已知y= 97x^2 + 89

y是個完全平方數，求正整數x的最小值。

試解：

y= 97x^2 + 89

y= 9^2x^2 + 4^2x^2 + 8^2 + 5^2        (1)

試圖將(1)配方，寫成

y= 9^2(x+d)^2                           (2)

如果(2)的形式是正確的，比較(1),(2),

4^2x^2 + 89一定能被81整除。

4^2x^2 + 89= 4^2x^2 + 8 + 81

4^2x^2 + 8一定能被81整除。

2x^2 + 1一定能被81整除。有

2x^2 = 81q-1                  (3)

2x^2 = 81q2+80

x^2 = 81q2+40               (4)

(x/9)(x/9)=q2+40/81

令x=9+k, 枚舉k，當k=2時，滿足(4)。

x=11滿足(4)。

代入(1), x=11不是解。要找到其他解。

應用一個定理：如果n^2除以m的餘數是R，那麼（n(m-1))^2, (n(m+1))^2除以m的餘數也是R。

這樣，

x=11(80)^n, 11(82)^n都是(4)的解。

用11(80)代入(1)結果是完全平方數，所以880是問題的的一個解。