從在科大的切身感受談計算數學的普及、教育和發展
劉儒勛
（中國科學技術大學數學系）

讓我在諸位教授專家學者面前，談及自己對《計算數學的教學和普及》的一些感受，既榮幸又惶恐。因為這裡不乏計算數學界的"前輩"，更多的是各有絕招、秘籍，卓有才氣的年青新秀。算了，豁出去了，講講真心話，談談個人的感受和意見吧。丟人顯眼也就是它了。好在現在不揪辮子，不打棍子了。看在講真話難得的份上，請諸位包涵着點吧。

一．我所感受到的中國計算數學發展歷程

我是抱着"學好數理化，走遍天下都不怕"的"信念"，1957年考入北京大學數學力學系的，後來中國正式開辦《計算數學專業》，就是我們北大數力系的1957級的計算數學專業，當時教我們的有計算數學元老徐獻瑜先生，胡祖織先生，當時的年輕教員吳文達，陳永和等。這就是說我們是中國第一屆計算數學專業的學生，好光榮吧。然而身歷了鋪天蓋地的"反右"，"除四害"，"三面紅旗"，"教學革命"，幾經滄桑，飽受磨難，又延長學制一年。1963年畢業後，因為"家庭出身"而使獻身國防科研的"壯志"未酬，才執筆任教於中國科學技術大學數學系。馮康先生當時還兼任計算數學教研室主任，後來是石鐘慈先生。由於科技大學辦學的"所繫結合"政策，當時中科院計算中心的許多年輕學者，曾經對科技大學的計算數學作出過貢獻。

從1963到現在，算算差不多40年了。但是我們這一代人，似乎命運就該"折騰"，就要遭"磨難"。才教了一年半學，就得參加"四清"，接着"文革"，"戰略下遷"，等等。這期間我幸運地參加了近15年的所謂"外協"軍工等的科研任務。77年國家重新高考招生以後，才又走上了講台。80年代中期以來，職稱評級開始，開始在科研上有較多投入。後來帶研究生、博士後，涉及的計算數學課題、方向就更多：如計算流體力學，間斷解方法，非標準有限元法，有限體積方法，偏微分方程反問題，運動界面追蹤方法，等等。

我們送走了一屆又一屆的畢業生，可惜的是大多數的優秀人才流向海外。他們在優良的學習、科研和教學環境下，成為我們所說的"計算數學"的佼佼者。受聘於國內，"特聘教授"、"長江學者"。現在他們回來了，為中國的計算數學和科學與工程計算，在教學、科研和人才培養中做出貢獻，回報祖國。

諸位，我講這些的目的，是希望你們能夠從我的計算數學"個人"軌跡，儘管有其特殊性，也能夠大概窺測到中國計算數學專業產生、發展的不平歷程。換句話說，大家可以看到和想象得出，我國的計算數學，儘管根據當時蘇聯的模式、課程設置和方向開辦的相當早，但是由於歷史的原因，同國家和人民一樣歷經艱辛，幾經曲折，能夠走出今天的新形勢，實在不容易。那是許許多多計算數學先輩、學者、青年和學子，努力奮鬥默默奉獻的結果。

現在，就中國的計算數學和科學計算專業發展的不平凡歷程，來談談個人的看法。

（1）創建，在封閉與磨難中掙扎、成長時期（1975年前）

50年代，通過中蘇的學術交流，科學院和一些重點大學開始形成了計算數學的專門化方向。科學院的計算技術所引進了蘇聯的（БЭСЫК）104計算機，那是一個由各種電子真空管、繼電器等等構成的龐然大物，有半個籃球場大，然而每秒也只有一萬次的運算速度。現在說起來太不起眼了，在當時可是寶貝得不行，神秘得很，就是能夠去哪兒看看也不容易。

