解讀哥德爾不完全定理－－胡楨

哥德爾先生的不完全定理問世已有七十多年的歷史，鄙人以“解讀”之詞而謂之，這對於一個業餘數學愛好者而言，未免有點過於的狂妄。但是，言過其實的標題確實能吸引不少人的眼球，以此而作為標題，具有一定的實用之價值。鄙人不才，但對於哥德爾先生的不完全定理，卻有着與眾不同的心得；故而，並不會枉了這“解讀”兩字。

所謂的哥德爾不完全定理，簡而言之，是指：【在任何包含初等數論的相容的形式系統中，存在着不可判定命題，即命題的本身和它的否定在該系統中都不可證。】既然言之為解讀，自然並非是意欲否定了該定理，而是在首肯此定理的前提下，予以實例作佐證。但鄙人所舉的實例，卻與當今的實例大相徑庭，是否合乎不完全定理之內涵？須以讀者自己的心智來作出判斷。

有關不可判定的命題，最為著名的首推連續統假設之命題。由於連續統假設關繫到無窮集合的基數問題，是希爾伯特先生的二十三個問題中首選的問題，且哥德爾先生亦曾對其作了較為深入的研究，故而，言之其為最是著名的，並不為過。但據鄙人所知，這連續統假設之命題，卻並非是一個不可判定的命題。

我們知道，所謂的連續統假設是指：繼可數集的基數阿列夫0之後，阿列夫1是否就是實數集R的基數？用符號表之，為：2^N=ω_1。用2^N來表示實數集R，是因為已有人證明了自然數集N的冪集2^N與實數集R同構。對於實數集R的元素，無論如何，我們也不可能作出書寫的；但是，對於自然數集N的冪集2^N的元素，卻是可以書寫的。如此，我們將書寫自然數集N的冪集2^N的元素以作為實數集R的元素而對實數集R作研究。

我們知道，自然數集N的冪集有元素：
{φ} {1} {2} {1,2} {3} {1,3} {2,3} {1,2,3} …

當N→∞時，該冪集具有不可數的性質。如果此冪集是可測的，則必須滿足Jordan可測集合體的四要素：【Ⅰ 若E1,E2∈T，則E1∪E2∈T；Ⅱ 若E1,E2∈T，則E1∩E2∈T；Ⅲ 若E1,E2∈T，又E1＜E2，則E2-E1∈T；Ⅳ 若E1,E2∈T，E1∩E2=φ，則v(E1∪E2)=v(E1)+v(E2)。】(符號“＜”表示“包含於”)。根據Jordan可測集合體的條件Ⅳ，可知，必須用商集合的概念來劃分自然數集N的冪集。所謂的商集合意指對集合X之劃分，有：【⑴ A,B∈T→A=B or A∩B=φ， ⑵ {∪A∈T}A=X。】若劃分滿足這樣的條件，則集合中的【任一元素屬於且僅屬於其中的一個非空子集】如此，則謂之為是按對稱關係而對集合所作的等價劃分；如果集合的劃分滿足這樣的等價關係，稱之為是原集合的商集合。顯然，只要按商集合的概念來劃分自然數集N的冪集，則該集合就滿足Jordan可測集合體之要求。

根據集合論的正則公理，必須有一確定的性質作為劃分的依藎輝謐勻皇�集N的冪集中，我們以元素中的最小自然數作為劃分之依據。如此，我們就可以獲得一系列商集化子集：S(1), S(2), S(3), S(4), S(5), S(6), …，其中，S(n)歸納了冪集中最小自然數為n的一些元素。例如，S(1)有元素：
{1}
{1,2}
{1,3} {1,2,3}
{1,4} {1,2,4} {1,3,4} {1,2,3,4}
{1,5} {1,2,5} {1,3,5} {1,4,5} {1,2,3,5} {1,2,4,5} {1,3,4,5} {1,2,3,4,5}
……

再如，S(2)有元素：
{2}
{2,3}
{2,4} {2,3,4}
{2,5} {2,3,5} {2,4,5} {2,3,4,5}
{2,6} {2,3,6} {2,4,6} {2,5,6} {2,3,4,6} {2,3,5,6} {2,4,5,6} {2,3,4,5,6}
……
…等等；依此類推。如此歸納，顯然，諸子集S(n)相互間並無交集，且合乎商集合劃分的對稱關係之要求。

