概率論的起源——機會性遊戲 by 王幼軍

　　概率論不僅是當代科學的重要數學基礎之一，而且還是當代社會和人類日常生活最必需的知識之一。正如十九世紀法國著名數學家拉普拉斯所說：“對於生活中的大部分，最重要的問題實際上只是概率問題。你可以說幾乎我們所掌握的所有知識都是不確定的，只有一小部分我們能確定地了解。甚至數學科學本身，歸納法、類推法和發現真理的首要手段都是建立在概率論的基礎之上的。因此，整個的人類知識系統是與這一理論相聯繫的……。”

　　的確，我們只要瀏覽一下當今的報紙，看一看電視，就會發現在某種程度上概率統計的語言已經成為人類生活中重要的一部分。然而，饒有趣味的是，這門被拉普拉斯稱為“人類知識的最重要的一部分”的數學卻直接地起源於一種相當獨特的人類行為的探索：人們對於機會性遊戲的研究思考。

1. 機會性遊戲

　　所謂機會性遊戲就是靠運氣取勝一些遊戲，如賭博等。這種遊戲不是哪一個民族的單獨發明，它幾乎出現在世界各地的許多地方，如埃及、印度、中國等。著名的希臘歷史學家希羅多德（Herodotus）在他的巨著《歷史》中寫道：早在公元前1500年，埃及人為了忘卻飢餓的困擾，經常聚集在一起擲骰子和紫雲英，這是一種叫做“獵犬與胡狼”的遊戲，照一定規則，根據擲出各種不同的紫雲英而移動籌碼。大約從公元前1200年起，人們把純天然的骨骼（如腳上的距骨）改進成了立方體的骰子，方法是摩擦骨骼使其成為一個粗糙的立方體，骰子的六面就形成了，再在骰子面上刻上不同的數字。它是遊戲中常用的隨機發生器，可能因為當時沒有表示數字的符號或簡單標記，早期骰子各面的數字都被刻成淺淺的印跡。現在相對面的數字之和是7的骰子大約產生於公元前1400年的埃及。到了中世紀，基督教堂曾發起多次活動以反對玩骰子和紙牌，對這種遊戲的抵制不僅僅因為是賭博活動，更是因為與賭博相伴隨的酗酒和其它惡行的出現。但是，賭博仍然屢禁不止，甚至在1190年的第三次十字軍戰爭中，不得不做出這樣一個規定：任何一個騎士身份以下的人不允許賭錢，而騎士和牧師則可以玩，但在24小時之內不得輸過20先令。總之，在自古至今各國文獻的記載中，有關賭博等機會性遊戲的記載的文獻是非常豐富的，賭博手冊的存在、各種隨機發生器的發明，各個時代和國家經常展開的反對賭博的鬥爭活動等都是早年機會性遊戲流傳的明證。

　　在玩骰子遊戲的幾千年的時間裡，概率理論的某些思想可能早應該出現了。但是一直沒有跡象表明人們觀察到賭博與數學之間的直接關係，甚至沒有發現有人意識到骰子點數下落的頻率的計算是可能的、有效的，或每一面會以相同的頻率出現等這些最簡單的概率思想的萌芽。對於概率的思想出現得如此緩慢的現象，人們提出了許多解釋的原因。這些解釋包括：可能是由於缺少完美平衡和“誠實”的骰子，因而阻礙了人們發現任何可察覺的規律；或者由於缺少適當的數學概念和符號而阻礙了數學的探索；缺乏刺激概率思想研究的經濟問題；還有一個更有力的原因可能是“隨機”概念本身與時空觀念相對：長期以來，人們一直認為：一系列的好運和壞運都是神授的。人們相信上帝或眾神以某種預先確定的計劃指導着世俗的事件，所以隨機不但是不可能的，甚至是不可想象的。古希臘人似乎已得到這樣的結論：精確和規律只存在於神的王國，而混沌和無規律則是人類世界的特徵。但是他們不願使理想化的自然規律屈從於一個不完美的物理世界的事實，因而未能發展概率的思想。還有一個解釋涉及到道德的規範，賭博長期以來被視為一種不道德的行為，歷史上充滿了限制、制止賭博的各種嘗試。既然賭博被視為不道德的，那麼將機會性遊戲作為科學研究的對象也就是大逆不道了。然而這些原因沒有一個得到廣泛的認可，人們對每一個猜測都提出了反駁的理由。

