解決“犬儒悖論”的兩大“公設”(定稿)

首先，以一個故事來介紹古希臘數學、哲學家犬儒(Zeno)的著名悖論。

一隻老龜挑戰勇士阿基里斯(Achilles)，要和他賽跑，並且聲稱只要阿基里斯讓它先前一點，它就會贏。阿基里斯好笑，心想我是大能的勇士，飛毛腿，而你老龜行動緩慢，身體笨拙。“你需要先前多遠？”他笑問老龜。“十米。”老龜答道。阿基里斯笑得比以前更歡。“如此看來，你定要失敗。”他告訴老龜，“如果你願意的話，就讓我們賽跑吧。”“你錯了。”老龜說，“通過簡單的爭論，就能證明‘我要贏’。”“那你說給我聽聽。” 阿基里斯回答說，然而必勝的信心似乎比以前少了些。他知道自己是一個超級運動員，但是，他也知道老龜智慧超群，而且，從前在多次巧辯之中，自己都敗給了它。“假如，”老龜開始論道，“你讓我先前十米。你會飛快地跑完我們之間的那十米，你說對吧？”“很快地。” 阿基里斯堅定地回答。“那時，你認為我應該跑了多遠？”“或許一米，也可能多點。” 阿基里斯稍微考慮了一下回答。“很好。”老龜說。“現在我們之間有一米的差距。你會很快跑完我們之間的那段距離，是吧？”“確實很快！”“然而，那時我也已經向前邁進了一些，而你必又須跑完我們之間的那段距離，是吧？”“這個。。是的。” 阿基里斯回答有點慢了。“當你跑完那段距離時，我又已經前進了一些，而你又必須跑完這段我們之間新增的距離。”老龜四平八穩地說着。阿基里斯什麼也沒再說了。“所以你看，在每一時刻，你必須跑完我們之間的距離，而我，同時又能前進一點，新前進的距離雖然小，然而你卻必須要相繼去跑完。”“真的，情況確實如此。” 阿基里斯無賴地回答。“所以，你永遠追不上我。”老龜同情地得出了結論。“你對了，永遠正確。” 阿基里斯傷心地說道，於是取消了比賽。

“犬儒悖論”也可以敘述如下。假如我要跨過一個房間。首先，當然，我必須走完這房間距離的一半。然後，我必須走完所剩下距離的一半。再後，我又必須走完所剩下距離的一半。。如此下去，結論是我永遠到不了房間的那邊。同樣的道理，論到時間也是一樣：假如我要過一天(24 hrs)。首先，當然，我必須過完這一天的時間的一半(12 hrs)。然後，我必需過完所剩下時間的一半(6 hrs)。再後，我又必須過完所剩下時間的一半(3 hrs)。。如此下去，結論是我永遠過不完一天(24hrs)。似乎空間、時間都是靜止的，而直覺和經驗告訴我們：我們能夠從房間的這邊走到那邊，也能過完一天(24 hrs)。

幾千年來，“犬儒悖論”吸引着大批思想家、哲學家和物理學家，他們都未能取得實質性的進展。悖論的存在預示着人們的理性體系中隱藏着巨大的缺陷。最近，新西蘭理論物理學家彼得林資(Peter Lynds)發表論文“時間、經典和量子力學：不確定性對不連續性”(Foundations of Physics Letters, Vol.16, No.4, August 2003)似乎解決了這一經典悖論。讓我們先回顧一下林資論文的基本觀點和結論。

