數學中的遊戲因素及其對於數學的影響 by 王幼軍　

關鍵詞： 數學 遊戲 數學發展 數學教育

摘 要： 遊戲與數學作為兩項人類活動具有許多共同的特點，這種共性主要體現在它們的性
質、結構以及實踐等三個方面。數學與遊戲之間的關係是相互滲透、相互統一的關係。遊戲的精
神一直伴隨着數學的成長和發展，成為數學發展的主要動力之一；並從以下幾個方面影響了數學
的發展：遊戲激發了許多重要數學思想的產生，遊戲促進了數學知識的傳播，遊戲是數學人才發
現的有效途徑。此外，遊戲還在數學教育中起着非常重要的作用。

　　　　　　　　　　　　　　一．數學與遊戲的關係

　　一般認為，遊戲是一個廣泛的概念，它包括任何一種旨在消遣時光或尋求娛樂的活動。而數
學則是帶有藝術風度的智力工作，同時是具有巨大的實用價值的科學。數學總是和邏輯在一起，
數學家在從事研究時一般不是戲謔的，因為嚴謹和認真是人們對數學的一種追求，遊戲對於數學
的作用至多起激發興趣和調節情緒的作用。然而，事實上情況並非那麼簡單。考察一下數學與游
戲的關係，我們發現遊戲與數學的關係非常密切。無論從數學知識的本身，還是數學活動的過程，如從事數學活動的人們的動機、方法等方面都可發現遊戲的因素。

　　首先，就數學知識本身來說，在傳統數學領域和現代數學領域中都可發現大量賞心悅目的具
有遊戲性質的內容和問題。在算術中，畢達哥拉斯學派對於完全數和親和數等數字的奇特性的研
究，以及用石塊的遊戲列出的有趣定理都具有遊戲的性質。在代數中，三次方程早已出現在公元
前1900----1600年巴比倫的泥板書中，當時並沒有實際的問題導致三次方程，顯然巴比倫人把這個問題當作消遣。公元前3世紀阿基米德提出“群牛問題”導致包含8個未知數的代數不定方程組。5—6世紀《張丘建算經》中記載的“百雞問題”導致3元不定方程組。幾何學中的遊戲趣題更是花樣繁多，如由勾股定理所編制的大量趣題、古希臘人研究的角的三等分、倍立方體和化圓為方三大幾何作圖問題以及對割圓曲線等奇異曲線的研究、用相同形狀的圖形鋪滿整個平面的問題，等等。許多深奧的、嚴肅的數學也帶有遊戲的情趣。例如，從16世紀以來，在微積分中人們對大量種類的奇形怪狀的曲線的研究顯然帶有娛樂的性質。最早純粹關於消遣性數學問題的書籍出現於17世紀，其後200年中，數學中的遊戲及迷題的種類和數量大增。在此時期人們的興趣大都集中在數字的奇特性、單純的幾何迷題、算術故事問題、魔（術）方（塊）、賭博等遊戲。到了19世紀，人們的興趣開始轉向一些現代數學領域，如拓撲學、組合幾何、圖論、邏輯學、概率論等，其中研究對象性質的奇特性、推理方法的迷惑性、以及各種組合問題和幾何圖形操作的靈活多變性等都是給人以樂趣的、帶有遊戲色彩的問題。

　　其次，數學作為一項人類活動，自古以來一直是一個享有特權的人類智力活動領域，被看成
是人類智力的象徵。它能使參與者產生情感方面的體驗，給人樂趣。因此，許多人不單是因為數
學有用而研究數學，他們的出發點則是把數學作為一種自娛自樂的遊戲，一種高級的心理追求和
精神享受。許多數學思想是人們鍥而不捨地思索一個令人迷惑的概念或問題的結果。有些人可以
就一些問題和趣題連續工作幾個小時，甚至花費幾天、幾年的時間去探討那起初從表面上看來不
過是消遣的東西，直至細枝末節，以求得徹底解決。例如，幾何學起源於實際的需要，然而幾何
學的繁榮發展卻開始於古希臘。儘管希臘人把幾何看作與對於世界本質的思索一樣嚴肅的事，但
實際上希臘人卻把幾何當作智力遊戲對待，他們的大部分工作本質上都具有遊戲的性質──遠離功利，滿足好奇心和求知慾，有閒人的消遣，比如他們把大部分的精力都集中在許多單純的幾何迷題上。可以說數學只是希臘人的一個高級玩具，而並非一個有用的工具。

