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gugeren:【數學】一個素數的充要條件--雙平方和定理
送交者: gugeren 2017年05月04日08:54:42 於 [教育學術] 發送悄悄話

【數學】一個素數的充要條件--雙平方和定理


100以內的素數如下【25個】:

2,3,5,7,

11,13,17,19,

23,29,31,37,

41,43,47,53,59,

61,67,71,73,79,

83,89,97.


從以上這個素數的小樣本里,可以看出,除了唯一的偶素數2以外,餘下的24個素數若被4除,可以分成2大類:

1】可寫成(4k+1)形式的素數,k為不小於1的整數:5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97【11個】;

2】可寫成(4k+3)形式的素數,k為不小於0的整數:3,7,11,19,23,31,43,47,59,67,71,79,83【13個】。


1640年的聖誕節,著名法國數學家費爾馬(Pierre de Fermat,1607-1665)寫信給另一位法國數學家Marin Mersenne(1588-1648)【有名的梅森素數就是以他的名字命名的】,提出一個問題:什麼數可以表示為2個平方之和?


從費爾馬的這封信,引出了素數的一個充分必要條件:

一個奇素數可表為兩個平方數之和的充分必要條件是此素數可寫為4k+1的形式,k為不小於1的整數。


這種類型的素數,被稱為“畢達哥拉斯素數【Pythagorean primes】”,即在“勾股定理”(西方稱“畢達哥拉斯定理”)中,代表“弦”的那個數。

費爾馬提出的這個問題雖然貌似簡單,但是證明起來並不那麼容易。


直到100多年後的1747年,著名瑞士數學家歐拉(Leonhard Euler,1707-1783)才對此做出了證明。以後的幾位數學家利用較新的不同的數學理論,不斷地對這個定理進行了新的各種證明。


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相關鏈接

Fermat's theorem on sums of two squares

https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares


Proofs of Fermat's theorem on sums of two squares

https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares



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