哥德巴赫猜想可能不成立（修改稿）

曾富

我有一研究哥德巴赫猜想的朋友說，哥德巴赫猜想可能不成立。

他的數學證明我難以在網上描述，但是哲理我卻可以講一講。他說，用當代語言來敘述，哥德巴赫猜想有兩個內容，第一部分叫做奇數的猜想，第二部分叫做偶數的猜想。奇數的猜想指出，任何一個大於等於7的奇數都是三個素數的和。偶數的猜想是說，大於等於4的偶數一定是兩個素數的和。相對來講，奇數的猜想比較容易，因為它是偶數的猜想的推論。如果每個大偶數都能寫成兩個素數之和，那麼我們就能夠證明任何大奇數都是三個素數之和，因為任何奇數減去3都是一個偶數。關於偶數的哥德巴赫猜想到現在都沒有得到證明。但是，數學家們從四個途徑：殆素數，例外集合，小變量的三素數定理以及幾乎哥德巴赫問題，逼近這個猜想，並且取得了輝煌的成就。然而，這都類似在33×10的8次方的大值自然數範圍內證明哥德巴赫猜想成立。

反過來講，我們說哥德巴赫猜想，主要指大於等於4的偶數一定是兩個素數的和的偶數的猜想。這個猜想在大值自然數範圍內是成立的。這個大值自然數類似33×10的8次方內的自然數。但哥德巴赫猜想是包括大值自然數和特大值自然數的。特大值自然數類似趨於無窮大。在特大值自然數範圍內哥德巴赫猜想難於成立的原因是，素數個數稀少化。即類似空洞化，指在特大值自然數範圍內找一個素數很難。於是打個比方說，把整個宇宙對應自然數列，那麼大值自然數列就類似對應我們的銀河系，大於等於4的偶數一定是兩個素數的和就類似對應我們的銀河系發現的恆星，行星，衛星和矮行星的定義，例如行星是在恆星引力的作用下圍繞着恆星的中心，自轉和公轉作向心運動的不發光和不發熱的星球和天體的規律。2006年8月24日國際天文學聯合會大會放棄將冥王星之外的太陽系八大行星稱為“經典行星”的說法，從而確認太陽系只有水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、和海王星這8顆行星，冥王星被降級為入“矮行星”；矮行星的橢圓形軌道一是與太陽系中水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、和海王星在同一運行軌道平面成一定的夾角，二是它的質量比八大行星都小。

這個規律是否在我們的銀河系之外的宇宙也成立呢？在我們的銀河系之外的宇宙有星系、星系團，類似對應特大值自然數列範圍內的素數，但這類素數是否也遵守我們的銀河系發現的恆星，行星，衛星和矮行星定義的規律現象呢？眾所周知是不全遵守的。這就是特大值自然數到大值自然數範圍內的“空洞化”，使得這範圍內有的偶數，很難找到兩個特大值自然數列範圍內的素數的和，等於這個偶數。當然這個數學證明是很複雜的，它是證明哥德巴赫猜想可能不成立的關鍵。但道理很簡單，就是要證明類似33×10的8次方以上的自然數列中的素數，仍類似小值自然數列範圍內的素數一樣，不存在“空洞化”，這和在特大值自然數範圍內找一個素數很難相矛盾。其次，是證明類似這種“空洞化”形成的素數“斷層”，不能在特大值自然數列範圍內找到兩個素數，其和等於特大值自然數到大值自然數範圍內的某個偶數。

換句話說，1966年陳景潤先生在《科學通報》上登的狖1+2狚證明的命題，是哥德巴赫猜想的一個封頂證明。雖然這個封頂證明直到1973年《中國科學》復刊之後，陳先生狖1+2狚證明的全文才得以發表，但直到現在狖1+2還是最好的結果；並且大家公認，再用篩法去證明狖1+1狚幾乎是不可能的，所以，哈伯斯坦(H. Halberstam)與里切特(H. E. Richert)在他們的名著《篩法》(Sieve Methods)的最後一章指出：“陳氏定理是所有篩法理論的光輝頂點。”

有人指出，只有發展革命性的新方法，才有可能證明狖1+1狚。但這類似說，用發展革命性的新方法，就可以證明整個宇宙都遵守我們的銀河系發現的恆星，行星，衛星和矮行星定義的規律現象一樣。而哥德巴赫猜想可能不成立，是陳氏定理的篩法理論已證明了的事實。即任何一個特大值自然數列範圍內的偶數，總可以分割為兩部分：一部分是最接近這個特大值自然數範圍內的偶數的素數，那麼另一部分就是這個特大值自然數範圍內的偶數減去這個特大值自然數範圍內的偶數的素數---這個差數，如果是素數，自然是對哥德巴赫猜想成立的說明，所以這個差數是除開素數外的必定是屬於大值自然數範圍內的奇數。

如果把陳景潤的狖1+2狚證明中的“1”對應最接近這個特大值自然數範圍內的偶數的素數，把陳景潤的狖1+2狚證明中的“2”對應這個特大值自然數範圍內的偶數減去這個特大值自然數範圍內的偶數的素數的差數---這個屬於大值自然數範圍內的除開素數外的奇數，那麼它和大值自然數範圍內的偶數猜想的成立是對應的。其次也是和大值自然數範圍內的除開素數外的奇數猜想的成立對應的；雖然奇數猜想指的是任何一個大於等於7的奇數都是三個素數的和，但這是指包括了素數的奇數，因為在大值自然數範圍內的除開素數外的奇數也可是兩個素數的和，是能一一進行驗算的。

