丘成桐: 我的數學之路

我在香港的郊區──元朗和沙田──長大。那裡沒有電，也沒有自來水。小時候就在河中洗澡。家中有八兄弟姐妹，食物少得可憐。五歲時參加某著名小學的入學試，結果沒考上。原因是用了錯誤的記號，如把57反寫成75，69反寫成96等。

我只能上一所小小的鄉村學校。那裡有很多來自農村的粗野小孩。受到這些小孩的威嚇，加上老師處理不善，不到一年，我便身患重病。在家中養病的半年，我思索如何跟同學老師相處。升上小六時，我已經是一群小孩的首領，帶着他們在街頭亂闖。

家父是位教授。他教了我不少中國文學。可是，他並不知道我曾曠課好一段日子。﹙或者這是因為我在家中循規蹈矩，他教授的詩詞我也能背誦如流。﹚逃學的原因是老師不怎樣教學，在學校悶得發慌，不久連上街也覺得無聊了。當時香港有統一的升中試。我考得並不好，但幸好分數落在分界線上。

政府允許這些落在分界線上的學生申請私立中學，並提供學費。我進入了培正中學。培正是一所很好的中學。中學生涯的第一年乏善可陳。我的成績不大好，老師常常對我很生氣。大概剛從鄉村出來，“野性”未改吧。我熱衷於養蠶、養小魚，到山上去捉各種小動物。沙田的風景美麗清新，在大自然的懷抱里，倒是自得其趣，到如今還不能忘懷。

當時武俠小說盛行，我很喜歡讀這些小說，沒有錢去買，就向鄰居借。父親不贊成我讀這些小說，認為膚淺，但我還是偷偷去看，也看了各種不同的章回小說如七俠五義、說岳全傳、東周列國志等雜書。

父親從我小學五年級教我詩詞、古文和古典小說如三國演義、水滸傳、紅樓夢、西廂記等。父親堅持我在看這些小說時，要背誦其中的詩詞。當時雖以為苦，但順口吟誦，也慢慢習慣。總覺得沒有看武俠小說來得刺激。

但是真正對我有影響的卻不是武俠小說。中國古典文學深深影響了我做學問的氣質和修養。近代的作品，如魯迅的也有閱讀。記憶深刻的：「路是人行出來的，自己的路更要自己去走。」

我們家中常有父親的學生來訪，往往興高采烈的談學問。他們討論時常常談及希臘哲學，雖然我對希臘哲學不大了解，但卻對它留下深刻的印象。希臘學者對真理和美無條件的追求是我一生做學問的座右銘。他們對康德的哲學、對自然辦證法的討論使我莫名其妙，但是久而久之，竟然引起了我對自然科學的興奮。西方的作品如浮士德、戰爭與和平等文學著作，雖有接觸，但遠不如中國文學對我的印象深厚。

我開始研讀史學名著史記和左傳。對史記尤其着迷。這不僅是由於其文字優美、音調鏗鏘，還是因為它敘事求真，史觀獨特。直到現在，我還不時披閱這書。史學大師駐足高涯，俯視整個歷史，與大科學家的思入風雲，干宇宙之奧秘遙相呼應。

在當時讀這些文章，大多部份不能夠領會，尤其困難的是讀馮友蘭寫的新原道和新原人，但是重複的去讀，總有點收穫。

晉 陶淵明
好讀書，不求甚解，
每有會意，便欣然忘食。

其實在做科學時，也往往有同樣的經驗，讀書只要有興趣，不一定要全懂，慢慢自然領會其中心思想，同時一定要做到：

不戚戚於貧賤，不汲汲於富貴。

這是古人的經驗，陶淵明的古文和詩有他的獨特氣質，深得自然之趣，我們做科學的學者也需要得到自然界的氣息，需要同樣的精神。

在以後的日子裡，我都以此作為原則，以研讀學問為樂事，不以為苦。在父親的循循善導下，我開始建立我對人生的看法。到如今，我讀史記至以下一段時，仍然使我心志清新：

司馬遷 孔子世家贊
天下君王至於賢人，眾矣！
當時則榮，沒則已焉，孔子布衣，
傳十餘世，學者宗之。

假如我們追求的是永恆的真理，即使一時的挫折，也不覺灰心。

韓愈
苟余行之不迷，雖顛沛其何傷。

我讀左傳，始知有不朽的事情。

左傳
叔孫豹論三不朽
太上有立德，其次有立功，其次有立言，
雖久不廢，此之謂不朽。

以前我以為立德跟立言沒有關係，但是數十年的觀察才知道立德的重要性。立德立功立言之道，必以謙讓質樸為主。

我有一個學生在南京大學電視台訪問自炫：「會當凌絕頂，一覽眾山小」，真輕妄浮誇之言。其實遠山微小，越近越覺其宏大。往往眾人合作才能跨過困難的地方，在沒有嘗試創作性的學問時，才會說這種膚淺的說話。

