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天蓉:兇猛海盜如何分金?
送交者: 天蓉 2011年11月27日07:46:14 於 [教育學術] 發送悄悄話

  1999年的《科學美國人》雜誌中,Ian Stewart談到一個兇猛海盜如何分金的邏輯問題:

  海盜,給我們的印象是一夥在海上搶人錢財,奪人性命的亡命之徒,哈哈,怎麼也想不到他們的思維方法還能夠與當今熱門的《博弈論》聯繫起來。也許,這又是數學家或經濟學家們借用他們的彪悍形象來聳人聽聞吸引眼球的方法吧。

  據說海盜是世界上最民主的團體,凡事都定好規矩,投票解決。船上的唯一懲罰方法,就是被丟到海里去餵魚。Ian Stewart提出的問題是:假設現在船上有N個海盜,將要如何分配搶來的M枚金幣呢?應該是由這N個海盜輪流提出方案,然後大家投票來解決。具體地說,讓我們考慮10個海盜分100枚金幣的問題。

  數學家們慣用的伎倆就是在解決問題之前作一系列的假設。對這個問題也是如此。他們對‘海盜’及‘投票’作了如下幾點假設:

  首先,對方案投票的原則:一人一票,如果有50%或以上的海盜同意這個方案,那麼就以此方案分配,如果少於50%的海盜同意,那麼這個提出方案的海盜就將被丟到海里去餵魚。

  在則,提出方案的先後次序:由每個海盜的兇猛性來決定。每個海盜的兇猛性不一樣,所以,我們首先按兇猛性從低到高來排列這10個海盜:P1,P2,P3,P4,……也就是說:P10首先提出分配方案,然後投票。如果方案通過,則分配,否則,P10被丟到海里餵魚,P9提出分配方案,投票,……依此類推。

  然後,對‘海盜’的假設:海盜除了兇猛性不一樣之外,思維方式完全一樣。就像是固定程序編進了腦袋中的機器人海盜。哈哈,這又是不現實的,是數學家們措手無策無可奈何時作的假設:

  1) 每個海盜都不願意自己被丟到海里去餵魚;

  2) 每個海盜希望自己能得到儘可能多的金幣;

  3) 每個海盜在不損害自己利益的前提下,他會儘可能投票讓自己的同伴餵魚;

  4) 每個海盜都是除了自己誰都不相信;

  5) 每個海盜都會正常的邏輯思維。

  那麼現在,如果有10個海盜要分100枚金幣,將會怎樣?

  10個海盜太多了,讓我們先考慮只有2 個海盜P1和P2的情況:P2比較兇猛。他的最佳方案當然是:他自己得100枚金幣,P1得0枚。投票時他自己的一票就足夠50%了。因此,這時的分配方案就是P2的最佳方案:P1(0)、P2(100)。

  再考慮有3個海盜P1、P2、P3的情況:P3最兇猛。他最希望的最佳方案當然是自己得100枚金幣,P1、P2得0枚。但是,這個方案投票時P1、P2不會同意,他自己的一票不夠50%,他會被丟去餵魚。因此,他必須拿出最少數量的金幣作出妥協,以避免餵魚的命運。他想,如果他被丟去餵魚的話,P1、P2面對的情況就是剛才分析過的兩人情況,解決方案將會是P1(0)、P2(100),那時,P1什麼也得不到。只要他給1枚金幣給P1,就能得到P1的支持而免於自己餵魚。所以,最後P3提出的方案,被P3+P1超過50%通過的方案應該是:P1(1)、P2(0)、P3(99)。

  同樣的推理方法,可以用來考慮有4個海盜P1、P2、P3、P4的情況:P4最兇猛。他的妥協方案應該是拿出1枚金幣給在後來的情況下什麼也得不到的P2,他就能得到P2的支持而免於自己餵魚的命運。所以,最後P4提出的方案,被P4+P2等於50%通過的方案應該是:P1(0)、P2(1)、P3(0)、P4(99)。

  依此類推到10個海盜的情況,答案應當是:

  P1(0) 、P2(1)、 P3(0)、 P4(1) 、P5(0)、 P6(1)、 P7(0)、 P8(1)、 P9(0) 、P10 (96)

  提出這個“兇猛海盜如何分金”問題的有趣點在於:如果將上面的幾條假設作一點點改變的話,答案會如何改變呢?

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