《拯救靈魂的詩劇、廣義相對論（13）

尼克松和毛澤東》

“有幾何兮，名為非歐，自我嘲笑，莫名其妙！”

這是一首諷刺‘非歐幾何’的小詩。

詩的“原創”是在歌德的傳世名著

《浮士德》中出現的（具體章節待查）。

歌德用這首詩，諷刺了一位創立‘非歐幾何’的

數學家羅巴切夫斯基（1792~1856 )。

那麼，這位俄國的數學家是怎麼“惹”了歌德呢?

 朋友，欲知詳情，

需要從

與廣義相對論有直接聯繫的‘非歐幾何’說起。

為了了解‘非歐幾何’的怪異特性，

需要附帶讀一些有關《浮士德》的

節選、歌劇、電影等。

如您所知，如果單純地學習‘廣相論’，

是枯燥又艱難的，但是如果把‘廣相論’，

以一部著名的詩劇來學，感覺效果會好些。

下面，讓我們先來看2個小視頻：

一個視頻是介紹‘浮士德’的； 

一個視頻是介紹‘非歐幾何’的。

然後，再學習張天蓉的科普文章——

《讀懂相對論， 

   從‘非歐幾何’開始》的長篇連載。

    5 分鐘

古偌·歌劇《浮士德》廣場芭蕾場景·浮士德女友瑪格麗特

《浮士德》悲劇 第一部 書齋

唉，我縱然以無上的善願，

仍然感不到胸中迸射出滿足的源泉。

川流為何這麼快地枯乾，

使我們又覺得焦渴欲燃？

浮士德原是個真實人物，約生活在十五世紀。

後來，1980年是浮士德誕生500周年，

西德為浮士德樹立了紀念碑（見上圖）。

傳說浮士德博學多才，且有魔鬼幫助，

才使他創造出許多奇蹟。

這些傳說成為文學家經常利用的創作素材。

7分鐘

愛因斯坦的數學是不是非常差，

其實這是一個謬誤，

愛因斯坦的數學其實很厲害，

只是他在最開始解釋廣義相對論的時候， 

一直找不到合適的數學工具來闡述自己的思想， 

直到他發現了非歐幾何這個有力的工具 ，

廣義相對論才得以提出，

那麼什麼叫非歐幾何呢？

詳見視頻及下面的科普文章。

《讀懂相對論， 從彎曲空間的幾何開始》

——‘讀懂相對論， 從非歐幾何開始’（張天蓉）

羅巴切夫斯基（1792－1856），

俄羅斯數學家，非歐幾何的早期發現人。

年輕的俄羅斯數學家羅巴切夫斯基突發奇想，

將古老‘歐氏平面幾何’的

“平行公理”稍作改變，

創立了邏輯上同樣完整而嚴密，

但看起來卻有些古怪的“非歐幾何”。

最初，人們對此嗤之以鼻，

認為這不過是瘋子數學家玩的遊戲而已。

不過，那些嘲笑羅巴切夫斯基的人沒有料到，

幾十年之後，

‘非歐幾何’在愛因斯坦的廣義相對論中

找到了用武之地。它正是廣義相對論中

描述的一種彎曲空間所遵循的幾何！

歐幾里得（公元前300年左右），

古希臘人數學家，被稱為“幾何之父”。

他的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎，

書中提出五大公設。

歐幾里得幾何，

被認為是歷史上最成功的教科書。

🎂 古老的幾何學

幾何是一門古老的學科，

在公元前由幾何大師歐幾里德創立，

至今兩千多年威力不減。

‘歐幾里德幾何’是一個公理系統，

它只需要設定

幾條簡單的、符合直覺、大家公認、

不證自明的命題（稱為公理或公設），

然後從這幾條命題出發，

推導、證明其它命題，

繼而推導證明更多命題，如此繼續下去，

一套數學理論便建立起來了。

這就像是建造高樓大廈，

“公理”就是水平放在地基第一層的

大“磚塊”，有了牢靠堅實的基礎，

其它磚塊便能一層層疊上去，

萬丈高樓也就能平地而起。

基底磚塊破缺了，或者置放得不平穩，

樓房就可能倒塌。

‘歐幾里德平面幾何’的公理有五條。

歐幾里德就從這簡單的五條公理出發，

推演出了所有的平面幾何定理，

建造出‘歐氏幾何’的宏偉大廈。

數學邏輯推理創造的奇蹟令人吃驚。

不過，當人們反覆思考這幾條公理時，

覺得前面4條顯然都是不言自明的，

唯有第五條公理比較複雜，

聽起來不像一個簡單

而容易被人接受的直覺概念。

於是，人們就自然提出疑問：

這‘第五條’是公理嗎？

它是否可以由其它4條公理推導出來？

大家的意思就是說，

歐氏平面幾何的大廈

用前面4塊“大磚頭”可能也就足以支撐了。

這第五塊磚頭，

恐怕本來就是放置在另外四塊磚頭上的。

歐氏平面幾何的第五條公理，

也稱“平行公理”，

“平行公理”可表述為：

“過直線外的一點，有且僅有一條平行線。”

後來一位叫羅巴切夫斯基的

年輕俄羅斯數學家突發奇想：

如果將這條公理稍稍改變一下，

也就是說，

將大廈下面的某塊基石稍微移動一下，

會產生什麼樣的結果呢？

比如說改成：

“過直線外的一點，

有多條平行線與已知直線平行。”

這一改非同小可，幾字之差，

生出了與‘歐氏幾何’完全不同的

另一種幾何，人們稱之為

“非歐幾何”或“羅氏幾何”。

‘非歐幾何’的大廈同樣拔地而起、

穩固牢靠，邏輯上完整嚴密，

但看起來卻有些古怪。未完待續。

13分鐘