在培正的第二年，我多言多動，老師要記我小過。她是我的班主任，責任心強，誠然是為我好。當她知道家父是位教授，但卻拿着微薄的薪酬後，大為震動。此後在她悉心栽培下，我在課堂上規矩多了。就在這年，我們開始學習平面幾何。

同學對抽象思維都不習慣。由於在家中時常聽父親談論哲學，對利用公理進行推導的做法，我一點也不覺得見外。學習幾何後，我對父親的講話，又多明白了幾分。利用簡單的公理，卻能推出美妙的定理，實在令人神往。

對幾何的狂熱，提高了對數學──包括代數──的鑑賞能力。當你喜歡某科目時，所有有關的東西都變得淺易。我對歷史也甚有興趣。它培養我對事物要作一整體觀。事件是如何發生的？到底是甚麼原故？將來會如何？

就在這時，父親完成了他的西方哲學史。他跟學生談話，總是說應整體地看歷史。這種觀念深深地影響了我。這種想法，在往後的日子中，指引我去尋找研究項目。父親的書對我有很深的影響。 書中第一頁的引言：

文心雕龍 諸子
身與時舛，志共道申。
標心於萬古之上，而送懷與千載之下。

這是何等的胸襟，與古人神交，而能送懷與後世，確是一個學者應有的態度。
哲學史的目的有三，
一曰求因，哲學思潮其源甚伙，必先上溯以求之。
二曰明變，往昔哲學思想交纏屈結，故重理其脈絡，是為要務。
三曰評論，所有思潮及其流派，皆一一評論，作警策精闢之言。
這三點和自然科學的研究有密切的關係，再加上創新，則可以概括研究的方法了。

十四歲時，父親便去世了。這或許是我一生中最大的打擊。在一段頗長的日子裡，對父親離開了我和家人的事實，我都不能置信。家中經濟，頓入困境，我們面臨輟學。幸得母親苦心操持，先父舊交弟子的援手，我們才倖免淪落。

家中劇變，令我更成熟堅強。困境中人情冷暖，父親生前的教導，竟變得真實起來。以前誦讀的詩詞古文，有了進一步的體會。我花了整整半年，研習古典文學和中國歷史，藉此撫平繃緊的心弦。典麗的詩詞教人欣賞自然之美，排除了世俗功利的思想。

我閱讀了大量數學書籍，並考慮書中的難題。當這些難題都解決掉後，我開始創造自己認為有挑戰性的題目。由個人去創造問題此後變成我研究事業中最關鍵的環節。學校的課本已經不能滿足我了。我跑到圖書館、書店去看書。我花了許多時間打書釘，閱讀那些買不起的書本。我讀了華羅庚先生寫的很多參考書，無論在分析或數論上的討論，都漂亮極了。也看了很多幫助課堂解題的書，例如陳明哲寫的一些小冊子，一般來說，我會比課程早一個學期做完所有的習題，所以聽數學課是一程享受。

打從十五歲起，我開始替低年級學生當家教，以幫補家計。我找到一些巧妙的方法，使成績低劣的孩子搖身變成優等生，為此我覺得有點飄飄然。我積累了教導年青人的經驗，同時也體會到教學相長的道理。

我們的數學老師十分好。他教授的內容，比課程要求來得艱深，但我覺得絲毫不費氣力。其實我的同學們雖然叫苦，但是總的來說，數學都不錯，這叫做取法乎其上，得乎其中。近代數學的教學方法，恐怕適得其反，取法乎其中，得乎其下。

