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 《被幻化的應力張量》

親愛的朋友，民以食為天。

家家都有一個廚房，不是嗎？

廚房是個時空，在這香氣飄溢的空間，

廚房的主人，正在爐邊炒菜

炒鍋內的蔬菜（韭菜、香菇、洋蔥頭）

借着火勢，隨着炒勺，

左右翻滾、上下飛舞，

藉助想象，讓我們在這個時空，

畫一個想象中的坐標系0XYZ，

在這個隱形坐標系的某點，

有個形同正六面體的向量空間*，

故事裡，炒鍋好比是向量空間，

（喂，炒鍋怎麼會是向量空間，

   還是正六面體的 ？！暈……，比喻而已）

話說那些身陷鍋內的蔬菜，

（韭菜、香菇、洋蔥頭）被炒過來、炒過去，

終於那些星級角色‘多階應力張量’，

被幻化成一些正在翻滾的洋蔥頭了……哈哈。

親愛的朋友，

數學上的空間，與物理空間，

（比如定義在一個單元體上的應力所在的空間）

是兩碼事。並且，張量不是物體。

張量只是個物理量（張量是廣義上的數值）。

又，向量空間有狹義和廣義之說。

數學上，有立體空間、也有平面空間

（如果時間允許，容稍後再作介紹吧）。

【辨異】

不要混淆張量所在空間的維度和張量本身的階數

物理學家對張量的概念離不開對坐標系的考慮，

當初‘里奇’Ricci在考慮張量時，

就是從坐標變換角度考慮的，

但是這種定義在數學中推廣起來比較困難。

所以後來就把張量定義為

是一種‘多重線性映射’了。

或者可以說，

‘張量’的定義是建立在‘向量空間’基礎上的，

而‘向量空間’又是從‘三維空間’抽象出來的

（這有點像‘子空間’是從‘母空間’那裡定義的、

而‘母空間’又來自更大的空間）。

理解‘張量’，有點像‘剝洋蔥’，

有時需要用層層遞進式思維。

讓我們先就‘張量’所在的維度空間來理解：

通常將空間的維度，記作n，具體地，

一般用3維空間（也可以是4維或4維以上空間）。

而張量階數記作m

如果在一個固定的3維空間，

來分析張量的階數，則：

當張量的階數m

小於或等於空間維數n時，寫作m<=n  

或者記憶為

張量的階數m與空間的維數n：

（1）張量是有大小和多個方向的量。

這裡的方向數，就是指張量的階數。

（2）空間的維度n：一般我們使用3維空間。

小結：張量的階數，有時可以是張量的方向數；

張量所在空間的維數與張量的階數並不是一個概念。

{一個軸上有2個應力、2個軸上有4個應力。}

2階張量的2個方向、

和二維空間(、曲面)的兩個方向x，y，

共有2^2=4個方向。

在三維空間裡，

三維二階張量（空間應力張量）的每個方向，

都可以用三維空間三個方向x，y、z表示。

共有3^2=9個方向。

【二階張量下標 μ和 下標ν 兩者之間是什麼關係】

張量可以用坐標系統來表達，

記作標量的數組，

但它又是被定義為“不依賴於參照系的選擇的”。

二階張量含2種矢量

即含2套坐標系的2種矢量的方向），

每種矢量各包含在一套坐標系內，

分別用希臘字母μ 和ν來表示。

2套坐標系合起來，表示一個二階張量。

舉一個（僅在一套坐標系內表達的）普通例子，

例如，地球繞着太陽轉，是有2種因素參與的。

就是說地球公轉速度是包含

‘角速度’和‘線速度’兩種因素的。

‘角速度’是廣義上的矢量；‘線速度’是矢量。

這2種矢量合起來，形成整個地球的公轉。

就是說，在2種矢量的共同作用下，

才能形成地球的運動。

現在說到張量，也與此有類似之處，

不同的是，張量是一種

在一些向量空間的多重線性映射，

例如，

二階張量就是在2個向量空間的

2種矢量共同作用下形成的。

2種矢量的具體運算，涉及微分幾何等高數內容。

理論物理學家蘇士侃說

“二階張量是描述2個矢量之間關係的。”

李奧納特·蘇士侃（Leonard Susskind，1940年－），

美國理論物理學家，美國斯坦福大學教授，

美國國家科學院院士。

在計算中，2個矢量之間的關係是不變的。

這裡再打個比喻，比如，在日常生活中，

人人皆知，有些關係是鐵定不會變的，

例如母親和子女之間的關係是不變的，

即使在人生旅途中，經歷多少磨難，

其間的關係是不變的，

變的只是與旅途相關的其它因素。

就是說，在張量運算中，2個矢量的關係是不變，

變的只是在作每一步微分時，

那些被微分的數是可以變的。

張量就是在2種矢量的共同作用下，形成的物理量。

學術上有多種張量定義，

通常數學中的方法，

是把張量定義成某些矢量空間

或其對偶空間*上的多重線性映射。

張量可以表述為一個值的序列，

用一個矢量值的‘定義域’

和一個‘標量值的值域’的函數來表示。

【註：任何向量空間都有對偶空間。

   此‘對偶空間’具有一般向量空間的結構。】

 謝謝閱讀。