悖論是不存在的 － 解析之諾悖論和0.999...

粱遠聲

芝諾（Zeno 490BC-435BC）生活在古希臘。他的阿基里斯與烏龜的悖論說：跑得最快的阿基里斯永遠追不上跑得慢的烏龜。因為他首先必須跑到烏龜的起跑點，這時候烏龜已經往前爬了一段路。當他趕上這段路時，烏龜又向前進了一些。如此等等，無論什麼時候阿基里斯追到了烏龜當前的位置，烏龜在這段時間內又向前爬拉開了距離，這個差距雖然在縮小但一直存在，在這無窮追趕過程中不會是零。因此跑得慢的烏龜永遠領先，無法被超越。 

常識或現實告訴我們，跑得快的阿基里斯是能夠追上跑得慢的烏龜的。那麼問題出在哪裡？是邏輯與現實的矛盾嗎？現在讓我們用一個例子對之諾悖論進行解析。

為了方便,用A代表阿基里斯,用C代表烏龜。假設A的速度是2，C的速度是1。A，C都是質點沒有線度。A和C之間的初始距離是1。

第一步：A位移1。我們寫出如下表達式,
A:1; t:1/2; C:1/2; D: 1/2
式中A:1代表A走過的距離是1，t:1/2代表當前時刻是1/2，C:1/2代表C走過的距離是1/2，D: 1/2代表A,C之間的距離是1/2.
第二步：A位移1/2。我們寫出如下表達式,
A:1+1/2; t:1/2+1/4; C:1/2+1/4; D: 1/4
第三步：A位移1/4。我們寫出如下表達式,
A:1+1/2+1/4; t:1/2+1/4+1/8; C:1/2+1/4+1/8; D: 1/8
第n步：A位移1/(2^(n-1))。我們寫出如下表達式,
A:1+1/2+1/4+...+1/(2^(n-1); t:1/2+1/4+1/8+...+1/2^n; C:1/2+1/4+1/8+...+1/2^n; D: 1/2^n
整理後得到，n步之後：
A走過的距離 = 1+1/2+1/4+...+1/2^(n-1) = 2(1-1/2^n)            (1)
累加的時間 = 1/2+1/4+1/8+...+1/2^n = 1-1/2^n                  (2)
C走過的距離 = 1/2+1/4+1/8+...+1/2^n = 1-1/2^n                 (3)
A,C之間的剩餘距離 = 1/2^n                                     (4)
根據數理模型，
A追上C所需要的時間是 1/(2-1) = 1                            (5)
A追上C所走過的距離是 2(1) = 2                                 (6)

現在看看表達式(1)是什麼意思。表達式(1)是把A走過的距離記錄並累加。我們把它稱作收錄好了。但是這個收錄方式是離散的，且每次收錄都留有餘量。所以收錄的結果，無論n等於多少，都小於A走過的實際距離。也就是說，這個結果永遠小於2。

再看看表達式(2)是什麼意思。表達式(2)是把記錄A走過距離的時間記錄並累加。這個收錄方式也是離散的，與(1)的收錄是同步的。收錄的結果，無論n等於多少，收錄的時間都小於1。

收錄的時間都小於1，當然所收錄的A走過的距離小於2。分析到這裡，我們知道，因為採用的收錄方式，收錄的結果小於A走過的實際距離。這並沒有證明A走不到距離2。收錄方式是離散的，A走的過程是連續的。但這並不是說，所有離散方式不能收錄A走過的實際距離。如果在A位移1時收錄一次，再一次位移1時收錄一次，就收錄到A走過的全部距離。

還有一個類似的例子。假設有一個木杆，長度是2。第一次截取它的一半，以後每次截取剩下部分的一半，那麼無論多少次也截取不完。這樣的收集方式，其結果(就是公式（1)),永遠小於2。但是我們不能否定木杆的原長是2。這裡的木杆原長相當於A追C走過的實際距離，這裡的收集方式相當於對A走過的實際距離的收錄方式。

綜上所述，根據芝諾悖論所給出的信息，正確的敘述是這樣的：阿基里斯比烏龜跑得快。烏龜在前，阿基里斯在後。首先阿基里斯跑到烏龜的起跑點，記錄阿基里斯跑得距離。這時候烏龜已經往前爬了一段路。阿基里斯趕上這段路時，記錄阿基里斯跑得距離，烏龜又向前進了一些。如此等等，無論哪一次記錄，在記錄的瞬間，阿基里斯與烏龜之間都有一段距離。這個距離雖然在縮小但一直存在。因為下一次記錄前，A還要向前走，所以這種收錄方式的結果永遠小於阿基里斯走過的實際距離。
 
收錄的結果永遠小於阿基里斯走過的實際距離能證明阿基里斯追不上烏龜嗎？不能！根本是不同的概念。所以芝諾悖論是偷換概念，是詭辯論。這就是芝諾悖論的邏輯漏洞，根本不是什麼邏輯與現實的矛盾，也不是什麼潛無窮與實無窮的問題。

這裡順便討論一下1與0.999...的關係。0.999...是一種書寫方式。那麼怎麼解讀0.999...呢。只有兩種解讀方式。一是把0.999...解讀成數列。

an = 0.n個9

如果這樣解讀，無論n等於多少，an < 1。這可以用數學歸納法證明的。再一種解讀方式是把0.999...解讀成數列an的極限。如果這樣解讀, 0.999... = 1。如此而已，沒有什麼玄機。

所有嚴格單調增加的有界數列都不能達到它的上確界。但不能由此否定上確界的存在。

第一次數學危機，第二次數學危機都被化解了。第三次數學危機根本就不能稱作危機。悖論是不存在的。如果說這個論斷過於大膽，那至少可以說，到目前為止，所有傳說的悖論都不是真正的悖論。