　　數學即遊戲的觀念在19世紀數學變為一種職業以後仍然在發揮作用，實際上這種觀念一直持
續到現代。在此，引用愛因斯坦於1918年4月所講的一段意味深長的話：“許多人愛好科學，是
因為科學給了他們異呼尋常的智力上的快感，對於這些人科學是一種特殊的娛樂；還有許多人之
所以把他們的智力奉獻給科學祭壇，為的是純粹的功利。如果把這兩類人都趕出神聖的殿堂，那
麼，這裡的人就會大為減少…”愛因斯坦的這段描述在科學殿堂活躍的人們的話同樣也適用於數
學。著名數學家哈代曾說：激勵數學家做研究的主要動力是智力上的好奇心，是謎團吸引力，正
如希爾伯特所說：“問題就在那裡，你必須解決它”。正是這種永不滿足的激情吸引了大批的人獻身於數學，從而導致了大量問題離奇地綻開數學的嫩牙。可以說數學在其成長和發展中一直伴隨着遊戲的精神。

　　這種數學即遊戲觀念並非出於偶然，從本質上作一番考察，我們會發現數學與遊戲具有許多
共同的特點，它們的關係是相互滲透、相互統一的關係，這種統一主要體現在活動的性質、結構
的形式以及實踐三個方面。

　　首先，數學與遊戲作為兩項人類活動具有許多共同的性質特徵。有些社會學家曾經對遊戲進
行了深入的分析，以下性質是遊戲的基本特徵 [1] ：

1．遊戲是一種“自由活動”，“自由”在希臘語中的意思是“無報酬的”，即活動本身是為了鍛練，而不是為了從中獲取利益。
　 2．遊戲在人類的發展中起着“一定的作用”。幼兒從遊戲中豐富情感、獲得知識、發展智力和能力，從而為將來的競爭和生活作準備。成年人玩遊戲則是為了體驗解放、迴避和放鬆、滿足好奇心等感覺。
　　3．遊戲不是玩笑，作遊戲必須相當認真。不認真對待的人是在糟蹋遊戲。
　　4．遊戲就象藝術工作一樣，在深思熟慮、實施以及取得成功的過程中能夠得到巨大的樂趣。
　　5．通過遊戲規則可以創造一種新秩序和充滿和諧韻律的世界。
　　6．遊戲有自己獨立的時間和空間。……

　　顯然，數學作為一項人類的活動也具有以上所有的特點，從這一點來講，數學的確是一種游
戲。

　　其次，數學與遊戲的系統結構也有共同的形式。數學具有演繹體系或稱為公理化系統，這種
系統由不加定義的概念（原始概念），不加證明的命題（公理）組成。其中原始概念的含義由公理體現出來。任何遊戲在一開始都是介紹一些對象或部件，一系列的規則，這些對象或部件的作用由那些規則所決定。兩者的相似是顯然的，它們的差異只是叫法不同而已，數學中的不加定義的概念對應着遊戲中的對象或部件，公理對應着遊戲的規則，數學中的定理則對應着遊戲過程中的每一狀態。兩個系統中都有“定義”，也都有“證明”。 例如，以下“字母遊戲”的系統可以用數學的語言描述 [4] ：

　　不加定義的概念：字母M，I和U。

　　定義：x指任何由若干I和若幹個U組成的字母串。

　　公理：
1）如果字母串的最後一個字母是I，則可在最後加上字母U。
　 2）如果已有Mx，則可以加上x變為Mxx，此稱為加倍法則。
　3）如果在字母串中出現三個I相連的情況，即III可用一個U來代替
　 4) 如果UU出現，則一局結束。