1、從陳氏定理的篩法證明哥德巴赫猜想可能不成立可以看出，哥德巴赫猜想的半成立半不成立的數學特性——出在特大值自然數到大值自然數範圍內的“空洞化”，而數學是在所有科學當中唯一能夠處理無窮的學科；我們不能用做實驗的方法來研究哥德巴赫猜想，計算機算得再快，也只能在有限時間內算有限個數；不過，在最好的計算機所能算到的範圍之內，哥德巴赫猜想全是對的，這就能讓我們把無窮值的自然數和有限值的自然數分割開來，也能把合起來進行研究。

2、1937年，俄國數學家維諾格拉多夫(I. M. Vinogradov)無條件地基本證明了奇數的哥德巴赫猜想。維諾格拉多夫定理指出，任何充分大的奇數都能寫成三個素數之和。也就是說，在數軸上取一個大數，從這個數往後看，哥德巴赫猜想都對；在這個數前面的奇數，需要用手或計算機來驗證。然而，至今計算機還未能觸及那個大數。維諾格拉多夫的證明發表之後，又出現了幾個新證明。這些證明既簡潔，又提供了完全不同的方法。在這些新證明中，一個是俄國數學家林尼克(Yu. V. Linnik)的，再一個是潘承彪先生的；還有英國數學家沃恩(R. C. Vaughan)的。人們認為林尼克是離哥德巴赫猜想很近的人，他對哥德巴赫猜想進行了深入的研究。因為林尼克1941年提出大篩法，林尼克定理指出，雖然我們還不能證明哥德巴赫猜想，但是我們能在整數集合中找到一個非常稀疏的子集，每次從這個稀疏子集裡面拿一個元素貼到這兩個素數的表達式中去，這個表達式就成立。這裡的k用來衡量幾乎哥德巴赫問題向哥德巴赫猜想逼近的程度，數值較小的k表示更好的逼近度。顯然，如果k等於0，幾乎哥德巴赫問題中2的方冪就不再出現，從而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。後來林尼克的學生、匈牙利數學家蘭易(A. Rényi)深入地研究了大篩法，並在1948年證明了命題狖1+b狚。用王元先生的話說，這個b是個天文數字。當時，沒有人知道b究竟有多大。這個b的數值依賴於素數在算術級數中平均分布的水平。

陳景潤的狖1+2狚證明可以變為類似與此相反，是把這個天文數字b分割給最接近這個特大值自然數範圍內的偶數的素數，而對應狖1+2狚中的“1”。以上結果表明，陳景潤先生完成的“2”，就是目前人們通常的哥德巴赫猜想證明。如定理1，有無限多個素數p使得p+2(=5-3)是素數，（3，5），這是第一素數對，它有無限多素數對。定理2，J_2(3)=0，只有一個素數p=3使得p+2(=5-3)和p+4(=7-3)都是素數，（3，5，7），它只有一素數組。定理3，有無限多個素數p使得p+2(=7-5)和p+6(=11-5)都是素數，（5，7，11），這是第一素數組，它有無限多素數組。定理4，有無限多個素數p使得p+2, p+6, p+8(=13-5)都是素數，（5，7，11，13），這是第一素數組，它有無限多素數組。......定理50，有無限多個素數p使得5p^3+6, 6p^3+5都是素數，（7，1721，2063）。

但以上定理1和定理2是素數分布一個基本規律，到定理50的運用，都類似33×10的8次方內的自然數的規律，它沒有證明在特大值自然數範圍內也成立，或它沒有證明這和在特大值自然數範圍內找一個素數很難相矛盾而不矛盾。

3、哥德巴赫猜想可能不成立屬於例外集合。而在數軸上取定大整數x，再從x往前看，尋找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶數，即例外偶數。x之前所有例外偶數的個數記為E(x)。我們希望，無論x多大，x之前只有一個例外偶數，那就是2，即只有2使得猜想是錯的。這樣一來，哥德巴赫猜想就等價於E(x)永遠等於1。當然，直到現在還不能證明E(x)＝1；但是能夠證明E(x)遠比x小。在x前面的偶數個數大概是x/2；如果當x趨於無窮大時，E(x)與x的比值趨於零，那就說明這些例外偶數密度是零，即哥德巴赫猜想對於幾乎所有的偶數成立。這就是例外集合的思路。

有人認為，在例外集合這一途徑上，有四個證明，其中包括華羅庚先生的著名定理。搞哥德巴赫猜想的人的目標，是要證明E(x)的上界是x的零次方，然而1938年E(x)上界的世界記錄基本上是x的1次方，二者相差很遠。因此降低該上界中x的方次將是一件很重要的事。1975年，蒙哥馬利(H. L. Montgomery)與沃恩證明存在一個小於1的正數δ，使得E(x)的上界是x的δ次方。1979年，潘承洞潘老師與陳景潤先生合作，證明了這個δ可以取0.99。按照陳景潤先生和潘承洞老師的思路，後來有很多人都改進了δ的值。目前最好的結果是李紅澤教授2000年得到的，δ可以取0.92。在廣義黎曼猜想之下，哈代和李特伍德證明了δ可取1/2。就是說，即使能夠證明廣義黎曼猜想，也不能進而推出哥德巴赫猜想。最近有人利用廣義黎曼猜想和L-函數零點分布的統計規律猜想，進一步推進了例外集合的上界，證明了E(x)不超過lo g x的平方。這與x的任何δ次方相比，log x增長都是很慢的。因此這結果指出，E(x)小於x的任何δ次方。但是畢竟也沒能證明哥德巴赫猜想。