從有理數通過柯西數列構造實數的過程

送交者: algtrd 2010年04月08日08:39:43 於 [教育學術] 發送悄悄話

儘量用“數學語言”。證明過程有跳躍（寫教科書還把證明步驟作為作業布置呢），點到為止，足夠看出沒有“循環論證”了。 定義（C1）：Xn都是有理數，任給一個e>0，e也是有理數，存在N，使得對任何m>N,n>N,|Xm-Xn| 定義（C0）：Xn都是有理數，任給一個e>0，e也是有理數，存在N，使得對任何n>N，|Xn| 定義（C2）：數列的四則運算是逐項運算。對於除法，有限項的除以0可以扔掉不管。 定理（C3）：C1-數列的和，差，積也是C1-數列。C0-數列的和，差也是C0-數列。C1-數列和C0-數列的積是C0-數列。 定義（R1）：兩個C1-數列，如果它們的差是C0-數列，他們就是等價的。 定義（R2）：所有C1-數列對於R1的等價類是一個集合，叫它R，俗稱“屎數”集合。根據定理（C3），R上有加，減，乘三則運算。通過把有理數等價於常數數列，可以把有理數集合看作R的子集。 定理（C4）：如果{Xn}是一個C1-數列，那麼它一定恰好滿足以下三個條件之一：   C4-1：{Xn}是一個C0-數列。   C4-2: 存在一個e>0，e是有理數，和一個N，使得對任何n>N，Xn>e。   C4-3: 存在一個e<0，e是有理數，和一個N，使得對任何n>N，Xn 證明概要：可以先看條件C4-4：存在一個e>0，e是有理數，和一個N，使得對任何n>N，|Xn|>e。用C1-數列的定義證明：如果C4-4不滿足，那麼必然滿足C4-1。如果C4-4滿足，那麼C1-數列的定義可以推出必然是C4-2或C4-3中的一個。 推論（R3）：對於R里的兩個元素X,Y（即兩個C1-數列{Xn},{Yn}的等價類），可以根據它們的差{Xn-Yn}滿足C4的哪一個條件來定義X=Y,X>Y,X 推論（R4）：如果{Xn},{Yn}是兩個C1-數列，而{Yn}不是C0-數列，那麼{Xn/Yn}就是C1-數列。於是“屎數”R的集合就有了除法，成為一個域。 推論（C5）：如果{Xn},{Yn}是兩個C1-數列，而{Xn-Yn}不是C0-數列，那麼一定存在一個常數有理數Z，和一個N，使得對任何n>N，如果{Xn-Yn}滿足（C4-2）則Xn>Z>Yn，如果{Xn-Yn}滿足（C4-3）則Xn 推論（R5）：在“屎數”R的集合里，如果X,Y不相等，那麼一定有一個有理數Z在它們之間。也就是說，有理數在“屎數”里是密集的。 定義（R6）：Un都是R的元素，任給一個e>0，e是有理數，存在N，使得任何m>N,n>N,|Um-Un| 定理（R7）：如果{Un}是R里的R6-數列，那麼存在R里唯一的元素V，使得：任給一個e>0，e是有理數，存在N，使得任何n>N,|Un-V| 證明概要：為每個Un找一個C1-數列{Xm}n。構造Vn=Xnn。先證明{Vn}是C1-數列。再證明這個{Vn}滿足定理的要求。對於唯一性，如果有兩個不同的{Vn},{Wn}滿足定理要求，他們都是C1-數列，他們的差就是C0-數列，等價類就是0. 總結（R8）：這樣，“屎數”域就造好了。它的性質是：包含有理數域，每一個元素都能用一個有理數的柯西數列逼近；有排序關係；是完備的，每一個柯西數列都收斂於一個元素。 為什麼它就是“實數”域呢？因為有域的同構概念：兩個域的集合元素之間有一一對應關係，這個對應保持四則運算不變。對於有排序關係的域，還能保持排序不變。很容易證明：包含自然數的最小的域一定同構於有理數域。滿足R8那些性質的域之間一定同構。 為什麼要花那麼大力氣從柯西數列來定義實數呢？ 首先，其它的實數定義方法也要花力氣。比如用十進制小數定義，要嚴格地證明完備性也是要花力氣的。 根本的原因是這個方法是很容易擴充的。比如，柯西數列的定義其實不需要數的完全的排序，只要有一個絕對值的概念就行。平常的絕對值，|20|=|-20|=20.但是有一類“p-進絕對值（p是一個質數）”。|20|_2=1/4，而|20|_5=1/5。如果把所有的柯西數列的定義改成某個p-進絕對值，那樣就造出了全新的“p-進數”。同樣，也不一定需要是數的序列，在任何一個幾何空間上如果定義了距離概念，就可以把它完備化。

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