《經典力學推導光的引力偏轉角及更正》

#379

有哲註：

這是轉貼文。

本人認為推導思路對，但我發現其數值有誤，結果應θ≈2GM/(c^2*r)。是相對論結果的1/2。

因為作者“活力公式”誤多2因子所致。

所以，文結尾說：“這恰好就是廣義相對論所給出的結果！”是錯的。

應說：“這恰好就是廣義相對論所給出的結果的一半”！

這依然是令人驚奇的。

引力透鏡——用經典力學推導光的偏轉公式

作者：蘇劍林 | 發布時間：April 30, 2012

引力透鏡
————用經典力學推導光的引力偏轉角公式

在2012年第四期的《天文愛好者》上，Richard de Grijs（何銳思）教授的《引力透鏡——再領科學潮》一文詳細而精彩地講述了有關引力透鏡方面的知識，尤其是它在天文方面的重要應用，讓我收穫頗豐。筆者在讚嘆作者優美的文筆和譯者程思浩同好的生動翻譯之餘，也感到了一絲不足。文章主要講了引力透鏡在天文研究中所扮演的重要角色，卻未對引力透鏡的原理、本質方面多加描述。時空的扭曲是廣義相對論給出的答案，可是難道僅僅從經典力學就不能領略絲毫？藉此，BoJone這在里對引力透鏡多說些東西，與大家相互學習研究。當然，由於我只是一個初出茅廬的業餘愛好者，其中的不當之處還望各位斧正。

引力透鏡成因

引力透鏡是怎麼產生的？當然是因為光在引力場中會偏折。可是光線好端端地有直路不走，為什麼要走彎路呢？根據費馬原理，光總是走用時儘可能少的路徑去到達目的地^注*，要是走曲線，那不是違反這一原理了嗎？通常我們會用廣義相對論來回答：質量導致了時空維度的扭曲，使得空間兩點間的最短距離不再是直線（就像地球表面上的兩點間的最短距離是圓弧）。但廣義相對論的說法是比較專業的，並不怎麼直觀。我們或許可以用經典理論來換一個角度思考這個問題。

平時光從透鏡中會發生折射，是因為透鏡具有大於1的折射率，這意味着什麼呢？事實上這表明光在透鏡中（玻璃）傳播速度更慢。根據光學中的費馬原理，它要走折線才能花最短的時間，這就導致了折射定律。“引力透鏡”是否有類似原理呢？光在引力場中的速度變慢呢？在某種意義上是可以這樣認為的，因為光在扭曲的高維時空中走了一條曲線，而在我們三維空間看來，它走的依然是直線，但是時間卻變長了，所以看起來速度就變慢了，這等價於它有了一個時空的“折射率”，因此它就得走彎路了。^注**反過來，如果肯定“光在真空中速度不變”這一相對性原理，那麼就可以得出“質量把時空扭曲了”這一結論，因為只有這一觀點才能保持費馬原理的正確性。這也是用引力透鏡來檢驗廣義相對論的原因。

另一方面，從經典力學的角度來講，根據光子能量E=hν和質能方程E=mc2可以得出m=hνc2 ，即光可以看成質量為m=hνc2的粒子。既然如此，粒子經過引力場受到引力作用當然會偏折了。這是天體力學中的“二體問題”^注***。令人意外的是，任何一個有一些天體力學基礎的同好，都可以從這個角度出發，由經典天體力學的一些定律，加上一些不嚴謹的假設，來得出光在引力場中的偏轉角公式。而且最不可思議的是，不嚴謹的結果與廣義相對論的結果完全一致！當然這只是一個神奇的巧合，它並不嚴謹，但也有一定的欣賞價值。在這裡與各位同好分享，也權當拋磚引玉。

經典力學：光在引力場的偏轉角

光子的速度為c，這已經遠遠大於許多恆星的第二宇宙速度了，根據天體力學，光子經過這些恆星附近走的是雙曲線了，恆星（太陽）位於雙曲線的一個焦點上。由解析幾何，對於任意一條雙曲線，其方程為
x2a2−y2b2=1

如何表示偏轉角呢？我們可以考慮雙曲線的兩條漸近線：yx=±ba

如圖，θ角的大小就是偏轉角的大小，而且θ=2φ=2arctanab ，假設雙曲線的離心率e非常大（光線在引力場正是這種情況，因為它的初速度為c，非常大），那麼就有 a << b，
ab=aae2−1√≈1e≈0

對於很小的角度θ，有tanθ≈θ，所以有
θ≈2arctan1e≈2e 。

接下來的目標是求出e。天體力學中有一條重要的“活力公式”（這似乎是奧賽朋友們必懂的？）
v2=2GM(2r−1a) ，對於雙曲線來說變成了v2=2GM(2r+1a) ，它描述了速度v歲距離r的變化情況。當然光速不會變化，但是這裡我們忽略這一情況，我們假設光到達“近日點”（圖中的B點）時速度為c，那麼就有v=c以及r=a(e-1)≈ae了，代入活力公式就可以得出
c2=2GM(er+2r)=2GM(e+2)r≈2GMer

即e≈c2r2GM，代入θ≈2e得到
θ≈4GMc2r
這恰好就是廣義相對論所給出的結果！可以說，要初步理解引力透鏡，不一定需要廣義相對論這個精深的理論！

再說一點

至於為什麼可以由經典力學類比而讀出廣義相對論的正確結果呢？我想原因之一是光子雖然擁有質量，但是質量很小，在這種情況下牛頓引力理論是適用的。也有可能是既沒有考慮相對論效應，又沒有考慮量子效應，所以兩個錯誤“負負得正”而相消了。這和由第二宇宙速度公式v=2GMr−−−−√得出黑洞半徑rg=2GMc2的正確公式有着異曲同工之妙。不過我對引力理論不了解，就不再多說些什麼了。就單純把過程放在這裡，供大家參考。

上面是BoJone在看了《引力透鏡——再領科學潮》一文後，心生興趣而無意中的推算結果。我一直堅持“厚積厚發，薄積薄發”，擁有小小的知識也可以儘自己的力量去研究、分析天文物理現象，得出一些令人興奮的結果，也許過程並不嚴謹、結果並不正確，這並不妨礙我們追逐天文的興趣，相反，這是我們追逐天文之夢的動力和途徑之一。

附加

*嚴格來講，費馬原理指的是光走的路徑所需要的時間總是一個“極值”，有可能是極大值、極小值或者是恆定值，但是這裡為了通俗描述，採取了一般的描述（最小值），這是在大多數情況下都成立的。

**可以想象一下，沿地球表面從南極勻速走到北極，而在外界看來我們只是從直線走到北極，那麼外界看到的速度比我們的真實速度要慢。

***要想對“二體問題”有進一步的了解，在本blog搜索相關文章。

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以上為轉貼文。

有哲註：

這是轉貼文：

本人認為推導思路對，但我發現其數值有誤，結果應θ≈2GM/(c^2*r)。是相對論結果的1/2。

因為作者“活力公式”誤多2因子所致。

所以，文結尾說：“這恰好就是廣義相對論所給出的結果！”是錯的。

應說：“這恰好就是廣義相對論所給出的結果的一半”！

這依然是令人驚奇的。

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