2． 概率的萌芽

　　直到文藝復興時期，隨着阿拉伯數字和計算技術的廣泛傳播，簡單代數和組合數學的發展，並且哲學的思想開始轉變、拓展時，隨機事件的試驗和計算在本質上才有所進展，概率的思想才開始逐漸浮出水面。現在有史可查的對於賭博問題最早加以研究的是從意大利開始的。最初人們研究的重點是賭博輸贏的各種可能性或次數。在早期的一些文獻中，經常提到對觀察的結果如何加以歸類計算這類問題，這是一個非常實用的問題，也是賭徒們最迫切關切的問題。比如。1477年意大利但丁的《神曲》的注釋本刊印，在該書的“編印緣起”中講到了投擲三顆骰子可能出現的各種結果，等等。15世紀後期和16世紀早期，當一些意大利數學家開始思考在包括賭博遊戲中各種存在結果的數學的比率時，開始有了對概率第一次純數學的處理。

　　卡爾達諾（Girolamo Cardano，1501—1576）是意大利數學和醫學教授，他天資聰明，常常不循規蹈矩，有着有趣而豐富的經歷。他的最著名的著作是1524年出版的《偉大的藝術》（Ars Magna），其中包括了那時所有發展起來的代數規則，包括求三次和四次方程的根的解法。在他一生中超過40年的時間裡，卡爾達諾幾乎每天都參與賭博。早年時，他就認定，如果一個人賭博不是為了錢，那麼就沒有什麼能夠彌補在賭博中耗去的時間，這些時間本來是可以花在更值得做的事上的，比如學習。作為對在不合適的活動中浪費時間的補償，他認真地分析了這種活動中的有價值的方面——智力因素，例如，從一副牌中抽出A的概率是多少？同時擲兩個骰子，出現點數的和為七的概率是多少？等等。最終，在一本名叫《機會性遊戲手冊》（Liber de Ludo Aleae）的書中，他公布了這些調查和思考的結果和他關於賭博實踐的體會。這本書成書於1526年左右，但直到一百多年後的1663年才出版。在書中他提醒他的賭徒朋友：在分牌時，得到某一張牌的機會是隨着前一張牌的選走而增大的。在題為“擲一個骰子”的章節里，他寫到：“我能擲出2、4、6，同時也能擲出1、3、5。因此，如果骰子是‘誠實’的，那麼下賭注就應依據這種等可能性；如果骰子不是“誠實的”，那麼它就以一定的或大一點或小一點的比例離開這種等可能性。”這裡面已包含了“把概率定義為等可能性事件的比”的思想萌芽，即一個特殊結果的概率是所有達到這個結果的可能的方法的數目被一個事件的所有可能結果的總和所除。此時是第一次，人們看到關於骰子的問題由經驗向理論的概率思想的轉變。從這一角度來講，有人認為卡爾達諾可以被稱為是“概率論之父”，概率論這一個數學分支應當以此作為起點。但是這種觀點並未得到廣泛認可。