北京大學和吉林大學，按照蘇聯模式最先建立了計算數學專業。採用的課程設置，教材，甚至教學內容也都是蘇聯的。1958年中國科技大學建校，後來也設置了計算數學專業，馮康先生及計算所的許多學者曾經來科技大學任教，為計算數學專業作過貢獻。當時的計算數學學生也真學的不容易，硬是利用台式的手搖或電動的計算機作實習計算。只有在作科研任務，或者畢業設計時，才能夠真正編程上電子計算機。回想當時，半夜裡輪到我們上機，由北大28齋宿舍，懷着激動的心情、興沖沖地趕到數里外的計算所上104機的那種情景，仿佛仍然歷歷在目。那種心情，現在的學生是無論如何也體會不到的。

但是好景不長，很快鋪天蓋地的"反右"、"三面紅旗和大躍進"、"除四害"、"反修"、"教育革命"，最後是"文革"浩劫，一個接一個的運動，老師和學生經歷了驚濤駭浪人人自危。計算數學也和其他學科一樣，在風雨飄搖中掙扎。

學生怕"白專"、老師恐"右傾"，而後"修正主義"、"資本主義"、"黑五類"和"反革命"帽子漫天飛。到頭來誰還敢學習，搞科研？！倒是什麼"甩手療法"、"雞血療法"卻風行一時。提倡考試可以"交頭接耳"，"交白卷"成了英雄。真是"寧要社會主義的草，也不要資本主義的苗"！反帝又反修，資料和期刊沒有了，參考文獻和內外的科學資料斷了來源。最終自己把自己封閉和禁錮起來，甚至處於窒息！

在這期間，國外的計算數學和許多其它科學一樣正值迅猛發展、突破的時期。1965年計算流體力學興起，計算技術和計算機科學日新月異。計算數學在有限差分方法的理論，有限元方法的理論和應用，間斷解的存在唯一性理論，大規模的科學工程計算方法的研究，曲線、曲面造型和CAD技術，等等，許多重要的方向上都有質的突破和創新。

實在是中國科學的悲哀！

然而即使在這混沌之中，祖國大地上仍有辛勤耕耘、默默奉獻的莘莘學子。

1965年馮康先生發表了著名的論文《基於變分原理的差分格式》，這是中國有限元方法的奠基性文獻，也是世界有限元方法的開創性文獻。丘成桐先生在《中國數學未來發展之展望》一文中指出：中國近代數學能超越西方或與之並駕齊驅的主要有三個方面，一是陳省身先生的示性類理論，一是華羅庚先生的多複變函數方面的工作，一是馮康先生的有限元方面的工作，都具有開拓性的貢獻。

同時，許多的國內的軍、民科研院所和大學的專家學者，工程技術人員，為了祖國的國防和科學，仍然不畏艱險從事科學工程計算，開拓着計算數學的田野。

北京大學的爆炸波計算組參與了中國強爆炸的數值計算任務，並且對差分方法、間斷解的人工粘性技術等作了很好的理論總結。中國科技大學的科研協作組，對具有內冷卻的渦輪葉片溫度場進行了有限元計算，後來發表於中國科學。有趣的是，發表該文的同期中國科學上同時刊登了關於撤消鄧小平黨內一切職務的決議。而且，85%的篇幅是有關反擊右傾翻案風的政治內容。就是科學論文之前，也要再三引用"語錄"。

（2）改革開放、恢復發展時期

77年恢復高考招生後，大批的優秀知識青年，抱着對知識的渴求考入大學，許多佼佼者進入計算數學專業學習，例如中國科技大學的舒其望、鄂維南等，湘潭大學的許進超、袁亞湘，等等。計算數學的春天終於來到了。

封閉、禁錮逐漸地被打破，外面五花十色的計算數學天地展現在我們眼前。許多的文獻、資料攤到面前。我們看清了國外計算數學的發展和我們的差距。原有的計算數學老師、專家學者恨不得一下子追回失去的時間。調研，學習，奮進。學生們的奮發、如饑似渴的求知精神，見所未見。