當時我們的物理老師不太行，對此不無失望。中學時養成不了物理上的基本直觀，至今於心還有戚戚焉。國文老師卻是無懈可擊。他是我的父執輩。他教導我們思想要不落俗套。

國文教師說思惟要自出機杼，讀好書之餘，爛書也無妨一讀，以資比較。因此我甚麼書都啃。他這種觀點，就是放諸我日後的科學生涯中，也有其可取之處。

作文堂的一個典型題目︰
豬的哲學觀

於是大伙兒興高采烈，自由發揮。在班裡我並非名列前茅，數學科的等級也不見得最高。但我比同班諸子想得更深，書也讀得更多。

中學讀書，除數學外，真正對我前途有影響的是國文和歷史。現在來談談中學國文和歷史對我的影向。下面一段文章使我覺得做學問是我一輩子的志願。

典論 論文 曹丕

蓋文章，經國之大業，不朽之盛事。年壽有時而盡。榮樂止乎其身。二者必至之常期，未若文章之無窮。是以古之作者，寄身於翰墨，見意於篇籍，不假良史之辭，不託飛馳之勢，而聲名自傳於後。

有了做學問的志願後，我儘量培養自己做學問的興趣，這要從做大量的習題和思考開始：

論語
學而時習之，不亦樂乎。
學而不思則罔，思而不學則殆。

追求學問的道路曲折有致，必須要有毅力，才能持久。楚辭所描述的濃厚的感情使我感受良深。

離騷
亦余心之所善兮 雖九死其猶未悔
抽思
惟郢路之遼遠兮 魂一夕而九逝
離騷
路曼曼其修遠兮 吾將上下而求索

我在中學和大學時就注重培養氣質，有好的氣質，才能夠有志趣去做大學問。

孟子︰我知言，我善養吾浩然之氣。

有很多人以為自己不是天才，沒有辦法做大學問。

曹丕︰譬諸音樂，曲度雖均，節奏同檢，至於引氣不齊，巧拙有素，雖在父兄，不能以移子弟。

但我認為這是錯誤的看法，氣質是可以改變的，以下一個故事可以說明這個看法：

琴苑要錄：“伯牙學琴於成連，三年而成；至於精神寂寞，情之專一，未能得也，成連曰：吾學不能移人之情，吾師有方子春，在東海中，乃齎糧從之，至蓬萊山，留伯牙曰：‘吾將迎吾師。’刺船而去，旬時不返，伯牙心悲，延頸四望，但聞海水汩沒，山林谷冥，群鳥悲號，仰天長嘆曰：‘先生將移我情。’乃援琴作歌。”

可見師友和讀書的環境卻足以轉變人的情懷雅志。我在中學、大學和研究院都深受良師益友的影響，以後才慢慢成長。

其實做學問，無論是自然科學或文學都有氣質的問題，從文章中，往往可以看出作者的修養。古代注重音樂，從樂聲中可以看見國家的盛衰，也是同樣的道理。

季札觀樂﹙左傳﹚
吳公子札來聘，請觀於同樂，使工為之歌周南召南。曰美哉，始基之矣。猶未也，然勤而不怨矣，
為之歌鄭，曰美哉，其細已甚。民不堪也，是其先亡乎。
為之歌齊，曰美哉，泱泱乎，大風也哉。表東海者，其太公乎
為之歌大雅，曰廣哉，熙熙乎，曲而有直體，其文王之德乎。

在培養我自己的氣質時，我儘量觀摩別人的長處。

韓愈
師者，傳道授業解惑者也。
論語
三人行，必有我師焉。

我覺得在與師友相交之際，需要言必及義，而最重要的乃是善於發問。善問者如叩鐘，問之大者則大鳴，問之小者則小鳴。中國科學家最欠缺的是發問的精神。歷史上最著名發問乃是屈原的《天問篇》︰

遂古之初，誰傳道之，上下未形，
何由考之……。日月安屬，列星安陳。

以後的學者很少有這種精神，可能是中國科學不發達的一個原因。

善於發問後，才能尋找到自己志趣所在，才能夠擇善而固執之。

很多同學開始時讀書讀得很好，以後就灰心了，不求上進，一方面是基礎沒有打好，又不敢重新再學，一方面是跟師友之間的關係沒有搞好，言不及義，得不到精神上的支持。有些則名利薰心，不求上進。我有些學生畢業時很踏實，受到表揚，就以為自己了不起，事實上學問還沒有成熟就凋謝了。這都是因為氣質和志趣沒有培養好的緣故。