根據康托爾先生的對角線原則，上述諸商集化子集S(n)均是可數的。

我們知道，某集合若有元素s個，則它的冪集就有元素2^s個；自然數集N的冪集也不例外，可用2^N作為其擁有的元素個數之標識。顯然，若某集合有元素s-1個，則它的冪集之元素有2^(s-1)個。從2^s-2^(s-1)=2^(s-1)中可知，在原集合中由s-1個元素增加至s個元素，於冪集中就增添了2^(s-1)個元素；也就是說，原集合中任何一個元素在冪集的組合元素中所占有比例為：2^(s-1)/2^s=1/2。但這樣的子集彼此間有交集，必須用商集合的概念予以劃分。

對自然數集N的冪集中的諸元素，我們以最小自然數n為依據而對自然數集N的冪集中的元素予以商集合劃分。根據Jordan測度：【對於每一個S∈U(X)，就有一個非負實數v(S) (0≤v(S)≤∞)與之對應，並且滿足以下條件：
1: 若S，T∈U(X)，S∩T=φ，則v(S∪T)=v(S)+v(T)
2: U(X)＜∞，或者X可表示為X={∞∪n=1}S_n，這裡，S_n∈U(X)，v(S_n)＜∞(n=1,2,…)】顯然，在自然數集N的冪集中，商集化子集S(1)是首選的子集，故而，占有1/2之比例；商集化子集S(2)由於少了一個自然數1，因此，它所占有的比例為2^(s-2)/2^s=1/4；商集化子集S(3)由於少了二個自然數1與2，則它所占有的比例為2^(s-3)/2^s=1/8；以此類推，可知，商集化子集S(n)所占有的比例為1/(2^n)。我們知道，商集化子集彼此間並無交集，如此，根據概率論中的疊加原理，將諸商集化子集的概率相加，有：
1/2+1/4+1/8+1/2^4+1/2^5+…+1/(2^n)+…→1

從這出現概率上也可以知曉，自然數集N的冪集是可與實數集R同構的。

根據序數中的定義：【對於一序數α，如果存在一個序數β，使得α=β+1，則α稱為後繼的。對於一個非0的序數，若不是後繼的，就稱它為極限序數。】且有：【0＜α，α為一極限序數，我們說α的共尾數cf(α)是指最小的序數β，使得存在着一函數f:β→α，具有sup{f(γ)|γ＜β}=α。】若【對於一基數ω_α，如果有cf(ω_α)=ω_α，則稱ω_α是正則的；如果cf(ω_α)＜ω_α，則稱ω_α為奇異的。】且有：【對於每一序數α，都存在一序數β＞α，使得ω_β是奇異的。】之定理。

在序數理論中，可數的序數按自然數而序，直至無窮，言曰：【ω是一個序數，而且是一個最小的無窮序數。】顯然，凡不可數集的基數之序數ω_β皆大於ω，其對於可數集的極限序數ω而言，乃是奇異的。

實數集R的基數是不可數的，無疑，實數集R的極限序數ω_β對於可數集的序數ω而言，乃是奇異的。然而，這樣的奇異的序數ω_β是如何地形成的呢？我們知道，自然數集N是可數的，故而，其所有的子集皆是可數的；自然數集N的冪集乃是以自然數集N的子集為元素，卻是不可數的。可以肯定，並非是實數集R中的元素按序皆是可數的，而整體實數集R卻是不可數的；由可數的變成為不可數的，必定是經歷了一個由量變到質變的轉化過程。那麼，這種質變的轉化過程是怎樣地產生的呢？答案必須是由實數集R中的內部原因而決定，並不是任何的外因所能定奪的。

從對自然數集N的冪集之商集化中得知，商集化子集S(1)中的元素占全體元素的1/2，那麼，其餘的諸商集化子集的並∪S(n) n＞1之元素所占的比例也是1/2；如此，商集化子集S(1)中的元素可以與諸商集化子集的併集∪S(n) n＞1中的元素作一一對應。由此可知，對自然數集N的冪集中的元素，我們可以劃分為互不相交的卻是同構的兩個子集合。我們只要對元素中的諸自然數賦予乘法，就能得知，它們彼此都可同構映射於自然數列。例如：
1*2*3=2*3 1*2*5=2*5 1*4*6=4*6 1*4*7*8=4*7*8 …
…等等。顯然，一旦賦予了乘法，商集化子集S(1)中的元素與諸商集化子集的併集∪S(n) n＞1中的元素，除了映射於自然數1之外，其餘的映射都是相同的，因為在它們之間，乘積所差的僅是一個乘積因子1；所以，商集化子集S(1)與諸商集化子集的併集∪S(n) n＞1是雙射同構的。由此可知，自然數集N的冪集2^N的元素是以兩個可數集合的元素，同態映射於自然數列中。