　　除了卡爾達諾，偉大的天文學家伽利略也早已開始對擲骰子的問題進行數學化的思考，在一篇寫於1613和1623年之間、標題為《關於骰子遊戲的思想》（Sopra le Scoperte de I Dadi）的短文中，伽利略解釋了在拋擲三枚骰子時為什麼會有216種同等可能的結果的問題。他在其短文開頭就說，有人曾經要求他解釋為什麼三枚骰子的某些和數的出現看來似乎有同樣大小的可能性，而玩骰子的人們卻認為它們不是同等可能的，如和數為10比和數為9更占有優勢。伽利略的所用方法的思路是：所有可能的結果有6×6×6=216，三個骰子諸面點數構成和為9的各種組合是：1，2，6；1，3，5；1，4，4；2，2，5；2，3，4；3，3，3。而和為10的組合為1，3，6；1，4，5；2，2，6；2，3，5；2，4，4；3，3，4。但是各種組合出現的幾率並非相等，例如，3，3，3的組合只有一種途徑擲出，而3，3，4則有三種不同的途徑擲出。實際上，9可以有25種不同的途徑擲出而10則有27種不同的途徑擲出，這就是10比9較常出現的原因。用現在的知識知道，出現和數為9的可能性為25/216，出現和數為10的可能性是27/216。為什麼一個賭徒能夠區分出這麼小的差別？人們認為一個合理的解釋是：這種知識來自幾百年的積累和代代相傳下來的經驗。

3． 概率的產生

　　儘管有卡爾達諾和伽利略等先驅者的一些非常重要的工作，而概率論歷史學家大多贊同這樣一個觀點：對於數學中一個非常特別的問題的解法的探求成為數學化的概率科學產生的標誌之一，這個問題被稱作“點問題”。所謂“點問題”是指當遊戲在完成前被終止時，怎樣處理兩名技能相當的遊戲者的賭金分配問題，其依據是遊戲者的得分數或是遊戲終止時的點數。意大利的帕巧利（Luca Pacioli，1445—1509）早在1494年出版的《算術書》（Summa de Arithmetica）一書中，就提到了賭博中常常遇到的“點問題”，他是最早在數學著作中提到點問題的作者。緊接着，卡爾達諾和他的對手塔爾塔利亞 (Nicola Fontana Tartaglia 1499—1557)都討論過這個問題。然而，所有這些人，對這一問題得出的結論都不正確。直到一百多年後，在1654年，一個名為德.梅勒（de Mere，1607——1684）的法國人把這個問題寄給了當時的數學天才帕斯卡，從此概率論歷史上一個決定性的階段才開始了。

　　帕斯卡（Blaise Pascal，1623——1662）在早年就表現出了超常的數學能力，在數學史中他被稱作“最偉大的天才”（Greatest Might-Have-Been），他曾經對微積分、射影幾何、概率論等數學分支做出了巨大的貢獻。他擁有如此高的數學天賦和非常敏銳的直覺能力，他理應創造更多的發現。不幸的是，在他生命的大部分時間裡，他倍受敏感性神經痛和精神幻覺症的折磨。他於1662年去世時年僅39歲。

　　與帕斯卡共同分享概率論的創始人的聲譽的法國另一位數學家費馬（Pierre de Fermat，1601—1665）的一生則充滿了喜悅與和平。他的職業是一名律師，他把他大部分的空餘時間都獻給了數學研究。雖然他沒受過什麼特別的數學訓練，但是在數學這一領域中，卻取得了同時代其他數學家不可比擬的重大的發現。他和笛卡爾（Descartes，1596——1650）各自獨立地發明了解析幾何學，為微積分奠定了技術基礎。在十七世紀的數論領域裡他的成果最為豐富，以後數論成為一個正式的抽象數學領域與他的工作密不可分。作為一個謙遜樸實的人，他很少發表文章，但是他與當時很多一流數學家不斷通信，並在他的同時代人中有相當的影響力。費馬的眾多重要的貢獻豐富了數學的很多領域，所以被稱為“業餘數學家之王”。