計算數學隊伍迅速恢復和壯大。其中也有在十年動亂中，從事軍工、工程科研計算的工程技術人員轉行，進入計算數學和計算科學研究隊伍。並且開始形成多個計算數學教學和科研的中心。例如中科院計算中心、北京大學、復旦大學、吉林大學、中國科技大學、南京大學，等等。

與此同時，中國的計算流體、計算物理、計算化學、計算水動力學，等等的各種學會、組織有如雨後春筍破土而出。特別是中國計算物理學會1980年籌備，1981年創立，集合了中國許多學科的數值計算和計算機模擬的專家、學者和有為年青新秀。各種有關計算數學、科學計算和計算機數值模擬算法的期刊、雜誌和學術交流，形成了百花齊放、萬舟競發的蓬勃局面。

但是，在這時也已經現顯了一種日漸增強的危機，即優秀計算數學人才的流失。例如前面提到的舒其望、鄂維南、許進超等都留學美國，有的已經成為美國公民。

（3）內外交流，人才競爭，全面走向世界

1994年馮康先生倡導召開的計算數學華人青年學者香山會議，標誌着中國計算數學開始走向世界，國內外計算數學的交流、互訪躍上了新階段。其主要的標誌和發展階段是：

大批的國外的留學生受邀，或者自動回到母校和有關院校，進行學術交流和訪問。他們把國外，尤其是美國計算數學的近代發展、應用研究和前景，向我們提供了最直接的第一手資料。同時，我們也有計劃地派出教員、研究人員出國訪問和合作研究。就以中國科技大學數學係為例，自90年代初以來，受邀來訪的國外專家、學者已經超過100人次。而派出學習、訪問和合作研究的教師更不下100人次。僅僅2001年在科技大學數學系舉辦的全國研究生暑期學校，單單科學計算專業而言，我們就邀請了國外在各有關方向頗有造詣的著名的8位計算數學專家，作了前沿報告和主講選修課。

進一步，我們國內的許多院校和科研院所相繼聘任了國外著名的專家、學者為特聘教授、研究員，或者"長江學者"。這樣以合作協議的形式，使學術交流和合作研究更加得以保證。例如，鄂維南、許進超等被北京大學聘任，舒其望為科技大學聘為計算數學的"長江學者"。他們都有幾個月的時間回來進行授課和合作研究，甚至帶博士生和博士後。

在國家自然科學基金委、***、科學院和計算數學和應用物理研究所的資助下，北京大學、計算數學所、計算數學和應用物理研究所，已經建立了各種由國內外知名學者主講的培訓學校，並且已經形成制度和確立了必要的規則。這不僅為國內外的學術交流，開闢了一條渠道，尤其是為計算數學高級人才的培養和有關院校教育、研究隊伍的提高，作出了貢獻。

國內的情況有目共睹，計算數學和科學計算的有關學術活動正是如火如荼，風起雲湧。

同時我們可以看到人才的競爭已經在國內外展開。國內的人才流動以前所未有的勢頭越來越強勁。而且已經發展成為世界範圍內的流動潮，其勢無法遏制。當前主要是為局部政策、軟件、硬件設施和經濟條件制約，今後可能會有所變化。但是，不管怎樣，這種人才的競爭而形成的人才流動將持續下去。仍然以科技大學的計算數學為例，過去計算數學專業培養的20多位碩士、博士和博士後，除了僅僅有倆位留校任教外，都分別留學國外和服務於重要的公司，或者為有更高條件的院校所招攬。正因為如此，新的計算數學中心也會形成。

二．中國科技大學計算數學教學情況與存在的問題

作為一名中國科學技術大學數學系的教師，根據數十年來的教學實踐和認識，來談談我們計算數學專業的教學情況。

1．本科生教學內容和課程設置

80年代末以前。基本上是沿用的蘇聯模式，儘管後期有許多的改變，但是基本模式沒有變。四種專業基本課程是：《數值分析（包括誤差分析、函數逼近、數值積分、方程求根和常微分方程數值解）》，《線性代數方程數值解法》，《偏微分方程數值方法》，《程序設計》。輔助課程是：《應用力學》，《變分方法》，《計算實習》。特別還有習題課，助教老師能夠手把手地指導學生。