　　定理：“由MI，必然導出MUIU”

　　證明：MI→（公理2）MII→（公理2）MIIII→（公理1）MIIIIU→（公理3）MUIU

　　正是由於數學與遊戲的形式結構的相似，20世紀初數學哲學中形式主義學派的代表人物希爾
伯特(D．Hilbert)有一個極端的觀點：“數學是根據某些簡單規則使用毫無意義的符號在紙上進行的遊戲。”

　　第三，數學與遊戲的實踐也有共同的特徵。任何人在開始做遊戲時，都必須對它的規則有一
定的了解，將各部件的相互聯繫弄清楚，就象數學的初學者那樣，用同樣的方法比較並建立該理
論中的基本元素之間的相互作用，這些就是遊戲和數學理論的基本練習。無論在數學中還是在游
戲中，較深層次的、更複雜的步驟和策略的運用都需要特殊的洞察力。

　　在玩高級遊戲的過程中，總是有問題出現，人門總想要在從未探索過的遊戲情境中用首創的
方法來解決，這對應於數學理論中未解決的問題的研究。在創造新遊戲的過程中，需要設計情境，給出新穎的策略和創造性的遊戲方式。將其與創立新的數學理論相類比的話，就相當於提出新穎的思想和方法，並將之應用於其它未解決的問題，從而更深刻地揭示現實生活中某些至今尚不明了的真理。

　　因此，從廣義上來講，可以說數學是一種遊戲，只不過這種遊戲要涉及到科學、哲學、藝術
等更廣泛的人類文化範圍。從狹義上說，數學中的遊戲是指那些具有娛樂和消遣性質的並帶有數
學因素的遊戲和智力難題。正是由於數學與遊戲之間的共性，許多問題和內容很難說是應歸於純
數學研究還是歸於有趣的智力遊戲；更難於區分人們對於數學的興趣是由於數學中的遊戲因素，
還是由於數學的其他因素。總之，數學中有遊戲的精神，遊戲中有數學的思想，要想在兩者之間
畫出一道嚴格分明的界限是不可能的。

　　　　　　　　　　　　　　　二．遊戲對數學發展的影響

　　既然數學與遊戲是如此緊密的聯繫在一起，因此在某種程度上可以說，遊戲精神是數學發展
的主要動力之一。人們從事數學活動，就是在進行某種趣味四溢的遊戲，數學中的遊戲因素給數
學帶來了無窮的魅力，從而吸引了一代又一代人的目光，大大加速了數學的發展。因而，不論是
數學家還是一般的遊戲者都促進了數學事業的發展。此外，遊戲對數學的發展還表現在另外三個
方面：遊戲激發了許多重要數學思想的產生，遊戲促進了數學知識的傳播，遊戲是數學人才發現
的有效途徑。

　 1．遊戲激發了許多重要數學思想的產生。數學史上經常出現這種情況，許多數學思想起源於對於一些令人迷惑不解的問題的鍥而不捨地探索，這些問題往往從表面上看來不過是供人消遣的遊戲而已，甚至看來與數學的情境毫無關係，然而最後問題的解決卻產生令人意想不到的新的數學思想。例如，自古以來，悖論出現在廣泛的學科範圍，包括文學、科學、數學。不管什麼類型的悖論，其中的創造性和令人困惑的推理都充滿了趣味和給人異乎尋常的智力上的快感。特別地，數學的悖論不僅可以供人娛樂，而且還是很好的智力練習和發現的樂土，許多數學學科的完善都與悖論有關，如實數理論、微積分、集合論等。可以說數學中幾乎每一門學科都或多或少受到遊戲精神的激發而得到發展。最典型的例子是概率論、圖論和組合數學建立。