　　德.梅勒是一位軍人、語言學家、古典學者，同時也是一個有能力、有經驗的賭徒，他經常玩骰子和紙牌。雖然他不是一個全職的數學家，但他經常從數學的角度提出和思考賭博中出現的一些有深度的問題，“點問題” 就是其中之一。這一次，德.梅勒的問題的形式是：假設兩個賭博者（德.梅勒和他的一個朋友）每人出30個金幣，兩人各自選取一個點數，誰選擇的點數首先被擲出3次，誰就贏得全部的賭注。在遊戲進行了一會兒後，德.梅勒選擇的點數“5”出現了2次，而他的朋友選擇的點數“3”只出現了一次。這時候，德.梅勒由於一個緊急事情必須離開，遊戲不得不停止。他們該如何分配賭桌上的60個金幣的賭注呢？德.梅勒的朋友認為，既然擲出他選擇的點數的機會是德.梅勒的一半，那麼他該拿到德.梅勒所得的一半，即他拿20個金幣，德.梅勒拿40個金幣。然而德.梅勒爭執到：再擲一次骰子，對他來說最糟糕的事是他將失去他的優勢，遊戲是平局，每人都得到相等的30個金幣；但如果擲出的是“5”，他就贏了，並可拿走全部的60個金幣。在下一次擲骰子之前，他實際上已經擁有了30個金幣，他還有50%的機會贏得另外30個金幣，所以，他應分得45個金幣。

　　他們對這一問題的看法和計算方法不一致，為此而爭論不休。後來德.梅勒把這個問題告訴了帕斯卡，帕斯卡對此也很感興趣，又寫信告訴了費馬。於是在這兩位偉大的法國數學家之間開始了具有劃時代意義的通信。在通信中，兩人用不同的方法正確地解決了這個問題。在1654年7月29日，帕斯卡寫給費馬的信中，他提到了這個問題和可能的解決方法，“你的解法非常正確，是給我印象最深的一個，但這些組合太過麻煩。我發現了另一種更為簡潔的實在可行的解法。”在1654年10月21日他寫給費馬的信中提到，當他們互不贊同的時候，能這樣通信，保持一致是鼓舞人心的。他說：“先生，您的最後一封信讓我非常滿意，您有關‘點問題’的解法我很欽佩。更是因為我非常理解它完全是屬於你的，它與我的解法完全不同，然而卻輕易的得到了同樣的結果，現在我們又開始和睦了。”在1654年7月和10月的通信中，他們還聯繫“點問題”思考了其他的問題，比如當兩人的技藝不等時，或超過2人參加遊戲的賭金的分配問題。尤其是帕斯卡的研究更有效地推動了數學概率理論的發展，他的組合方法具有一般性。他的工作中還蘊涵了概率論中另一重要的思想——數學期望的思想。在十七世紀瀰漫着濃重的宗教神學氣質的精神環境中，身為神學家的帕斯卡也結合了宗教和數學兩種思想於概率的思考中。帕斯卡在他的著作《思想錄》中曾經提出一個以“帕斯卡賭注”聞名的問題：“我們既不知道上帝的存在，也不知道上帝的本質。然而我們將傾向於哪一邊呢？……，這裡進行的是一場賭博，…… 讓我們來權衡一下在上帝存在的賭注中的得失。讓我們估計這兩種可能性，如果你贏了，你贏得所有；如果你輸了，你卻一無所失。因此，你就不必遲疑去賭上帝的存在吧。”這個論述中已包含了比較明確的數學期望的思想，這種思想成為以後惠更斯（Christian Huggens）和維特（De. Witt）的概率論工作中的一個基本思想，並在以後相當長的時間裡在古典概率論的研究中起着重要的作用。

　　帕斯卡和費馬正確解決了“點問題”的這一事件被伊夫斯（Howard Eves）稱為“數學史上的一個里程碑”。在概率論的歷史上，一般的傳統觀點則把這一事件看作為數學概率論的起始標誌。之所以不把卡爾達諾的著作作為概率論的起源的始點，有這樣幾個原因：在卡爾達諾的著作中只有一小部分內容是處理機會（chance）的計算的。就像卡爾達諾的大多數作品一樣，這種處理似乎只是零碎的和模糊的，混雜於卡爾達諾的個人的一些奇聞軼事、哲學思考、大量流行的賭博者常用的欺騙策略和精明的心理應用等建議之中，並且他的這本著作中所闡述的數學思想對數學家和一般的賭徒幾乎都沒有什麼影響。因為對於當時的數學家而言，概率太遊戲化了，而對賭徒而言，概率又太數學化了。而帕斯卡和費馬的通信除了正確解決了一些問題和概念之外，還創造了一種研究的傳統——用數學方法（主要是組合數學的方法）研究和思考機會性遊戲。這種傳統統治這個領域達半個多世紀的時間。所以，綜合考慮所有這些因素，這個事件贏得它在數學概率論的歷史中的標誌性的地位是當之無愧的。

