我是學數論的研究生，以前見有人發貼子，也有同學曾經問過我一些學數論的參考書。今天謹以我個人的喜好，談談學習數論的參考書。在此我只提：我以前曾經讀過現在正在讀着和將來十分想讀的數論參考書目。一家之言，僅供參考！

在國內有一個不好的傾向是把數論分的太絕對化，要麼是學代數數論的要麼是學解析數論的。聽過美國威斯康星大學楊同海教授的一個報告，說了一句挺有意思的話：在美國都認為我是做解析數論的，而在國內都說我是做代數數論的。其實我認為作為一個學數論的研究生，在碩士階段，即使你是學代數數論的也應該知道Riemann－zeta function zero-free，學解析數論的也應該明白Adele ring,Idele group, 這些都是以後進一步學習最基本的東西。如果作為一個碩士畢業的數論研究生這些你都不知道，那隻說明一種情況是你老闆不是一個合格的導師。我一直認為一個合格的導師是不僅把自己的專業知識傳授給學生，更重要的是告訴學生自己的學科在整個數學中的所處的地位和作用，在和自己相關的學科中別的數學家都在做什麼工作什麼是主流的數學什麼是核心的數學，而不是逼着學生去讀你的只能發表在某某大學學報上的論文。

我所說的書目，一類是可以做教材的一類是平時學習的參考書。做教材的書我認為起碼要滿足三個條件：不要太厚 不會讓人望而生畏；起點不要太高，即預備知識不要太多；要有當代數學的內容，你不能整個一本書都是講一百多年前的數學，那是本科生的教材!

1 初等數論

內容主要是數論函數和同餘性質。國內外都有很多很好的參考書的。

2 解析數論

H.Davenport multiplicative number theory springer-verlag GTM74
A.A.Karatsuba（卡拉楚巴） 解析數論基礎 科學出版社 有中譯本和英譯本

這兩本書都是非常適合做教材的。包含了Riemann zeta function，Diriclet L-functions, zero-free , prime number theory , explicit xxxxula，three primes theorm of Goldbach conjecture , circle method ... 解析數論所有的基礎知識。 H.D的書寫的非常簡練優美可讀性很強（除去前六章,我認為！ ）。

另外如果你有足夠大的書架足夠高的學習熱情，你可以買本潘承洞潘承彪的“大詞典”：解析數論基礎 科學出版社。我覺得這本書只適合做詞典用。

有了這兩本書的基礎，如果你想了解 Goldbach Conjecture and Chen's Theorem,你可以看 潘兄弟 歌德巴赫猜想 科學出版社 有英譯本。這可能是他們合寫的一本最好的書。

如果想學習更詳細的 Reimann zeta function 知識，你應該只看E.C.Titchmarsh The theory of the Riemann zeta function, second ed. Oxford Univ. Press.這是因為在 BAMS 中 P.Sarnak 給 A.A.Karatsuba and others The Riemann zeta function 寫的 book review 的最後一句很有意思的話是：If I were limited to having just one book on my shelves on Riemann zeta functions,I would opt for the 1986 edition of Titchmarsh"s monograph. 最近一二十年Riemann Hypothesis 和 Random matrix theory的研究有很大的關係，但一般講Reimann zeta function的專著中很少講到這一點的，不過可以從網上找到一些這方面的survey文章來看看的。

最近又有一本非常新非常好的講解析數論的書，那就是H.Iwaniec E.Kowalski analytic number theory 2003 AMS 書比較厚當然內容也非常多，基本上包含了當代解析數論所有的工具技巧和內容。有了這本書上面所有的書你都可以不用讀了。

3 代數數論

H.P.F.Swinnerton-Dyer A brief guide to algebraic number theory Camb. Univ. Press

這是我見過的最適合做教材的一本書，一學期的課程足夠了！作者是大名鼎鼎的 BSD Conjecture 中的 SD。薄薄的一百多頁講述了 Ideals ,Valuations ， Adele , Idele , Special fields , Tate’s thesis , L-series ， Class field theory ect . 我一向不喜歡寫的太厚的書更不喜歡寫的太初等的書，書中沒有這兩個缺點而是很多地方充溢着作者對代數數論獨到的精闢的見解。關於其他參考書目我建議大家看看馮克勤老師的代數數論的一個附錄和結語，我認為這是那本書最值得看的部分 。

我比較喜歡 S.Lang algebraic number theory springer-verlag GTM110. S .Lang是一個以寫很多書而著名的數學家，光springer－verlag就好像給他出了三四十本吧！出書多了就有很多人對他寫的書不以為然，其實就這本書來說我認為還是非常好的講了class field theory ,analytic theory , Hecke L-functions , Artin L-functions, … .