離騷
民生各有所樂兮 余獨好修以為常
雖體解吾猶未變兮 豈余心之可懲

涉江
苟余心其端直兮 雖僻遠其何傷

離騷
何昔日之芳草兮，今直為此蕭艾也。
豈其有他故兮，莫好修之害也。

以下韓愈作文的態度一直影響了我做學問的方法︰

韓愈 答李翊書

始者非三代兩漢之書不敢觀，非聖人之志不敢存，處若忘，行若遺，儼乎其若思，茫乎其若迷。當其取於心而注於手也，惟陳言之務去，戛戛乎其難哉！

其觀於人也，毀之則以為喜，譽之則以為憂，以其猶有人之說者存也。如是者亦有年，然後浩乎其沛然矣。吾又懼其雜也，迎而距之，平心而察之。其皆醇也，然後肆焉。雖然，不可以不養也。行之乎仁義之途，游之乎詩、書之源，無迷其途，無絕其源，終吾身而己矣。

一九六六年我進了中文大學。雖然對歷史抱着濃厚的興趣，我還是選擇了數學作為我的事業。

就在這時，中學時念的高等數學漸漸消化，開始時還不大懂，但一下子全都懂了。我比班中同輩高明不少。

大學的數學使我大開眼界。連最基本的實數系統都可以嚴格的建立起來，着實另人興奮萬分。當我了解數學是如此建構後，我寫信給教授，表達我的喜悅。這是本人賞析數學之始。

一位剛從伯克利畢業的博士來了香港，他名叫Stephen Salaff。他對我大為讚賞，我們合寫了一本有關常微分方程的書。

另外一位老師Brody來自普林斯頓。他有一套獨特的教學法。他找來一本高深的數學著作，然後要求學生在書中找尋錯誤，並提出改正的方法。這是讓我們不要盲目依賴書本的良方。同時也訓練了我對書本上定理採取存疑的態度。我有時將某些定理推廣了，在課堂上說出來，他聽了很高興。

這些教導的重要性在於
── 培養成獨立思考的習慣
── 在人前表達數學的時候，找出自己的弱點，與同學和老師一同切磋。這不論對自己或對自己日後的教學都十分要緊。

雖然只讀了三年大學，已經完成了大學的課程。在Salaff教授的幫助下，我進入了伯克利的研究院。伯克利的數學系當時在世界數一數二。我八月入校，便認識了陳省身教授。他後來成為我的論文導師。

在香港時我醉心於極度抽象的數學﹙當然我的分析功夫也很紮實﹚，覺得數學愈廣泛愈好。我打算念泛函分析，已經學了不少這方面的東西，包括N.Dunford和J.T.Schwartz有關的巨冊（三卷本的Linear Operators），還有不少有關算子代數的書。到Berkeley後，認識不少卓越的學者，我的看法改變了。

我如饑似渴地從他們處學習不同的科目。從早上八時到下午五時我都在上課﹙有時在班上吃午飯﹚。這些學科包括拓樸、幾何、微分方程、李群、數論、組合學、概率及動力系統。我並非科科都精通，但對某幾門學問格外留神。學拓樸時，發現跟以前學的完全不同。班上五十人，每個人看來都醒目在行，比我好多了。他們表現出色，說話條理分明。

於是我埋首做好功課，不久之後，我發現自己畢竟也不賴。關鍵是做好所有棘手的題目，並把這些題目想通想透。

我讀了John Milnor的一本書，對裡面講到的曲率的概念深深着迷。 Milnor是位卓越的拓樸學者。我開始思考與這書有關的問題，並大部分時間呆在圖書館。當時研究生並沒有辦公室。伯克利名牌教授不少，然而不久之後，我對他們竟有英雄見慣的感覺。在圖書館裡我讀了不少書藉和期刊。

在伯克利的第二個學期，我漸漸能證出一些不簡單的定理。這些定理與群論有關。在崇基時，我跟老師聊天時曾談及有關的內容，我現在把它用到幾何上去。教授都為我的進展而驚訝不已，欣慰非常。其中一位教授開始與我合作，寫了兩篇論文。陳省身教授其時正在放年假。當他回來時，對我的表現甚為嘉許。