　　概率論直接起源於一個關於賭博的遊戲。17世紀，法國的一個名為德．梅勒的職業賭徒針對
賭博中常常遇到“怎樣合理分配賭注”問題，向著名數學家帕斯卡請教，這個問題常常稱為“點
子問題”，即兩個賭徒中誰先積滿一定數目的點誰就贏得一局；如果在一局結束以前離開賭場，他們應該如何分配賭注？帕斯卡和費馬在通信中各自解決了這個問題。對於這個問題的解決和研究標誌着不同於以往確定性數學的一種嶄新的數學方法—概率論的誕生，它把純粹偶然事件的表面上的無規律性置於規律、秩序和規則之下，從而成為人類的根本知識之一，並具有廣泛應用價值。正如拉普拉斯所說：“這門起源於靠運氣取勝的遊戲的科學，竟然成了人類知識的最重要的一部分”

　　圖論也是一門起源於遊戲的學科，它起源於歐拉關於哥尼斯堡七橋問題的研究。哥尼斯堡是
東普魯士首府，普萊格爾河橫貫其中，上有七座橋將河中的兩個島和河岸連接，一個散步者怎樣
才能走遍七座橋而每座橋只經過一次？當時大多數人都把這當作有趣的娛樂，但是歐拉發現這個
問題可以導向一個另外的契機，他抓住了這個契機並加以發展。1735年，歐拉向聖彼得堡科學院
提交了一篇論文，歐拉把這個問題的物理背景變換並簡化為一種數學設計（稱作圖或網絡）：即把每一塊陸地用一個點來代替，將每一座橋用連接相應的兩個點的一條線來代替，從而相當於得到一個圖。歐拉證明了這個問題沒有解。歐拉指出歐幾里得幾何並不適用於這個問題，因為橋不涉及“大小”，也不能用“量化計算”來解決。相反地，這問題屬於“位置幾何”（萊布尼茨描述拓撲學時首先使用的名稱）。所以，哥尼斯堡七橋問題的解決遠遠超出了它的娛樂價值，由此提出的新思想則開闢了數學的一個新的領域—圖論。當然遊戲娛樂對於圖論的作用並沒有到此為止，此後許多著名的數學遊戲成為圖論和拓撲學發展的催化劑和導引，如哈密爾頓問題（繞行世界問題）、四色猜想等。

　　另一個與遊戲密切相關的學科是組合數學。組合數學是研究任意一組離散性事物按照一定規
則安排或配置方法的數學。二十世紀以前，人們主要從遊戲的角度來研究組合數學，例如中國的
魔方、縱橫圖、巴歇砝碼問題、柯可曼女生問題、歐拉36名軍官問題等等。這些問題推動人們去
思考，它們的解答也常常是機智和精巧的。在這個過程中，人們得到了組合數學中一般的存在性
定理和計數原理，如抽屜原理、母函數方法、遞歸關係解法、容斥原理等。

　　事實上，數學學科中一些最偉大的成就，象射影幾何、數論、拓撲學、對策論等無不受到游
戲精神的影響。總之，由遊戲的精神激發出來的數學對象是無止境的。當人們以自願而嬉笑的心
境，而不是以正式的科學常有的嚴肅認真的背景來看待一門學科時，這種精神就能使科學有效地
取得進展。這是因為在解決和創造智力題或遊戲的過程中，人們可以不受傳統理論概念或方法論
的束縛，完全自由地顯示他的想象力和發揮他的創造力。正因為如此，遊戲成為嚴肅數學的出發
點，有時成為某些學科產生和發展的催化劑。

　　2．遊戲對於數學的另一作用是促進了數學知識的傳播。遊戲之所以具有難以抗拒的魅力的一個很重要的原因是遊戲所涉及的問題和內容有趣迷人、淺顯易懂。另外又不需要過多的預備知識，只要掌握一般的基本知識，初學者即可登堂入室，理解某一門學科的許多的重要內容。正象讀過幾部偵探小說的人會情不自禁地覺得自己已有了足夠的本領，可以幫助警方破案一樣。因此數學遊戲常被用來作為嚴肅數學的一種表現方式，使之更易理解和更具趣味。遊戲在數學普及和傳播中的有效性一直伴隨數學的成長和發展過程中。在人們津津樂道、相互傳誦遊戲的過程中，也將有關的數學知識和數學思想傳送給四面八方的人。下面是歷史上這一傾向的幾個典型例子