自然數集N的冪集中的元素可劃分為兩個互不相交卻各自都是可數的子集，顯然，這種可數的概念僅在可數集的內部進行；換言之，這兩個可數的子集彼此間卻是不可數的。在數學中，將其中的一個可數的子集稱之為有理數集Q，而將另一個可數的子集稱之為無理數集。於有理數集Q的極限序數ω而言，無理數集中的元素是不可數的，因為，這個可數集中的元素相對於有理數集Q而言，皆是奇異的，為不可數的。同理，於無理數集的極限序數ω而言，有理數集Q中的元素也是不可數的，因為，這個可數集中的元素相對於無理數集而言，皆是奇異的，為不可數的。若是以點集而論之，那麼，有理數集Q與無理數集應該是沒有什麼區別的；相鄰的兩者之元素，相賦相成，構築了點的連續性。只不過，其中的一個點是被人們數了出來，而另一個點人們卻數不出來；如此而已。

然而，實數集R是整體的，對於實數集R的極限序數ω_β而言，所謂的共尾序數cf(ω_α)必定不會是實數集R之外的元素。既然可以將實數集R分解為兩個互不相交的且都是可數的子集，由此可知，所謂的不可數，乃是繼可數的自然序數ω之後，再去數另一個可數集中的序數ω+1、ω+2、…；但這樣的序數相對於可數集而言，是奇異的，具有了不可數的性質；因為，它們是分別屬於兩個不相交的無窮集合。所以，對於實數集R而言，它的基數是不能同構嵌入於其所屬的所有的無窮子集之中。

根據可測集合體的四要素，我們完全可以測量出實數集R的元素是由兩個互不相交的可數集而構成；且有，所謂的連續統假設並不成立。那麼，什麼樣的集合體是不可判定的呢？以鄙人愚見，素數集高階冪集的基數，才屬於不可判定之範疇。

設有素數集：{2,3,5,7,11,…p,…}，這裡的p通過所有的素數。那麼，素數集的冪集有元素：
{Φ} {2} {3} {2,3} {5} {2,5} {3,5} {2,3,5} …
對冪集之元素中的諸素數賦予乘積，有：
{Φ} {2} {3} {2*3} {5} {2*5} {3*5} {2*3*5} …

顯然，這裡所乘出來的自然數，諸素數的指數沒有一個是超過1的。同時可知，素數集的冪集之基數並不超越自然數集N，因為，乘出來的皆是自然數，只能是可數集的基數。
再對素數集的冪集求冪集，稱之為二階冪集，有元素：
{Φ} {2} {3} {2,3} {2,{2,3}} {3,{2,3}} {2,5} {2,{2,5}} …

同樣，對元素中的諸素數賦予乘積，求得諸自然數。顯然，這裡的元素中素數之組合是有重複的，如，{2,{3,5}}與{3,{2,5}}等。但是，如果我們所求的是素數間的乘積，這種有重複的元素所得到的乃是同一個自然數的值。在這裡，素數的指數已經有了2次方。

顯然，欲求素數的更高次方，必須於更高階的冪集中求取，在低階的冪集中是得不到素數的高次方之自然數的。且有，這樣的高階冪集之階是無窮的。

如此，我們就遇到了這樣的一個問題，素數集的高階冪集的基數，是否大於可數集的基數？因為，素數集的高階冪集中的元素，素數的乘積中有着重複的數值，故而，對自然數列的映射是多個元素同態映射於同一個自然數上。但是，素數集的高階冪集的元素中素數的乘積又不能窮竭自然數集N的元素，無論是多麼高階的冪集，也不能滿射於自然數列，總是存在着空缺着的位置。

由此可知，素數集的高階冪集的基數與可數集的基數作比較，乃是不可判定的。

胡楨寫於05-07-25.