參考文獻：

[1] Deborah J. Bennett, Randomness, Harvard University Press, 1998
[2] Ian. Hacking, 1975, The Emergence of Probability, Cambridge: Cambridge University Press
[3] Osytein Ore, “Pascal and the Invention of Probability Theory”，American Mathematical Monthly, vol.47: 409_19
[4] L. Daston, Classical Probability in the Enlightenment, Princeton[M]. Princeton University Press，1988
[5] 帕斯卡爾，思想錄（Pensées），商務印書館，1997年
[6] Howard Eves著, 歐陽絳等譯，數學史上的里程碑, 北京科學技術出版社，1990. pp.228—236
[7] 汪曉勤，韓祥臨，中學數學中的數學史，科學出版社，2002年

Appendix: 拉普拉斯概率理論的歷史研究 by 王幼軍

二十世紀以來，概率論逐漸滲入到自然科學、社會科學、以及人們的日常生活等幾乎無所不在的領域中去。無論在研究領域，還是教育領域，它愈來愈成為一門當今最重要的學科之一。於是，對於概率論歷史的研究也日益引起科學史學家們的重視。在概率論發展歷史上，十八、十九世紀之交法國最偉大的科學家之一拉普拉斯具有特殊的地位，因此他的概率論的工作為眾多概率論歷史學家所關注。本文在前人工作的基礎上，通過對國內外大量概率論歷史的研究資料進行分析，結合對拉普拉斯的原始文獻的研究，對拉普拉斯的概率理論展開系統研究，並以此為背景探討我國概率論方面的最早的譯著——《決疑數學》的一些歷史問題。

第一章 拉普拉斯之前的概率論的歷史回顧

主要對拉普拉斯以前的概率論的發展狀況做一簡單的回顧，力爭梳理出早期概率論發展的一個清晰的線索，以及探討影響概率論發展的幾種重要的因素，特別側重於那些對拉普拉斯本人的工作有着重大影響的人和事件。本章的主要內容如下：

概率論起源於17世紀中葉人們對機會性遊戲的數學規律的探討。這個學科的發展與數學史上一些偉大的名字相聯繫，如帕斯卡、費爾馬、惠更斯、詹姆斯．伯努利、棣莫弗等。他們對這個專題的研究做出了重要的貢獻。在十八世紀以前，概率的對象主要限於賭博和一些離散的有限數目集合的研究，所用的數學方法主要是組合數學的方法。十八世紀，伯努利和棣莫弗的著作大大引起了人們對概率論在其它領域的應用的興趣，例如，用於在觀察判斷中錯誤的估計，預測人口組成的改變等，由此吸引了許多純粹數學家的目光，他們紛紛將更多的數學方法，如分析的方法和幾何的方法，引進概率論；另一方面，由於統計學的發展和十八世紀社會和知識氛圍的改變，人們對於概率論應用於政治和社會領域中的規律性研究的興趣日趨濃烈，尤其是在孔多塞等人的倡導下，概率論應用於社會科學的熱潮方興未艾。在這樣的一種知識氛圍中，拉普拉斯登上了概率論研究的舞台。

