完整的勾股定理是這樣滴：平面上的的直角三角形的兩條直角邊的長度（古稱勾長、股長）的平方和等於斜邊長（古稱弦長）的平方。反之，若平面上三角形中兩邊長的平方和等於第三邊邊長的平方，則它是直角三角形（直角所對的邊是第三邊）。

一般人的問題出在“反之”之後：“反之”之前叫做原名題，“反之”之後就是它的逆命題。兩者都成立啦，才叫做勾股定理。

古時所謂“勾三股四弦五”只是勾股定理的一個特例，根本不能說，勾股定理是中國人“發明”或“發現”滴。世界比較一致公認的證明了勾股定理的是希臘人“畢達哥拉斯”。所以勾股定理就是“畢達哥拉斯”定理。總之，勾股定理的證明和中國沒有任何關係。

一般比較通俗的認為，只要證明了定理的前半部分，即：兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方，就算完事啦。而且不少人找出了所謂“簡潔”的證明方法。

但是完整的證明，還需要證明定理的後半部分，即：兩條邊的平方和等於第三邊的平方的三角形，是直角三角形。

前半部分不說了，很多人都知道，而且，據說美國總統還找出了一種證明方法。那不新鮮，俗話說：”第一個用“美麗”形容女人的是聰明人，第二個用“美麗”形容女人的是傻瓜。”

勾股定理的後半部分是這樣滴：“兩條邊的平方和等於第三邊的平方的三角形，一定是直角三角形。”

這是一個“命題”，它的“逆否命題”是：不是直角三角形，一定做不到兩條邊的平方和等於第三邊”。根據邏輯學基本原理，原名題和逆否命題是等價滴。只要證明了這個逆否命題，原名題一定成立。因此問題轉化為證明：“不是直角三角形，一定做不到兩條邊的平方和等於第三邊”。

因為畫圖困難，以下全憑口述：

第一步：做一個任意三角形，鈍角三角形和銳角三角形都可以。

第二步：以三角形的一條邊為基礎，或者延長另一條邊，或者減少另一條邊的長度，總可以做出一個直角三角形來。

第三步，新作出的直角三角形，一定符合勾股定理的前半部分，這個已經證明過啦。

結論，原作的銳角或鈍角三角形不可能滿足兩條邊的平方和等於第三邊。

證畢。