另外一部名著我認為是學數論的學生大都知道可能大都沒仔細讀完過（起碼我是只仔細看過其中的chapter VII Zeta-functions of A-fields,另外第二部分classfield theory並不是我很感興趣的地方。），不用猜你知道我說的是 A . Weil Basic Number Theory. 大數學家都喜歡給自己的書起個不起眼的名字，A . Weil就是這樣，其實講的東西絕對一點都不basic，用simple algebras和group representations的工具使用Adele ring and Idele group的語言 ，統一講述Global Field－number fields and functions fields上的數論。讀這本書之前可能需要懂點拓撲群和群表示的東東。

4 自守形式 自守表示 自守L－函數 郎蘭茲綱領

(1) H . Iwaniec Topics in classical automorphic xxxxs AMS
H . Iwaniec Spectral methods of automorphic xxxxs AMS second ed.

這兩本書都是從analytic methods出發。第一本講述了GL(2) 上的 holomorphic modular xxxxs 的情況着重講 了 Kloosterman sum , automorphic L-functions ; 第二本講述了GL(2) 上的 Maass wave xxxxs 的情況着重講 Spectral theory 中的trace xxxxula . 從這兩本書裡，你能看到當代解析數論的主要研究領域和主要研究方法，這與經典的堆壘素數論additive number theory在內容和方法上都有很大的差別。Kloosterman sum , Trace xxxxula 在當代解析數論研究中起着橋梁的作用也是研究的主要工具和方法。大家知道L-Functions的研究在 Langlands Program 中起着中心的作用，而研究L-functions 往往需要很強的分析方法。最後引用別人的一段話：

… we remark that over the the past three decade research in the Langlands Program has been pursued along main lines; via L-functions,via dual reductive(theta liftings)and via the trace xxxxula ... one can take the point of view that automorphic xxxxs are primarily of interest because of concrete analytic inxxxxation they give us classical problem. In the optic, functoriality is a tool rather than an end in itself,and a wide range of other methods from analytic number theory play an equally important role...

（2） Automorphic xxxxs ,Automorphic representations , Langlands Program

關於偉大的Langlands Program , 最原始也可能是最好的參考書是偉大的 H.Jacquet 和偉大的R.P.Langlands 寫的偉大的 Automorphic xxxxs on GL(2) LNM 114 （可在Langlands主頁上免費下載）. 當然這本書對初學者來說也是比較難讀的，需要掌握很多預備知識。

S.Gelbert Automorphic xxxxs on Adele Groups （Princeton 出版的一套紅皮書）應該是一本非常好的參考書儘管出版於1975年。勵建書老師曾在一個Summer School給同學們推薦過這本書. 但是我翻過感覺寫的有點亂，不像一般的書，將這方面的理論分成local theory和global theory，一目了然！

還有一本不錯的書是 R.Godement（法國人，Jacquet的博士生導師）寫過一個比較薄的講義 Note's on Jacquet－Langlands' theory 書中主要是把LNM114的重點內容講了一邊，比LNM114好讀多了，就像在perface中作者說的那樣，書名其實也可以叫做 Jacquet－Langlands' theory made easy ！這本書的缺點就是一般的圖書館都找不到，好像沒有出版？ 只是一個內部講義！筆者最初就是從這本書學起的，一位非常認真的老師給仔細講過。

可能很多人喜歡看, D.Bump Automorphic xxxxs and representations 當然這是一本非常好的參考書。書裡主要講了 local and global theory (Jacquet-Langlands' theory) for GL(2) 和 Rankin-Selberg Method ，“… but it less tightly organized and considerably longer ( 574 pages ) … ” . Rankin-Selberg method 和 Langlands-Shahidi method當然是研究automophic L functions的重要的解析方法。Rankin－Selberg method 也是 Bump 所擅長所偏愛的部分，書中就寫的比較多。內容有點偏 (勵建書語,呵呵).