林資在他那篇富有爭議的論文[Lynds 2003]中提出了一個反直覺(counter-intuitive)“公設”，即“在時間中不存在‘精確’、‘靜止’的‘瞬刻’支配動態的物理學過程，在其間的動態物理學過程中，相對運動中的物體的相對位置或特別的物理量在理論上是可以精確確定的。”(It is postulated there is not a precise static instant in time underlying a dynamical process at which the relative position of a body in relative motion or a specific physical magnitude would theoretically be precisely determined.) 林資在他論文[Lynds 2003]的開篇寫道：“時間是以測得的‘區間’進入力學的，相對於時鐘所完成的測量。”(Time enters mechanics as a measure of interval, relative to the clock completing the measurement.) 林資接着強調，雖然被普遍忽視，所有情況下時間都是指一個時間“區間”而不是一個‘精確’、‘靜止’的‘瞬刻’。林資進一步給出了實際例證。“例如，兩個獨立的事件分別測得發生在1小時和10.00秒，這兩個值是指事件發生在兩個時間“區間”之內，即：1~1.99999…小時和 10.00~10.0099999…秒。”(For example, if two separate events are measured to take place at either 1 hour or 10.00 seconds, these two values indicate the events occurred during the time intervals of 1 and 1.99999…hours and 10.00 and 10.0099999…seconds, respectively.) [喜歡拆字、測字的華人可能已經發現了漢文的奇妙，“時間”一詞已將林資的重大“公設”表徵出來，只是沒有刨根問底的華人寫成理論物理學論文發表。]林資的“公設”即否認“虛刻”(imaginary monentum) 以及霍金(Hawking) 否認“虛質” (imaginary mass) 已經成為“實證科學”的兩塊基石。但是，細心的人很快也就覺察出這些“公設”背後的“存在主義”的幽靈。南新罕布什爾大學 (Souhtern New Hampshire University) 的Philip V. Fellman 教授評論林資的論文時說：“這一公設的重要性非常明顯，在物理學、社會組織科學中數學模型和計算機化中將成為非常特別的基石。”(This postulate is obviously important at the very foundations of mathematical modeling and computation in both the Physical Sciences and the Social and Organizational Sciences.)[Fellman 2004] 本人盡力避免捲入學術探討，還是讓我們看林資是怎樣解決“犬儒悖論”的。林資說：“唯一、其中物理量可以精確測定的情形是：如果在時間內存在‘精確’、‘靜止’的‘瞬刻’支配動態的物理學過程，那麼結果就是這個物理系統被禁錮在那個‘瞬刻’。在如此的系統之中，任何不可分割的數學時間值，如2秒，準確地表示時間中的某一‘精確’、‘靜止’的‘瞬刻’，而不是一個時間的‘區間’(這種認識是如此普遍，在微分中，可以追溯到加利略(Galileo)，特別是牛頓(Newton)，在他的微積分王國中，將這種絕對的精確推到極至，如：Δd/ Δt = v)。幸運的是，情況並不是這樣：仿佛這靜止的框架包含着整個宇宙。否則，宇宙開始的存在和在時間中的前進都不可能。感謝的是，自然很有智慧地以確定性換取了連續性。”(The only situation in which a physical magnitude would be precisely determined was if there were a precise static instant in time underlying a dynamical physical process and as a consequence a physical system were frozen static at that instant. In such a system an indivisible mathematical time value, e.g.2s, would correctly represent a precise static instant in time, rather than an interval in time (as it is generally assumed to in the context of calculus, and traceable back to the likes of Galileo, and more specifically, Newton, thus guaranteeing absolute preciseness in theoretical calculations before the fact i.e. Δd/ Δt = v). Fortunately this is not the case, as this static frame would include the entire universe. Moreover, the universe’s initial existence and progression through time would not be possible. Thankfully, it seems nature has wisely traded certainty for continuity.) 林資又從別的角度進一步闡明他“公設”的合理性。“還可以從另外一個角度來審查這一情形，如果在時間中的某一物理量在‘精確’、‘靜止’的‘瞬刻’是可以精確測定的話，該物理量就不會變化，因為它能變化，首先必須經過另一個‘精確’、‘靜止’的‘瞬刻’。而在它能變化之前，它必須經過那值的一半。相繼，在它能變化之前，它又不得不經過剩值的一半，如此前行，直到無限。因此，用這種方式，我們就已經證明了：如果某物理量是可以精確確定的，它定是不變化的。所以，在某時刻的“確定性”和時間的“連續性”之間必須要有所舍取。請注意：在此提供的解釋以及本文通篇所闡明的觀點是正確解決運動、無限二分悖論、阿基里斯和老龜賽跑悖論、矢的悖論以及其他更現代的誤差變化，這些通通都根源於‘犬儒悖論’。”(Another way to look at this is if a physical value were precisely determined at a precise instant in time, it could never change, as it would firstly have to proceed to half of that value. But before it could do this, it would have to proceed to half of that value again, and so on, and so on, to infinitum. Thus, in this manner it can be demonstrated that if a physical value were precisely determined, it could never change. There is a necessary trade off of between certainty at a time, for continuity through time. Please note that the explanation provided here and previously throughout this paper is also the correct solution to the motion and infinity paradoxes the Dichotomy, Achilles and the Tortoise, the Arrow, and their other more modern variations, originally conceived by the Greek mathematician, Zeno of Elea.) 最後， 看看林資分析“不確定性”和“不連續性”就不難理解“犬儒悖論”在此“公設”之下迎刃而解。“在時間中，不存在支配動態物理過程的某一‘精確’、‘靜止’的‘瞬刻’表明在相對運動中的任何微觀或宏觀物體，在任何時刻都沒有精確的確定的位置，表明所有的物理量，在任何時刻都不可能被精確地測定，雖然它們各自的位置、物理量的參數和界線，在可能的測量範圍內是可以確定的，就像量子假說所陳述的那樣，但是，這種在精確值上的不確定性，不是量子的不確定性和ħ所導致的結果。借用愛因斯坦著名的1905列車和其他相關的理論設施、思想實驗能證明“公設”的合理性。有一觀察者正注視着一列載有年輕愛因斯坦的列車。在由觀察者手握的時鐘所測定任何時刻，愛因斯坦列車都在運動之中。如果觀測者測得該列車在10.00秒時通過鐵軌某一精確位點，表明該列車通過那一特定位點，這一時值是所測得的一個時間‘區間’，即10.00~10.00999…秒。因為愛因斯坦列車，在所有測得的時刻都處於運動中，不管它的速度是大是小，或時間‘區間’多麼小(如10.0000000~10.0000000999秒)，愛因斯坦列車，在任何時刻，在鐵軌上都不會有精確的相對位置，因為正運動時，它在任何時刻都不是靜止的，也就是說，在任何時刻，在鐵軌上要有相對精確的位置，那時刻列車相對鐵軌就必須是靜止的。相反地，在時間中的‘絕對’、‘精確’、‘靜止’的‘瞬刻’列車沒有精確的相對位置，因為在時間中不存在支配列車運動的‘精確’、‘靜止’的‘瞬刻’。如果有的話，愛因斯坦列車的運動將不可能。”(The absence of a precise static instant in time underlying a dynamical physical process means that a body (micro and macroscopic) in relative motion does not have a precisely determined relative position at any time, and that all physical magnitudes are not precisely determined at any time, although with the parameter and boundary of their respective position and magnitude being determinable up to the limits of possible measurement as stated by the quantum hypothesis, but with this indeterminacy in precise value not being a consequence of ħ and quantum uncertainty. The reason why can be demonstrated by employing Albert Einstein’s famous 1905 train and the other theoretical device it is associated with, the thought experiment. An observer is watching a train traveling by containing a young Albert Einstein. At any given time as measured by a clock held by the observer, Einstein’s train is in motion. If the observer measures the train to pass a precisely designated point on the track at 10.00 seconds, this value indicates the train passes this point during the measured time interval of 10.00 and 10.00999…seconds. As Einstain’s train is in motion at all measured times, regardless of how great or small its velocity and how small the measured time interval (i.e. 10.0000000~10.0000000999…seconds), Einstain’s train does not have a precisely determined relative position to the track at any time, because it is not stationary at any time while in motion, for to have a precisely determined relative position at any time, the train would also need to be stationary relative to the track at that time. Conversely, the train does not have a precisely determined relative position at an ethereal precise static instant in time, because there is not a precise static instant in time underlying the train’s motion. If there were, Einstain’s train motion would not be possible.) 根據林資的“公設” “犬儒悖論”是不成立的，因為在時間中不存在支配運動物體的‘精確’、‘靜止’的‘瞬刻’，也就是說阿基里斯和老龜賽跑一旦開始，在任何‘精確’、‘靜止’的‘瞬刻’ 阿基里斯的位置是不確定的，很可能在老龜指定位置的左或右。