　　成書於公元前1700年的古埃及的阿默士紙草書（也稱Rhind紙草書）是為當時的貴族和祭祀
階層所作的數學普及性的一個問題集（有人說是教科書），其中有些問題是以有趣的歌謠或故事的形式編寫而成。因此流傳很廣，如第79 題關於幾何級數的加法問題又演變成“我去聖地愛弗斯”等歌謠流傳於歐洲幾個國家。

　　歐幾里得也在已經失傳的一本名為《糾錯集》（Pseudaria）的書中使用了一組有趣的謬論，作為激勵他的學生進入正確思維過程的手段。阿基米德在他的《數沙粒者》一書開始就說：“過去有個叫吉倫（Gelon）的國王，他認為沙粒的數量是無限的……”，這種以遊戲的方式來處理數學的情境的目的就是使他的思想更為人們所理解和接受。

　　中世紀意大利數學家斐波那契（J. Fibonacci）的《算盤書》是一本廣泛流傳於歐洲各國的著作，這本書流傳的原因除了它的內容實用之外，還因為把數學內容寓於生動有趣的遊戲之中，如“兔子繁殖問題”、“蓄水池問題”、“野兔和獵狗”、“七個老婦”等幾乎成為家喻戶曉、人人皆知的數學遊戲。此書喚起了歐洲人對於數學的興趣和重視，為以後歐洲數學的復興奠定了基礎。

　　在世界各地都曾經流傳一些著名的數學遊戲，如古代中國的韓信點兵、百雞問題、七巧板、
大衍求一術（該問題被多種數學著作改頭換面地採用）。古印度的蓮花問題、蜜蜂問題……

　　從19世紀末期開始，由於人們意識到遊戲在數學知識的普及與傳播中的獨特的作用，關於數
學遊戲的收集、編造以及解答等方面的研究受到空前地重視，在眾多的研究者中，影響最大的是
美國科普作家馬丁．加德納(M. Gardner)的工作，他曾在美國的著名科普雜誌《科學美國人》
（Scientific Americian）上主持“數學遊戲”專欄。他工作的特點是把許多數學思想或知識寓於各種奇妙有趣的故事和問題之中。這些題目初看似乎很難，有時冥思苦索，百思不得其解，但如果放開思路，打破框框，從各種角度去考慮，也許很快就會有所突破，具有“啊呵！靈機一動”的特點。這些妙趣橫生的作品使數以百萬計的人陶醉於數學樂園之中。以後這些趣題被匯集成冊以各種文字出版多次，其影響廣泛而又持久。最近，英國數學家康韋（J．Ｈ．Conway）等人在所作的《數學遊戲獲勝的方法》一書中說：“馬丁．加德納比任何人將更多的數學帶給了千百萬人。”這句話在肯定了馬丁．加德納的貢獻的同時，也道破了遊戲對於數學傳播的有效性。

　　3．遊戲也常常成為數學人才發現的有效途徑，從而成為他們進入數學研究的踏腳石。歷史上許多數學家是由於解決了某個遊戲難題而發現自己具有數學潛能，從此放棄其他選擇而獻身數學。

高斯在數學史上是與阿基米德、牛頓等人並列的數學家，有“數學王子”之稱， 他填補了古典數學家遺留的許多空白，而又為現代數學開闢了許多意義深遠的新道路。高斯成為數學告別過去走向現代的一個象徵。這樣一位大數學家以數學為職業卻是由於在他19歲那年解決了一個長期困擾數學界的、帶有遊戲色彩的幾何作圖難題——用尺規作出了一個正十七邊形，這一成功使他對自己的數學才能有更加明確的認識，於是，他毅然放棄自己所喜愛的語言學而投身於數學。