縱然如此，對這些工作我倒不覺得怎樣。摩里教授﹙Charles B. Morrey﹚有關非線性偏微分方程的課，另人難忘。他教授的非線性技巧，當時並不流行。他的書也佶屈聱牙。但我隱隱感覺到他發展的技巧十分深奧，對未來幾何學的發展舉足輕重。我用心地學習這些技巧。雖在盛名之下，聽他課的學生同事都不多。到學期終結時，我竟成為他班上唯一的學生。他索性就在辦公室里授課了。這科目後來成為我數學生涯的基石。

完成幾篇文章後，陳教授到處說我是何的出色，雖然他對我的工作認識不深，他的話實在過分誇獎了我。我也開始全盤地思考數學，尤其是幾何。我也試圖去研究幾何學的其它問題，可是進度緩慢。這年夏天老友鄭紹遠從香港來了，我們在校園旁租了一所公寓，心情更加開朗了。

就在這個夏天，我請求陳教授當我的論文導師，他答應了。約一個月後，他告訴我，我在一年級時的文章，已夠格作為畢業論文。我有點悶納，心想這些工作還不夠好，而且我還希望多學點東西。就這樣，在第二個學年中我學了不少復幾何及拓樸。陳師對我期望甚殷，他提議考慮Riemann猜想。十分遺憾的是，到目前為止，我還沒有想過它。

代而之者，我嘗試去了解空間的曲率。我確認Calabi在五十年代作出的某建議，會是理解這概念的關鍵。當時我不認為Calabi是對的。我開始對此深思苦想。這並不是個當代幾何學者研究的標準課題，明顯地，這是分析學上的一道難題，沒有人願意跟它沾上邊。

我漸漸養成把分析作為工具引進幾何中的志趣。在此之前，曾有人把非線性理論用於三維空間的曲面上。但我考慮的，卻是任意維數的抽象空間。由於Morrey教授及陳師對極小曲面的興趣，我亦對這項目深深着迷。對調和映照尤其情有獨鍾，並因此鑽研了變分法。

我對幾何中的所有分析內容都感興趣。簡而言之，就是要把非線性微分方程和幾何融匯成一體。要了解非線性方程，就必須先了解線性方程。因此我建立了在流形上調和函數的主要定理。在我的影響下，鄭紹遠研究了有關的特徵值及特徵函數等問題。我們合作寫了幾篇重要文章，到而今還是這項目的基礎。

畢業時我得到幾份聘書。陳師提議我到高等研究所（IAS），那兒的薪水不及Harvard提供的一半。但我還是到那兒去了。在高等研究所我認識了其它科目出色的數學家。同時提升了對拓樸，尤其是空間對稱理論的鑑賞力。事實上，我利用分析的想法應用到流形上的群作用的課題，我得到了這科目的一些重要結果。

由於簽證的問題，我到了紐約Stone Brook分校。當時Stone Brook是尺度幾何的重鎮，事實上那兒真的不錯，聚集了一批朝氣勃勃的幾何學家。我學習他們的技巧，但並不認為那是幾何的正確方向。一年後我到了Stanford，當時那裡並沒有幾何學者。 Stanford環境安寧，非線性偏微分方程很出色。在那裡我碰見好友Leon Simon及共同的弟子Richard Schoen。我們一起拓展了在幾何上的非線性分析。

晉 陶淵明
久在樊籠里，復得返自然。

我剛到斯坦福時，一個幾何大會正在舉行。有位物理學家應邀就廣義相對論發言。當時我對物理還不算在行。但對他提及有關相對論的一個幾何問題卻一見傾心。賦予空間的數學解釋，與空間物理導出數學問題，兩者皆令人神往。

這問題當時對我而言，還是遙遠不可及。但我對它念念不忘。在會議期中，我找到了一個辦法，去反證Calabi的提議。我討論了我的想法，反應似乎不錯，沒人提出異議。人們都鬆了口氣，畢竟大家都猜對了，Calabi猜想是不對的。

兩個月後，Calabi教授寫信給我，釐清了我的一些想法。我在推理中找到一個嚴重的決口。在我的研究生涯中，這可說是最痛苦的經歷了。我輾轉反側，不能成眠。

差不多兩個星期都失眠，眼見名譽因犯錯﹙雖然我沒把想法成文發表﹚而毀於一旦。經過反覆仔細審閱每個步驟後，我相信問題反過來才對。為Calabi猜想舉出反例，其論據是先假設它是對的，然後考慮其後果。數年後，當我解答了這個猜想，很多有關的自然推論就水到渠成了。