第二章 拉普拉斯的概率理論的歷史研究

包括兩個部分：第一部分對拉普拉斯的《分析概率論》出版之前發表的一些有關概率的論文進行考察。在這個考察中，不僅僅局限於拉普拉斯概率論的技術方面，而從以下幾個方面揭示了貫穿於拉普拉斯概率理論發展中的其它因素：首先，拉普拉斯從事概率研究的原動力是受他的決定論的思想所驅使的：概率論是揭示自然科學規律、重建道德科學、證明自然界的先驗設計等方面的有效工具。其次，拉普拉斯的概率研究得益於他對概率論歷史的深刻理解。他的成果大多受惠於J伯努利、棣莫弗、拉格朗日、達朗貝爾和孔多塞等概率論先驅者的工作：他所研究的每一個概率的問題的解法都可以追溯到他的同時代人或更早的祖先那裡去，都有一個名副其實的家譜圖，儘管拉普拉斯很少提到這些問題的研究淵源。第三，拉普拉斯的概率論內容具有他那個時代的典型的特徵：哲學上的決定論思想與數學工作相混合、十八世紀的分析特性與深奧微妙的科學認識論相結合、個人出人頭地的雄心與精湛細緻的數學技巧的展示相結合，尤其是十八世紀數學注重應用、輕視邏輯的特點在拉普拉斯的概率論中體現得尤為明顯。最後，拉普拉斯的概率論研究中穿插了許多的政治因素，這是法國革命時期的大多數知識分子的主要特點：將政治管理和社會科學也像自然科學一樣建立在公正嚴密的數學基礎之上。概率論是接近這個目標的一個主要手段。

第二章的另一部分研究了拉普拉斯的代表作——《分析概率論》。這是本論文的重點之一。1812年首次出版的《分析概率論》標誌着概率論歷史上的一個重要階段——古典概率論的成熟。在此書中拉普拉斯綜合整理了當時幾乎所有已知的概率和統計的問題,匯集了他自己以前概率理論研究的所有成果。在本部分中還依據拉普拉斯的《分析概率論》（第三版）的序言——《概率的哲學探討》分析了拉普拉斯的概率哲學觀點；對卷II的各章的主題內容及其歷史發展進行考察研究；由此總結出拉普拉斯的概率理論的主要特點。

第三章 拉普拉斯的概率理論在十九世紀的發展

詳細考察了拉普拉斯概率論在十九世紀的發展。拉普拉斯概率理論在十九世紀的概率論發展史上占據了一個中心和統治地位，對十九世紀的概率論的發展產生了極大的影響。在拉普拉斯以後的整整一個多世紀的時間內，概率論甚至統計學的研究都是在拉普拉斯的《分析概率論》的框架內展開的。本章從三個方面考察了拉普拉斯的概率論在十九世紀的發展：拉普拉斯概率論風格的教科書的形成與流行；凱特勒關於拉普拉斯概率論的應用；泊松對拉普拉斯概率理論的繼承與發展。

第四章 拉普拉斯概率論在十九世紀的衰落

通過對“拉普拉斯概率論的批評和攻擊”、“比安內梅對拉普拉斯概率理論的辯護”以及“公理化概率論的產生”等幾個方面的考察，勾畫出十九世紀拉普拉斯概率論衰落的一個清晰的歷史線索；並從數學史的大背景出發探討了拉普拉斯概率理論衰落的主要原因：從十九世紀初期開始，數學界正在經歷着一場深刻的變革，人們對以往的研究的各個分支的數學理論和研究方法展開了全面的檢討，以重建一種“新的數學”。拉普拉斯的概率論深深地紮根在十八世紀的數學傳統中。他對概率論這門學科的理解，以及他對概率論研究的實踐和方法等都帶有濃重的十八世紀數學的風格特徵。他所理解的概率論就是一門自然科學，是一門應用學科，檢驗它的價值的重要標準是它在實踐中的有效應用，而不是其自身的嚴格和邏輯上的相容。所以對拉普拉斯概率論的檢查和批判成為十九世紀拉普拉斯概率論歷史的一個重要部分，最終導致其在二十世紀初被建立在測度論基礎上的公理化體系的現代概率論所代替。

第五章 拉普拉斯概率論在中國的傳播——《決疑數學》探析

以前述幾章對拉普拉斯概率理論發展歷史的研究為基礎，在以下幾方面對歷史上的第一本拉普拉斯概率風格的中文譯著——《決疑數學》進行了深入地探討。

1． 考察了原來一直有爭議的《決疑數學》的原著的問題。通過詳細的考證，本文發現《決疑數學》的唯一原著是在《大英百科全書》第八版中托馬斯.伽羅威（Thomas Galloway）所作的“概率論”一文，而與原來人們所認為的《錢伯斯百科全書》（新版）中安德森（R. E. Anderson）的文章沒有關係。