　　著名的法國概率學家西米爾．泊松(S. D. Poisson )年青時曾經為找到一個適合自己的職業而大傷腦筋，他的父親要他學醫或法律，但他缺少這方面的欲望。正在苦苦尋覓之時，一道趣題使他意識到自己的習性和興趣傾向於數學方面。以此為開端，他開始了數學研究生涯。一道遊戲趣題而成為他一生的轉折點[7]。

　　一般來說，許多具有數學潛能的人往往從小表現出對遊戲的迷戀和酷愛，以及在解決方法上
的靈活和機智。所以遊戲往往成為檢測一個人的數學和推理能力的一個標準。如果說上述例子還
不足以說明這一點的話，還可以舉出許多涉足過遊戲的數學家名字：對賭博痴迷終生的意大利數
學家卡爾達諾；由魔術師成為20世紀有影響力的美國數理統計學家戴康尼斯（Persi Diaconis）；從小就以玩遊戲出名的英國數學家康韋（J .H. Conway）、此外還有萊布尼茨、伯努利、哈密爾頓、馮-諾伊曼、遊戲成為自我檢測數學才能的試金石。現在各種數學競賽中包含許多數學遊戲，這種做法實際上也是基於“遊戲可用於選拔數學人才”的理念。

　　　　　　　　　　　　　　三．遊戲在數學教育中的作用

　　古往今來的數學教育的理論和實踐都已證明遊戲對於數學教育具有極大的價值。對此，馬丁．加德納曾經作了相當正確的評價“喚醒學生的最好的辦法是向他們提供有吸引力的數學遊戲、智力題、魔術、笑話、悖論、打油詩或那些呆板的教師認為無意義而避開的其他東西。”具體說來，遊戲在數學教育中的有效性主要表現在以下三個方面：

　　首先，遊戲是數學內容獲得的有效方法之一。因為遊戲為不同年齡層次的人提供了這樣的機
會——通過具體的經驗去為今後所必須學習的內容作準備。例如摺紙的遊戲，摺紙的對象是一個
正方形的紙張，留在正方形的紙張上的摺痕揭示出大量幾何的對象和性質：相似、軸對稱、心對
稱、全等、相似形、比例、以及類似於幾何分形結構的迭代。摺紙的過程也極具啟發性：開始用
一個正方形（二維物體）的紙張來折一個立體（三維物體）．如果折出了新的東西,那麼摺紙的人就把這個立體攤開並研究留在正方形紙上的摺痕。這個過程包含了維數的變動。一個二維物體到三維物體，又回到二維，這就跟投影幾何的領域發生了關係[3]。

　　其次，遊戲與數學結構的相似性保證了遊戲有利於數學思維的培養，從而使學生更深刻地理
解數學的精神。例如，計算機遊戲可以發展幾何的空間感覺和意識；某些棋類或字母遊戲提供了
公理系統的體驗，從而使遊戲成為學生從具體過度到抽象數學證明的橋梁。通過遊戲也會使學生
體會到數學的另一種精神：數學不是一門一成不變的課程，數學知識也不是絕對的真理，“數學是人類心靈的自由創造。”或者說數學思想是人的想象力的虛構物和創造物。數學世界獨立於我們的現實世界，儘管它和現實世界以不可思議的對應聯繫起來，並成為人類認識自然界和認識人類社會自身的有效工具。這正是數學的奇妙所在。

　　最後，遊戲可以培養正確的數學態度。這一點主要體現在兩個方面。一方面，遊戲是培養好
奇心的有效方法之一，這是由遊戲的性質決定的——趣味性強、令人興奮、具有挑戰性等。好奇
心又為探索數學現象的奧秘提供了強大的動力。如果學生沒有對於這門學科的強烈興趣和探索未
知問題的好奇心，那麼數學學習將是一項艱苦而緩慢的工作。許多數學家開始對某一問題作研究
時，總帶着與小孩子玩新玩具一樣的興致，先是帶有好奇的驚訝，在神秘被揭開後又有發現的喜
悅。