90年代以來，變化比較大的是刪除了有關的流體力學的專業輔助課，變分方法課，計算實習課和習題課。這主要是因為科技大學數學系專業太細、太多，專業劃分又很晚。學生在分專業前要照顧各個專業方向，需要有一個比較全面的、多種數學專業的基礎課知識。從而更加 "重、緊、深"，這也實在苦了學生！

四門專業基礎課雖然名稱沒變，其實內容已經有不同程度的轉化，以適應當代迅速發展的計算機科學和科學計算的需要。首先是程序設計有了實質的變化，過去的手編代碼程序為Fortran和C。此外還增加了《符號語言》（例如Mathematica）和《計算機圖形學》，等多門選修課。數值分析和線性代數計算方法變化不大，因為我們在這方面的研究和力量投入很少，顧及不到。但是為了使學生也能夠從事CAGD和函數逼近方面的研究，特別增加了《樣條函數》和《函數逼近》選修課程。偏微分方程數值方法明確地劃分為兩門課：《Sobolev空間和有限元方法》，和以有限差分方法為主的《偏微分方程數值方法》。課程設置很多，好在程序設計的有關課程，其中大部分已經納入數學系的公共基礎課中，劃分專業前基本上就已經學習過了。

不管怎麼說，專業劃分後的一年半的時間內，如此多的課程，還有畢業論文設計，對於學生來說是不堪的重負。或許，這也是國內許多大學計算數學專業的通病。

2．研究生教學內容和課程設置

計算數學專業研究生，有兩類專門化培養方向：一是數值計算，包括計算流體力學方法，有限元方法，間斷解數值方法和偏微分方程反問題的數值方法。另一類是CAGD，數值逼近和計算機代數、幾何。

以前面的專門化方向為例，課程有《計算流體力學的數學理論》、《計算流體力學方法》、《非標準有限元方法》（包括Mixed FEM, Moving FEM, Time-space FEM, Discontinuous FEM, 等等）、《結構和無結構網格生成方法》、《高分辨率方法（包括TVD, ENO, Weighted ENO, 等等）》，還有一些選修課，例如《運動界面追蹤問題的數值模擬方法》、《譜方法》等。

3．人才的流失和教師的困惑

今天的學生比較現實。為了能夠出國留學、去薪水豐厚的大公司任職，特別注重計算機軟件的知識和英語的能力。80年代中期以來，科技大學計算數學人才就嚴重流失。加之我們對人才的認識和渴求，又遠不如國內的許多大學。儘管"特聘"、"長江"和"百人計劃"教授很多，但真正能夠勞苦於教學、科研第一線的教師人才，始終緊缺，也並不重視，對流失現象聽之任之。所以培養的學生、研究生和博士後也留不住。結果導致計算數學教師甚少，許多課程難於應付，許多專業方向的教學和研究（例如，譜方法，多重網格方法，區域分解方法，並行算法，等等）空缺。作為教員，我們已經感到面臨危機。

此外教師本身還有許多的困惑和煩惱：如何去面對、處理科研與教學的矛盾？教材的編寫和不斷的更新機制，何以得到保證？

眾所周知，現在大專院校的職稱評定，基本是論文"掛帥"。要有足夠質和量的論文，才能夠得到晉級。從而時間上就難以保證教學的準備、研究和水準。教學本身就是一門學問和藝術，沒有足夠的投入、學習、琢磨和研究，沒有相當實踐的不斷積累和在實踐中的推陳出新，是難以有所造詣的。現在似乎造成這樣一種事實，有"學問"也就能"教"好"學"，並不把教學當成一門學問和藝術。回想當年在北大聽許多老數學家的課，來科技大學又聆聽了華羅庚先生的課，那真是一種藝術，也是一種享受！今天有時偶爾聽一聽"專家"的課，常常使你一頭霧水。那才是天壤之別啊！