2． 《決疑數學》原著的確定和發現對於這部著作的研究具有重要意義。藉助於托馬斯. 伽羅威的原著，本文從拉普拉斯概率論發展的大歷史背景出發，全面地論述了《決疑數學》的風格、觀點、內容安排、甚至序言中所介紹的背景等。並對前人研究中的一些個別的結論做了修正。

3． 從拉普拉斯概率論發展的大的歷史背景出發，重新評價《決疑數學》對中國的概率論發展的影響。藉助於概率論史學家O. B .舍寧在評價俄語的第一本拉普拉斯概率論風格的著作《概率數學理論的基礎》（1846年）對於俄羅斯的概率論發展的影響時所用的標準，重新評價中文的第一部概率論著作——《決疑數學》。鑑於《決疑數學》中所翻譯的大多數概率術語並未保留下來，也沒有開創一個概率論研究的傳統。近代概率論在中國的傳播和發展顯然與《決疑數學》並沒有一個一脈相承的關係。因此本文得出結論：《決疑數學》對概率論這一學科在中國發展的影響是非常有限的。

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概率論小結:

概率論是一門研究隨機現象規律的數學分支。其起源於十七世紀中葉，當時在誤差、人口統計、人壽保險等范籌中，需要整理和研究大量的隨機數據資料，這就孕育出一種專門研究大量隨機現象的規律性的數學，但當時刺激數學家們首先思考概率論的問題，卻是來自賭博者的問題。數學家費馬向一法國數學家帕斯卡提出下列的問題：「現有兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏s局就算贏了，當賭徒A贏a局﹝a < s﹞，而賭徒B贏b局﹝b < s﹞時，賭博中止，那賭本應怎樣分才合理呢？」於是他們從不同的理由出發，在1654年7月29日給出了正確的解法，而在三年後，即1657年，荷蘭的另一數學家惠根斯﹝1629-1695﹞亦用自己的方法解決了這一問題，更寫成了《論賭博中的計算》一書，這就是概率論最早的論着，他們三人提出的解法中，都首先涉及了數學期望﹝mathematical expectation﹞這一概念，並由此奠定了古典概率論的基礎。

使概率論成為數學一個分支的另一奠基人是瑞士數學家雅各-伯努利﹝1654-1705﹞。他的主要貢獻是建立了概率論中的第一個極限定理，我們稱為「伯努利大數定理」，即「在多次重複試驗中，頻率有越趨穩定的趨勢」。這一定理更在他死後，即1713年，發表在他的遺着《猜度術》中。

到了1730年，法國數學家棣莫弗出版其着作《分析雜論》，當中包含了着名的「棣莫弗─拉普拉斯定理」。這就是概率論中第二個基本極限定理的原始初形。而接着拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理論》中，首先明確地對概率作了古典的定義。另外，他又和數個數學家建立了關於「正態分布」及「最小二乘法」的理論。另一在概率論發展史上的代表人物是法國的泊松。他推廣了伯努利形式下的大數定律，研究得出了一種新的分布，就是泊松分布。概率論繼他們之後，其中心研究課題則集中在推廣和改進伯努利大數定律及中心極限定理。

概率論發展到1901年，中心極限定理終於被嚴格的證明了，及後數學家正利用這一定理第一次科學地解釋了為什麽實際中遇到的許多隨機變量近似服從以正態分布。到了20世紀的30年代，人們開始研究隨機過程，而着名的馬爾可夫過程的理論在1931年才被奠定其地位。而蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫在概率論發展史上亦作出了重大貢獻，到了近代，出現了理論概率及應用概率的分支，及將概率論應用到不同范籌，從而開展了不同學科。因此，現代概率論已經成為一個非常龐大的數學分支。