基於這一“公設” 林資解決了“犬儒悖論”。很清楚，林資“公設”是否認了所謂“虛刻”，從而否定了時間的連續性。這一“公設”雖然在物理學數學模型和計算機化過程中有重大的實際意義，所反映的卻不是真實的宇宙大自然。真實的宇宙大自然是連續性的，而“萬有”的聯繫正是這些“虛刻” 和“虛質”，也就是多維時空的終極形態。“虛質”和“虛刻”實際上是不可分割的，如同空間與時間不可分割，所以二者合併稱為“虛空”( imaginary vaccum)，也就是“無窮小”。由於受到實驗手段的限制，實驗科學家否定“虛質”和“虛刻”是可以理解的。但是，以否定“虛質”和“虛刻”為“公設”很難讓人的“理性”折服，因為那些“公設”不是終極的“真理”，而是在認識神所創造的世界時，暴露出自身的有限，人類的間隙性、階段性呻吟。本人不想涉及愛因斯坦與哥本哈根學派之間的學術爭論。儘管實際上關於宇宙大自然的本質是“連續性”的還是“間斷性”的一直在人類活動的各個領域進行，從來沒有“間斷”過。本人認為，量子力學的成功展現了宇宙大自然“對稱性破缺”和“運動”的屬性，然而科學對“運動”的本質一無所知，對信息、能量、物質的不均勻性分布研究過於自傲。現在我們來簡單回顧一下“無窮小”在人類活動或數學、科學中的重大意義。人的直覺、理性深處完全接受了“無窮小”的真實存在。“無窮小”涉及了函數性質描述。物理學大廈的“建築材料”是“無窮小”儘管有時被忽略。“無窮小”的確富有神秘性，但不是完全不可知的，且看數學家對“無窮小”的描述：“設函數f(x)在x0的某一去心鄰域內有定義(或| x |大於某一正數時有定義)。如果對於任意給定的正數ε (不論它多麼小)，總存在正數δ (或正數X)，使得對於適合不等式0X)的一切x，對應的函數值f(x)都滿足不等式| f(x) |<ε，那麼稱函數f(x)當x → x0 (或x → ∞) 時為無窮小。”看來“無窮小”並非完全不可知的，而且在人類活動、數學、科學中無處不發揮主角作用，同時，“無窮小”也帶出了另一個富有神秘性，在人類活動、數學、科學中無處不發揮主角作用的“無窮大”。“無窮小”和“無窮大”是什麼關係？首先，“無窮小”是“無窮大”進到有限。其次，“無窮小”和“無窮大”永遠相隨而行，對應於“萬有”的“始”和“終” 。再次，“無窮小”於有限之中，“無窮大”於有限之外。再次，“無窮小”和“無窮大”同質而非對立，他們之間的協作產生“秩序”和“運動”。最後，“無窮小”和“無窮大”相等，這就是本人要宣告的解決“犬儒悖論”的第二大“公設”。