再者，現在計算數學的發展日新月異。但是有關的教材遠遠落後，更談不上不斷的更新了。除了上面提到的原因，教材的編寫和更新不被重視，不當作基本的學科建設，也是重要的原因。很多的是教員只能夠採用課餘時間編寫，不算工作量又不記報酬，那還真要有點"雷鋒"精神才行。

4．計算數學教學內容的龐雜和凌亂說明了什麼？

不能不承認，計算數學的教學內容和課程設置，日益繁雜，分支又多，涉及的其它學科廣泛。在某種意義上說，不能自成系統，顯得凌亂。而且隨着時間的進程，將越來越明顯。

為什麼會形成這種情況呢？

當代計算數學或者科學計算的發展，特別是計算機科學的發展，引起或者正在引起整個科學，從內容、方法到研究手段上的改變，也將導致科學的重新分化和組合。計算數學的研究已經不能脫離具體的應用學科，因為只有這樣才有生命力，才會有所開拓和創新。我們已經看到，計算數學方法在許多學科的應用、結合，擴展了相關學科的新形勢，形成了該學科的新方向。例如計算流體動力學、計算水動力學、計算燃燒學、計算化學、計算生物學，等等舉不勝舉的新的交叉學科。同樣地，其它學科向計算數學的滲透，也引起了計算數學的相應的研究方向。譬如，激波等間斷解的問題，使計算數學的弱解方法和理論帶來的新天地；多相界面的運動問題導致"運動界面追蹤的數值模擬方法"的探索和研究；等等。

計算數學的方法和理論，本身並不是數學學科的產物，它是首先來源於實際計算的需要，而尋求於數學方法和手段，從而形成、或者集合而言之為計算數學。實是以"計算"為目標的數學方法和理論。何況，隨計算技術和計算機科學的發展，其它學科需求的發展，計算數學的內涵、方法和理論，也會轉化和改變。

正因為這樣，計算數學的研究方向，也就是學習內容和課程設置，就必然繁雜和凌亂。看來似乎難以避免，除非把計算數學限定在某個很窄的範圍內。

三．計算數學的普及和我們所作的工作

縱然計算數學和計算科學是最聯繫實際的實用科學之一，卻也並非像加減乘除、平方開根那麼容易講清。甚至也不是求一個簡單的數值積分，或者解一個十幾個未知量的線性方程組那麼平凡。今天所說的計算數學和計算科學更多的是科學與工程中的數值計算、數值逼近、計算機數值模擬和計算機實驗。它不僅是數學理論、手段和方法，它又與科學和工程計算實際密切關聯，依託於計算機科學的軟硬件環境和發展的交叉學科。所以談起計算數學，或者計算科學的普及和大眾化，似乎並不那麼容易。

現在已經出版了倆位院士的有關科普小冊子，石鐘慈教授的《第三種科學方法—計算機時代的科學計算》和張景中教授的《計算機怎樣解幾何題—談談自動推理》。他們實在是帶了個好頭，對於科學計算和計算機幾何、代數推理的許多基本概念和內涵，特別是意義和發展前景，作了深入淺出的介紹。

但是仍然無法涉及進一步的方向和內容，即使涉及到一點深層次的概念和方法，也就成了"陽春白雪"，收不到預期的效果。特別是若以計算數學的標題來作文章，常常會陷於無源之水、無本之木而"脫離實際"。

如果結合科學和工程的實際，例如流體、波動和工程現象的數值計算、計算機模擬和計算機實驗，並且輔以計算機的圖象、動畫和虛擬現實的顯示，那麼其收效必然顯著。計算數學和計算科學的普及教育，從這一點來說，要比數學的其它方向更應該貼合大眾，更容易吸引青少年。

這樣以來，也可能有人不以為然，‘這還能算是計算數學’？其實，我前面已經說過，計算數學本身在今天已經在變化，由於計算機科學的發展和其它學科的發展，科學領域正在發生着改變、分化和重組。我們應當順其自然，不能墨守成規。