意識到Calabi猜想是對的後，我便朝着正確的方向邁進。在準備最後的證明前，需要大量的準備工作。我和鄭紹遠合作研究Monge-Ampérc方程、仿射幾何、極大曲面等相關問題。與Richard Schoen合作搞調和影照，與Richard Schoen和L.Simon搞極小曲面。在短短兩年裡，我們於與幾何有關的非線性分析，碩果纍纍。這是幾何學的黃金時代。

新婚伊始，我找到完成Calabi猜想的正確想法。我終於掌握了Kähler幾何中的曲率的概念了。一些老大困難的代數幾何問題，都因Calabi猜想的證明而解決掉。當時我認為我是首先了解到Kähler幾何的曲率結構後，有物我相融的感覺︰

落花人獨立 微雨燕雙飛

這個工作影響至今，可以看最近的一個報導：

紐約時報 2003年9月2日
宇宙一懸案 眾人答案殊

弦理論中的一個困難在於它要用十維的時空來描述，而我們生存的空間只有四維而已。Strominger博士回憶起他在找到數學家丘成桐博士的一份論文時的萬分喜悅之情。丘博士現任教於哈佛大學及香港中文大學。在這篇文章里他證明了Eugenio Calabi博士提出的猜想。Calabi博士現已從Pennsylvania大學退休。猜想指出這些額外的維數雖然不可捉摸，但在微觀下可以想象它們捲曲起來，就像地毯的小毛圈。

完成Calabi猜想的證明後，我看出自己建立了融合兩門重要科目──非線性偏微分方程和幾何──的架構。一九七六年我在UCLA碰見老友Meeks，他是我在研究院時的同學。他的景況不大好。Meeks是位具原創性的數學家，我向他提議合作，試圖把極小曲面和三維流形的拓樸聯繫起來。

結果成績斐然。我們解決在這兩門科目中的兩個經典難題︰
1.當一塊肥皂膜的邊界是凸時，膜面不能自相交。
2.Smith猜想的證明，這是與Thurston工作結合的成果。一旦把方向校正了，很多古典問題便能迎刃而解。

次年，我回到伯克利訪問，並組織了“幾何上非線性問題”的研討班。R.Schoen和鄭紹遠都在那兒。和R.Schoen一起，我們終於解決了那個使我念念不忘的有關廣義相對論的難題。這道難題叫做正質量猜想，它在廣義相對論中占基本的地位。﹙只有當質量為正時，時空才能穩定。﹚

1978年我又回到斯坦福。和蕭蔭棠一起，我們利用極小曲面作為工具，解決了復幾何上有名的Frenkel猜想。我也利用了調和映照作為工具去研究復幾何和離散群的剛性問題，以後蕭蔭棠在這方面有極大貢獻。這些想法，迄今仍有其重要性。利用我們在廣義相對論的工作，R.Schoen和我研究了具正純量曲率的流形的結構。

1979年我們在高等研究所舉辦微分幾何年。差不多所有幾何學家都來了。我們為幾何學厘定了發展的方向。我提出一百條在幾何里的有趣問題。到目前為止，有的已經解掉了，但有的還是迄立不動。1970年代確是幾何學的豐收期。

到了1970年代末期，我在數學界可說是略有名望。對於我解決的難題，媒體也有廣泛報導。然而，認為我的奮鬥目標是獎項，是成名成家，那就不對了。這些都不是本人研究的首要目標。我對數學的興趣，源於人類智能足以參悟自然的欣喜。從幾何上看，大自然的美是永恆不朽的。

與朋輩如R.Schoen、L.Simon、鄭紹遠、Meeks、K. Uhlenbeck、R. Hamilton，和稍後的S.Donaldson、H. Taubes、G. Huisken等人的共同努力下，幾何上的非線性分析已匯成大流。它於探討自然之美中的作用不容低估。晚近的進展更顯示它在物理及其它應用科學中的重要性。

當幾個重要領域──幾何、非線性分析、代數幾何、數學物理──自然地融合在一起後，經典的老大難題便會迎刃而解。解決難題可以視為人們理解大自然的路燈柱。

但是幾何學實在超越了科學家的想象，它日新月異，觀念層出不窮，偉大的數學家C. F. 高斯(1817)曾說：

“竊意以為幾何之本，其真偽實非人類心智所能證明，亦非人類心智所能理解者，余意於此，日久邇堅。此等空間之屬性，莫測高深，後之來者，或有灼見，得窺堂奧。惟今之世，吾輩宜視幾何學與純先驗之算術為殊途，宜彼與力學並列也。”

