“無窮大”到底有多大？　

－－　祝網友們聖誕新年“無窮大地”愉快！　

關鍵詞：　無窮大，集合，範疇，連續統假設，可算性理論，量子計算機，量子算法。

在這篇日誌里，我想說說數學中的無窮大是什麽意思。這是數學中一門叫做“集合理論”裡面的東西，屬於純數學；恐怕有點哲學的味道。有網友談起要學文，我覺得文理都要學。我講的這個無窮大概念或許有助於對我們思維的挑戰。　

提到文理，本人覺得文類中最講究思辨的應該是哲學與社會學。文學應該算是大眾的讀物，政治學則可算應用社會學。歷史這一科好像也是技術，因為它是文學以及社會學還有政治技術等等的應用。理科中講思辨的是理論數學，物理，理論化學，生物學。“政治學”這個名稱似乎就有點問題，或許應該叫做“政治技術”或藝術更恰當。而應用數學與工農藝園林醫護衛等等都可算作技術，部分是學問大部分則是技術。當然具體做的人可能經常要兩邊涉及，比如統計學算是應用數學，但做統計學的人有可能主要做統計學理論研究而不是應用。

要談無窮大，我們必須先從集合的概念說起。這個概念看起來很簡單，就是數學中一堆東西的群體。但是由於邏輯的嚴格定義數學中必須先定義比集合更廣義的東西，叫做範疇。然後，集合定義為範疇中的一個個體。大家可能感到奇怪，但是請不必深究，知道數學中這麼個簡單的東西還需要費勁地定義就行了。只是做純數學研究的人，為了提高素養或許必須懂得這一點。

我們主要來說說“無窮大”。或許受過一定教育的人都知道，常用的數字系統中有無窮個自然數。這是指一二三四五，一直數到無窮。這個所有自然數的整體叫做自然數的集合，或者自然數集。這個無窮在數學中記號是“阿涅夫０”，我們這裡用ｘ來表示。　

再看下一個例子，那就是任何一段直線上有無窮個點。這一點在直觀上應該不是太難理解。先請考慮，把一段線像橡皮筋那樣拉長，這上面的點是否增加了？　答案是沒有。這麼個拉長即使拉到無窮長，也還是沒有增加點的個數。這個無窮在數學中記號是“阿涅夫１”，這個拉到無窮長的直線就是數學中數軸的原型。我們用ｙ來表示這個無窮。

想象一下在無限長的線上，我們可以每隔一段固定的距離寫上一個自然數。這每一個自然數就占據了一個點。因此，我們不難得出自然數的個數比直線上點的個數要小些的直觀理解。也就是說“阿涅夫０”小於“阿涅夫１”。如果你覺得有意思，那麼我就告訴你一個奇怪的數學結果。如果把２做“阿涅夫０”次方，那麼得到的結果是“阿涅夫１”。

按照我們用ｘ和ｙ的約定，這個結果就是２的ｘ次方等於ｙ；或者　2^x = y。如果把ｘ和ｙ之間的這個關係照推，可以依次推下去，倒是有無窮個“無窮大”。注意ｘ和ｙ本來都是“無窮大”，但是他們一個大一個小，而且還有這麼個關係。這自然地出來一個新問題，在這兩個無窮大之間是不是還有其他的無窮大呢？猜測是在ｘ和ｙ之間沒有其他的無窮大了。但是迄今為止既無法證明也無法否定，所以中間沒有其他無窮大的結論叫做“連續統假設”。

不過這很可能是純數學中的一個極端例子，基本是屬於數理邏輯的範疇了。在１８世紀時很多類似的問題已經早被解決了，剩下的比如“連續統”的問題只有極少數數學家仍然在進行研究。

在這篇日誌的結尾，我想說一下為什麽要進行這種研究。舉一個可能的例子，那就是這種研究與計算機可算性理論有關係。可算性理論在當今互聯網的推動下，成了一個非常熱門的研究領域。由於計算機網絡安全與密碼系統對國家安全與銀行賬戶等等的極端重要性，近來製造量子計算機的可能性引起了世界上各大國的相當重視。這種研究一般都是在保密的情況下進行，所以不清楚到底有多少人在做。據猜測，全世界大概至少有幾千名數學家與計算機理論學家在進行這方面的研究。這就又產生了兩門新學科：一門叫做量子可算性理論，一門叫做量子算法。　

註：本人的研究領域與此只有少許接觸，集合論還是在大學裡業餘自學的。寫這一篇日誌，是想給作為家長的網友一個非常粗略的印象。或許這可以用來解釋，為什麽學數學的人對哲學也有一點點興趣。