另外著名的書就是 A . Borel W.Casselman Automorphic xxxxs, Representations , L-functions PSPM vol. 33 (AMS上可免費下載)。 這是一個會議論文集，都出自大家之手，當然也是非常全面非常厚的。這本書可能是做這方面的數學家人手一冊的必備參考書，讓AMS 賺足了錢，後來就索性貼到網頁上 online 。一位老師告訴我這是一輩子都有用的書 ^-^. 當然，初學者不可能也沒必要從頭讀到尾，揀你喜歡感興趣的看就行了。

還有兩本非常新也是非常好的書 J.Bernstein S.Gelbart An Introduction to Langlands Program 這也是一個會議論文集，但不太厚，作者都是這方面的專家的，重要的是從最基本的基礎講起，也不需要太多的基礎知識就能看的懂的。

J.W.Cogell , H.H.Kim , M.R.Murty Lectures on automorphic L-functions 書中分了三部分分別講述了Rankin-Selberg method and converse theorem，Langlands-Shahidi method 和applications of symmertic power L-functions to analytic number theory 三人都是這方面的專家。看看下面的介紹你就知道是一本非常好的書 This book provides a comprehensive account of the crucial role automorphic L-functions play in number theory and in the Langlands program, especially the Langlands functoriality conjecture.There has been a recent major development in the Langlands functoriality conjecture by the use of automorphic L-functions, namely, by combining converse theorems of Cogdell and Piatetski-Shapiro with the Langlands-Shahidi method. This book provides a step-by-step introduction to these developments and explains how the Langlands functoriality conjecture implies solutions to several outstanding conjectures in number theory, such as the Ramanujan conjecture, Sato-Tate conjecture, and Artin's conjecture. It would be ideal for an introductory course in the Langlands program.

中文的可以看 黎景輝 二階矩陣群的表示和自守形式 北京大學出版社。書中的內容偏少些，重要的Automorphic L－functions基本上沒講，但無論如何是一本不錯的參考書。

還有一本不錯的中文書是 李文卿 數論及其應用 北京大學出版社 書中也是統一處理數域和函數域的，前幾章講當代解析數論的基礎內容，第七章講的是classical的模形式，第八章automorphic xxxxs相當把 LNM114 簡要的敘述了一邊。

5 算術代數幾何

arithmetic algebraic geometry 是最近三四十年數論和代數幾何相結合發展起來的一門學科.由P.Deligne，G.Faltings，A.Wiles最近二三十年的工作，顯的尤其重要，也可能是在國外數論最熱的方向。需要較多的預備知識，起碼你要知道點 代數數論 （integers ring , discriminant and ramification , ideal class group ）; 交換代數( Dedekind domains ， discrete valuation rings) ; 代數幾何( affine and projective curves , scheme theory ，Riemann-Roch theorm) .

我見過的這方面的書比較少，有一本是 D. Lorenzini An Invitation to Arithmetic Geometry GSM9 AMS ，這本書的優點是你不知道上面的內容也沒關係，從頭開始，最後證明了 Riemann Hypothesis for curves over finite fields，用的是 Bombieri 只用Riemann-Roch Theorem 給出的證明方法，可能對於要做這個方向的碩士生來說還是有點太簡單吧。

另一本書 IAS/PARK CITY vol 9 Arithmetic Algebraic Geometry 是AMS組織的 summer school的講義，總要講了 Elliptic Curves，Open Questions in Arithmetic Algebraic Geometry,Galois Representations ，Serre's Conjectures,Modular xxxxs ，這輛本書可能會只使你對這個方向有個大致的了解吧！

GTM201 Diophantine Geometry spring-verlag 也應該是這方面的不錯的書，但內容和難度都比上面兩本書高一個層次的。偶的感覺！

如果真要從事arithmetic algebraic geometry這個方向的研究，個人認為A.Grothendieck 同學搞的那些抽象的象天書一樣東東早晚還是需要拿來仔細讀的，但是厚厚的幾大本有點bt的EGA，SGA是不是都要仔細讀哪（三年未必能看完）？可能也是個仁者見仁智者見智的問題！ 筆者當然沒有看過任何一本。