在過去十年間，我和合作夥伴正在致力研究基本物理在幾何中的作用。為了從物理中掌握動機後面的直觀，我花了不少時間參加物理系辦的研討班。在與理論物理學家的交往中，我們獲得了一些數學上深刻的定理。其中重要的概念是所謂對偶性。

對偶性這概念，優美典雅。它指出在某理論中的強作用等同於另一理論中的弱作用。這與中國道家談陰陽有不少共通之處。但對偶性嚴格得多，同時它是定量的。利用它我們可以算出某些數學量。如果用其它方法來進行，那是極度困難的。

新的理論物理和現代幾何的密切結合使我們覺得幾何學會有一個革命性的改進，正如Gauss先生在二百年前的看法，我希望憑着我們從幾何學唯美的直觀能夠幫助暸解大自然界的基本問題。

為數學而數學，實屬顯然，何須三思。於無用諸物理學之種種數學理論，均需一視同仁，與其它理論無分軒輊。
——Henri Poincaró

使余復稚年，童蒙初習，則願從Plato之教晦，自數學始。
——Galilei Galileo

從香港小鄉村到世界數學巔峰—著名數學家丘成桐細數自己的數學之路
(本報記者 肖 潔, 科學時報，2004年3月30日,第1版)

他，1949年出生，1981年獲得世界微分幾何界的最高獎項之一——維布倫獎，1983年被授予世界數學界的最高榮譽——菲爾茨獎，1994年榮獲瑞典皇家科學院頒發的克雷福德獎……

作為世界著名的數學大師，丘成桐是全世界華人的驕傲。日前，他來到北京，在中國科學院數學研究院，暢談了自己從童年、少年、青年直至今天的人生軌跡、學術經歷和心路歷程。

年少經受磨礪

丘成桐這樣描述幼時的家境：“我在香港的郊區——元朗和沙田長大。那裡沒有電，也沒有自來水。小時候就在河中洗澡。家中有八個兄弟姐妹，食物少得可憐。”當教授的父親是家裡的頂梁柱，也是丘成桐心目中的偶像和心理上的依靠。

但是，丘成桐14歲時，父親便去世了。丘成桐說這或許是自己一生中最大的打擊。在一段頗長的日子裡，他都不能相信父親已經離開了自己和家人。家中經濟頓入困境，孩子們都面臨輟學。幸虧母親苦心操持，父親的舊交和弟子施以援手，才倖免如此。家中劇變，令丘成桐更成熟堅強。他說：“困境中人情冷暖，父親生前的教導，竟變得真實起來。”也就是在這個時期，他開始產生了對幾何的熱愛，從此一發不可收拾。“我閱讀了大量數學書籍，並考慮書中的難題。當這些難題都解決掉後，我開始創造自己認為有挑戰性的題目。由個人去創造問題此後變成我研究事業中最關鍵的環節。學校的課本已經不能滿足我了。我跑到圖書館、書店去看書。一般來說，我會比課程早一個學期做完所有的習題，所以聽數學課是一種享受。”

從15歲起，丘成桐開始替低年級學生當家教，以貼補家用。他找到一些巧妙的方法，使成績低劣的孩子搖身變成優等生。這為他積累了教導年輕人的經驗，同時也體會到教學相長的道理。

文史哲薰陶氣質

雖是大名鼎鼎的數學家，丘成桐對文學、歷史和哲學的喜愛卻着實不淺。他說，由於父親的言傳身教，文史哲對自己產生了巨大影響。在父親過世後，他花了半年時間研習古典文學和中國歷史，藉此撫平繃緊的心弦。“典麗的詩詞教人欣賞自然之美”，演講過程中，他不斷用先人的名句表達自己的觀點。父親在世時教了丘成桐不少中國文學，並堅持他在看這些小說時，要背誦其中的詩詞。“當時雖以為苦，但順口吟誦，也慢慢習慣。”結果，丘成桐發現，中國古典文學深深影響了自己做學問的氣質和修養。他說：“其中最重要的影響是立志，覺得做學問是一輩子的志願。”

