是以幾何為主導。這與龐加萊的分析為主、幾何為輔的觀點形成了鮮明的對立。

事實上，恩里克斯過分強調直覺思維在幾何中的作用，拋棄分析基礎，甚至在數學中引入心理研究，其理論具有很大的主觀性，缺乏嚴謹的邏輯證明。這些致命弱點使恩里克斯及其後繼者除了在代數幾何學取得了一定成果外，在其他領域，特別是數學分析領域的研究幾乎全部失敗。

龐加萊強調定性方法是以有實值解為最終目的。他認為，在數學分析研究中幾何與幾何直覺應當發揮新作用，但這種創新應保證分析的中心地位不變，甚至應當被加強。幾何-定性方法的引入只表明分析可行領域的擴大和它解釋說明能力的增強，而不是分析讓位給幾何。龐加萊雖以定性理論成為一位創新者，但這種創新仍是在經典數學理論基礎上的創新。

雖然在龐加萊生前定性分析的意義未受到重視，但是他引入的幾何方法，恰如其分地處理了分析與幾何的關係，使定性分析成為復興和發展數學分析的最有力武器[7]。

龐加萊創立的定性理論是微分方程發展過程中的一次新突破，促成20世紀以來微分方程的進一步發展。在此基礎上，人們針對各種具體問題進行了深入的研究，如俄國傑出數學家李雅普諾夫（A.M.Liapunov）的運動穩定性理論和美國數學家伯克霍夫（G.D.Birkhoff）的動力系統研究。隨着定性理論的日趨成熟和完善，微分方程的研究也轉入了新的定量分析時期。

（本文為國家自然科學基金資助項目（10071085）研究成果之一。）

[1] Lützen J.Sturm and Liouville′s Work on Ordinary Linear Differential Equations．The Emergence of Sturm —Liouville Theory. Archive for History of Exact Science，1983（29）：310

[2] Diacu F，Holmes P著，王蘭宇 譯. 天遇——混沌與穩定性的起源. 上海：上海教育出版社，2001. 204

[3] 吳文俊主編. 世界著名數學家傳記（下）. 北京：科學出版社，1997. 1174

[4] Klein M. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York：Oxford University Press，1972（中譯本：古今數學思想（3）. 上海：上海科學技術出版社，2002）

[5] Birkhoff G. A Source Book in Classical Analysis. Cambridge: Harvard University Press，1973. 305

[6] June Barrow-Green. Poincaré and the Three Body Problem.Providence：American Mathematcial Society，1997. 31

[7] Israel G , Menghini M. The “Essential Tension” at Work in Relationships between Analysis and Geometry. Historia Mathematica， 1998（25）：385

[8] 秦元勛. 常微分方程概貌. 北京：科學技術文獻出版社，1989. 40

[9] 梁宗巨主編. 數學家傳略辭典. 濟南：山東教育出版社，1989. 156

[10] 佩斯. A． 上帝是微妙的——愛因斯坦的科學與生平. 北京：科學技術文獻出版社，1988. 194