其次，計算數學和計算科學的普及，也要分為幾個層次。

（1）面向青少年學生，引起他們的興趣，呼喚他們獻身這項科學事業，加入計算數學的隊伍，為國家的科學與工程計算、計算機數值模擬、國防和經濟建設作出貢獻。倆位院士的科普讀物就是範例。以前這方面的科普作品的例子也不少。我們也早在1981年的《自然》雜誌上發表了‘計算流體力學’，那是第一次向國內介紹該專門化方向的科普文章。1994年和1998年發表的"計算流體動力學與計算水動力學的進展與展望"、"談談計算數學的發展與展望"，也具有這方面的意義。

（2）面向大眾，宣傳、普及計算數學和計算科學的實際意義和應用價值，以求取得人們的支持。特別是面向各級領導，以獲得他們的支持和贊助。

（3）面向實際從事科學與工程計算的青年研究人員和技術人員。熱心向他們提供新的計算數學思想、方法和理論，幫助他們更新技術和數值模擬的手段，能夠為他們所承擔的工作盡一點力。在這方面，我們長期來已經作了很多努力。從1978年開始，我們就在工程兵、國防軍工的許多科研院所，在科技大學的力學、物理和天體力學，在國家幾個海洋所，在南京紫金山天文台和南京大學，等等許多院校科研單位開辦過"爆炸力學計算方法"、"計算流體力學"、"計算物理"等的講習班和培訓班。同時也不斷地將新出現的計算方法寫成科普文章，向大家介紹，例如"談談隨機選擇法"、"活動界面追蹤問題的數值模擬方法"，等等。此外，我們也通過組織和參加國內的相關的許多科學計算會議，進行了交流。

四．由感而發的幾個問題和想法

（1）計算數學所肩負的任務到底是什麼？

計算數學是關於計算方法的數學理論，即可靠性、複雜性和收斂性的研究？

這種說法顯然過於數學化，既不合理也不貼切。前面我們已經說過，今天的計算數學與其它理工學科和工程的實際聯繫緊密，甚至不可分割，也是其創造力、生命力的源泉。

許多新概念、新思想和新方法，甚至新理論，首先來自於其它自然學科、工程的計算實踐和要求。由於有結構力學和彈性力學的計算實踐的要求，才發展出了有限元和邊界元方法；也由於激波、接觸間斷等的計算和數值模擬的迫切需求，才提出了間斷解，或者弱解的思想、概念、方法。分析氣體的分子粘性得到的啟示，才提出了‘人工粘性法’，才能發展到今天的數值擴散和反擴散，以及守恆率方程的限制函數或者限制器（Limiter）的方法；在數學上，弱解常常是不唯一的，也因為通過對物理解的唯一性分析，根據熱學不可逆過程的熵增原理，才發展出數學上的弱解唯一性條件，使間斷解的數值計算和數值模擬得以保證；如此等等，舉不勝舉。

何況，有些方法也只有計算機科學發展到一定的時期才能夠應運而生。並行算法自不待言，而區域分解方法、多重網格方法、多尺度方法等，又何嘗不是？

回想1965年，Zabusky和Kruskal通過數值模擬，揭示了KDV方程孤立波所呈現出的守恆性和類粒子性。而後在不同領域發現了孤粒子的存在，從而引起了數學、物理中的非線性波和孤立波的研究，以及反散射方法、守恆性和方法的研究。這也同時說明計算數學和計算科學的發展，也已經、並將更強勁的對其它科學包括數學科學的發展有所推動。

現在，***將計算數學歸於"信息與計算科學"，雖然有一定的道理，但是也只能是一種折中的、臨時的方案。因為‘信息’和‘計算科學’兩者的‘交集’，只能是各自的一個不大的局部而已。因此，國內的大學對於計算數學的歸屬問題，就各有各的說法和做法，很難取得一致和共識。其實，國外又何嘗不是這樣。我想不必操之過急，順其自然為好。