　　另一方面，遊戲還可以培養培養學生養成樂意吸取不同的思路、勇於創造的研究態度。許多
研究人員都為遊戲和不同思路之間的關係之密切提供了大量的事例 [3] 。例如，一個小女孩玩積木時，可能會嘗試着用不同的組合方法來觀察把一塊積木放在另一塊上面時，擺多少塊可以不到下來。她邊玩邊對自己的設想進行判斷，充分發揮了她的主動性和創造性。並且，她還可以用從遊戲中所獲得的思路和方法去解決其他的問題。在遊戲時所用的不同思路就是在為某種任務或問題尋找解決方案，因此，可以說遊戲是研究的最高形式。愛因斯坦在1954年說過的一句話就指出了這一點[3]：“要獲得最終的或邏輯的概念的願望，也就是玩一場結果不明的遊戲的感情基礎。……這種組合遊戲看來就是創造性思維的重要表現形式。”

　　對於數學教育來說，遊戲的方法並不能代替一切，但如果在正規嚴肅的教學方法之外多為學
生提供機會參加一些遊戲，或至少提供一本好的數學遊戲選集，即在教學中摻入遊戲的精神，那
麼數學教育將會起到事半功倍的效果。遊戲可以使任何水平的學生都從自己的最佳觀測點面對每
一個題材。學生除了學到數學的內容，體驗數學的思維方式，還可以培養正確的學習態度：不同
的思路、創造、動力、興趣、熱情、喜悅……。總之，遊戲對數學的教育價值和重要意義是不容
忽視的。

　　　　　　　　　　　　　　　　　四．結語

　　綜上所述我們看到，遊戲對於數學的發展產生了重要影響，並在數學教育中起着重要的作用。所以，從理論上探討數學與遊戲的關係對數學的進一步發展乃至當今數學教育研究都具有深刻的啟迪作用和借鑑價值。當然應當指出，遊戲本身並不是數學的終點，它不能完全取代對所有數學活動的分析，數學是一種多邊的人類活動，數學中的遊戲娛樂、美學欣賞、哲學思考、實用價值探索等因素是如此緊密地交織在一起，只要拆散和剔除任何一個可能不合我們個人愛好的方面，都將給數學帶不可估量的損失。只有認真研究和總結數學發展中的各種因素，才能客觀地、全面地認識和評價數學，從而促進數學事業的研究和發展。

　　本文中所論述的是數學與遊戲的關係中的一個方面，即數學中的遊戲因素及其對數學發展的
影響。還有許多方面有待於去探索和總結，例如數學對於遊戲的影響、計算機進入遊戲王國及其
對於數學的影響，怎樣把遊戲的方法引入數學教育中，……等等，都是有待於進一步探討的問題。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　參考文獻及注釋

[1] Miguel de Guzman“數學與遊戲”，《數學教育評價研究》，上海教育出版社，1996
[2] 張之滄，“科學與遊戲—維特根斯坦‘語言遊戲說’的啟發”，自然辯證法研究，1998.15（8）
[3] Don Gernes, “The Rules of the Game”, The Matherematics Teachers, Vol. 92. 5
[4] Rudiger Thiele, “Mathematical Games”，Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, Vol.2,1555—1567
[5] David Singmaster, “Recreational Mathematics”, Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, Vol.2,1568—1575
[6] [法]讓．迪厄多內著，沈永歡譯，《當代數學，為了人類心智的榮耀》，上海教育出版社，1999
[7] T. Pappas著, 陳以鴻譯，《數學的奇妙》，上海科技教育出版社， 1999
[8] T. Pappas著, 張遠南等譯，《數學趣聞集錦》，上海教育出版社，1998
[9] 馬丁．加德納著，林自新譯，《引人入勝的數學趣題》，上海科技教育出版社，1999
[10] 郭凱聲編著，《數學遊戲》，科學技術文獻出版社，1999
[11] Donald J. Albers and G. L. Alexanderson,“ Mathematical People”, Boston Basel Stuttgart, 1985
[12] [美]M.L.漢寧格，“寓數學和科學教育於遊戲之中”，外國教育，1988. 2