丘成桐研讀了一些史學名著，對《史記》尤其着迷。他說這不僅是由於其文字優美、音調鏗鏘，還因為它敘事求真，史觀獨特。直到現在，他還認為，史學大師駐足高涯，俯視整個歷史，與大科學家的思入風雲，干宇宙之奧秘遙相呼應。而且歷史知識培養他對事物要建立整體觀。“事件是如何發生的？到底是什麼原故？將來會如何？”

受父親的影響，雖然丘成桐對希臘哲學不大了解，但卻留下深刻印象，“希臘學者對真理和美無條件的追求是我一生做學問的座右銘”，“久而久之，竟然引起了我對自然科學的興奮”。

卡拉比猜想

1966年丘成桐進了香港中文大學，選擇了數學作為自己的事業。他以3年時間修完全部必修課程，還閱讀了大量課外資料。被當時的美籍教授沙拉夫所賞識，力薦他到美國加利福尼亞大學伯克利分校。當時柏克利分校的數學系“在世界上數一數二”，雲集了許多優秀的幾何學家。丘成桐如饑似渴地從他們那裡學習不同的科目，並師從著名數學家陳省身。博士畢業後他先後在美國多所著名大學任教，輝煌的數學之路也越走越寬。

丘成桐的研究工作深刻又廣泛，成果纍纍。他最重要、最有影響的工作之一是對“卡拉比猜想”的證明。在演講中，丘成桐披露了自己驗證卡拉比猜想過程中的故事。

丘成桐剛到斯坦福大學時，一個幾何大會正在舉行。有位物理學家應邀就廣義相對論發言。丘成桐說自己當時對物理還不算在行，但對其提及有關相對論的一個幾何問題卻一見傾心。“賦予空間的數學解釋，與空間物理導出數學問題，兩者都令人神往。”這問題當時對丘成桐而言，還是遙遠不可及。但丘成桐對它念念不忘。在會議期間，他找到了一個辦法，去反證卡拉比的提議。“我發表了自己的想法，反映似乎不錯，沒人提出異議。人們都鬆了口氣，畢竟大家都猜對了，卡拉比猜想是不對的。”

但是，兩個月後，卡拉比教授寫信給丘成桐，釐清了丘成桐的一些想法。“我在推理中找到一個嚴重的決口。在我的研究生涯中，這可說是最痛苦的經歷了。我輾轉反側，不能成眠。差不多兩個星期都失眠，眼看名譽因犯錯而毀於一旦。經過反覆仔細審閱每個步驟後，我相信問題反過來才對。為卡拉比猜想舉出反例，其論據是先假設它是對的，然後考慮其後果。”

意識到卡拉比猜想是對的後，丘成桐便朝着正確的方向邁進。在準備最後的證明前，需要大量的準備工作。他和鄭紹遠合作研究蒙奇─安培方程、仿射幾何、極大曲面等相關問題。與孫理察合作研究調和影照，與孫理察和李安西門研究極小曲面。在短短兩年裡，“我們於與幾何有關的非線性分析，碩果纍纍。這是幾何學的黃金時代。”

新婚伊始，丘成桐終於找到完成卡拉比猜想的正確想法。他說：“我終於掌握了凱勒(Kahker)幾何中的曲率了。一些老大難的代數幾何問題，都因卡拉比猜想的證明而解決掉。”當時首先了解到凱勒幾何的曲率結構後，丘成桐有物我相融的感覺，他用了一句詩來形容：落花人獨立，微雨燕雙飛。

迷戀數學之美

在丘成桐眼中，數學既可以實用，也可以獨立為一門至為美麗的學科。他強調，習題可以重視實用，但絕對要討論看來無用但美麗的工作，重要的數學的發展可以從實用而形成，也可以因為追求純美而成功，“要注意的是：所有重要的實用數學都建基在純美的數學上”。

談到研究數學的首要目標，丘成桐說，既不是拿獎，也不是成名成家，自己對數學的興趣，源於人類智能足以參悟自然的欣喜。從幾何上看，大自然的美是永恆不朽的。他說，當幾何、非線性分析、代數幾何、數學物理這幾個重要領域自然融合在一起後，經典的大難題便會迎刃而解。解決難題可以視為人們理解大自然的路燈柱。“但是幾何學實在超越了科學家的想象，它日新月異，觀念層出不窮。”