事實上，計算數學的今天，應該是科學與工程計算、計算機數值實驗與模擬的方法、理論研究的一個複雜的系統工程。僅僅用‘計算數學’的名稱來包涵它，實在是太勉為其難了。

顯然，在大學裡，如果用一個系，甚至是用一個‘計算科學學院’來容納，來設置，也不為過。

（2）此而引起的問題，那就是計算數學應包含那些基本的方向和研究內容？

顯然，第一個問題如果不能夠取得共識，這個問題就回答不了。

即使仍然按照‘計算數學’以前的認識，在今天也應當發展和更新了。正如有的大會報告談到的，今天的計算數學可以劃分為兩個大方向：科學與工程的正問題和反問題的計算方法、計算機實驗、數值模擬的理論、應用。

前者包含以往的數值分析，代數方程的數值方法和偏微分方程的數值方法，數值優化方法，隨機模擬實驗方法（包括Monte Carlo 方法，隨機選擇方法，Lattice gas 和Lattice Boltzman方法，等），計算流體力學，並行算法、結構與無結構網格的構造和生成、計算機代數推理、計算機輔助幾何設計（CAGD），數學軟件設計及應用，等等。

反問題則是偏微分方程反問題，幾何反問題，代數反問題，以及其它不適定逆問題和模式識別等的數值方法、計算機實現的研究和理論。

由此可見，計算科學如果包括力學、物理、生物、化學，以及工程技術中的計算、數值模擬和計算機實驗，也就是說，與計算物理、計算流體、計算生物、計算化學，等等相結合，確實將是一個很龐大的科學系統。事實上，它們又是互相關聯，相互滲透。所以我們說隨着計算機科學和自然科學的發展，科學本身將會產生不斷地轉化、變革、融合，甚至重新分化、組合。

我們不可故步自封、因循守舊，而要順其自然，滿腔熱情地去迎接科學的新時代。

（3）計算數學如何面對商業意義上的、科學上的競爭和選擇？

無容質疑，原本意義上的計算數學也取得了巨大的發展和進步。許多新的方法提出來了，相應的新理論產生了和解決了。例如，大稀疏矩陣的各種計算方法，Yanneko的分數步方法（Fractional-Step Methods或者Direction Splitting Methods），有限元方法的超收斂性研究，多重網格方法，區域分解方法，等等。

然而，我們是否也應當看到，計算數學已經存在的‘信譽’和‘生存’的危機？！這並非是聳人聽聞！因為：一方面，我們國內業界人才的嚴重流失；另一方面，我們的方法、理論研究，特別是實際應用、實用軟件的研究和製作，已經在一些方向和方面上，既不如國內的其它自然科學研究院所的工作和效果，更比不上國外許多大學相關的系所。

國際上，以美國的Glimm、Osher、Shu和英國的 Morton、Spalding、Patanka等人的科研群體的研究和應用成果，世人矚目。我們的發展和進步，相比之下實有不小的差距。特別是美英等國已經推出了許多優秀的商業應用數值軟件，例如Phoenics、Fluent、Ansys等，可以數值模擬各種不同的物理、力學、燃燒、湍流等的複雜科學和工程計算問題。而且還有針對各種具體目的的商業軟件和免費軟件，如網格生成和繪圖軟件等。這些軟件的製作精良，其中採用了許多最先進的數值方法，最現代的計算機信息技術和計算機圖形學方法。

國內，像應用物理和計算數學研究所、中國科學院大氣物理所等，他們並非是計算數學的專業研究全體，但是他們在計算數學和計算科學方向上的貢獻是有目共睹的。他們所以能夠在計算數學和計算科學上取得優異的研究成果和應用價值，應當說其主要的原因是他們工作在實際科研的第一線，理實交融、任重道遠，更有着強烈的責任感和緊迫感。

如果我們全國各行各業中的計算數學、計算科學、科學和工程計算的同行們，同心同德團結合作，肩負起我們國家的科學和工程、國防建設和經濟建設中的數值計算、計算機實驗和數值模擬的重任，那麼不久，我們將迎來一個計算數學和計算科學的百花盛開的春天。

謝謝。