假設一天(24 hrs)。要過完一天(24 hrs)，必須先完成12 小時；要過完所剩的12 小時，必須先完成6小時；如此繼續。。是一個趨近時間“無窮小”的過程。因為“無窮小”等於“無窮大”，所以“過完一天(24 hrs)”是一個趨向時間“無窮大”的過程。又因為，一天(24 hrs)是包含於時間“無窮大”之中、兩天(48 hrs)的中點，在走向時間“無窮大”的過程中，必須先完成兩天(48 hrs)之半的一天(24 hrs)。所以，一天(24 hrs)是能過完的。基於“無窮小”等於“無窮大”的“公設”，時間運動起來了。同理，這一“公設”也使得“萬有”都運動起來。牛頓的第一推動原理就是：對應於“萬有”之“始”與“終”的“無窮小”和“無窮大”相等。

***謹以此文獻給苦苦追求真理的人們。***

註：解決“犬儒悖論”的第二大“公設”源於《聖經》：啟示錄1：8 主　神說：“我是阿拉法，我是俄梅戛（註：‘阿拉法’、‘俄梅戛’乃希臘字母首末二字），是昔在、今在、以後永在的全能者。” 歌羅西書1：17 他在萬有之先，萬有也靠他而立。

***願全能、永活的創造主，獨一的真神祝福您，奉主耶穌基督得勝的尊名求，阿們。***