從“M(N)-抽獎”看平等得獎機率

在這裡我介紹一個可以叫做“M(N)-抽獎”的賭博機率問題。　這裡的M是一個正整數或者自然數，N是一個不超過M的正整數。我們用｛１，２，……，M｝表示從１到M的所有M個自然數的集合，這裡花括號用來表示集合;這是一個國際通行的標準數學記號。“M(N)-抽獎”的玩法是，從這個集合｛１，２，……，M｝中隨機地抽出N個數字。如果兩個數字之間的差是１，我們說他們是相鄰的兩個數。得獎的規則是：如果得到的結果中沒有任何兩個相鄰的數字，那麼就是贏家。　

比如，M＝３，N=３的情形；　也就是說我們考慮“３（３）-抽獎”。　這裡總共只有三個數字，選出三個數字，當然只有一個選法。那就是所有前三個自然數的集合｛１，２，３｝；在這個選擇中，１與２挨着，２與３挨着，所以不符合得獎的條件；得獎的可能性是０。

我們再看“３（２）-抽獎”的情形。從｛１，２，３｝中間選出兩個數字，結果有｛１，２｝，｛１，３｝，｛２，３｝三種可能。其中只有｛１，３｝符合沒有相鄰數字的條件。成功率為１／３，或者三分之一。　

問題１：在“４（２）-抽獎”中，寫出所有的可能選擇。　

問題２：在“４（２）-抽獎”中，寫出所有的成功結果。

問題３：在“３（１）-　和　５（２）-等兩個抽獎”中，成功的可能性有多大？

前面的問題可以給小孩子玩一玩，或許可以激發他們對數字的興趣。可能令大家驚奇的是，下面的問題居然是不久前才被德國某大學兩位教授解決的問題。

問題４：　除了“4（２）-抽獎”以外，還有沒有平等機會的抽獎？ 找出答案並給予證明，大慨可算作數學系大學生的一篇好論文；儘管篇幅可能只需要兩三頁紙。這個結論是一篇在２０１１年剛剛發表在歐洲一本數學學術雜誌上的文章中的一小部分結果。還有很多緊接着的問題可以作為數學系與計算機系的碩士論文甚至博士論文材料。

註：　記得有一次談到民主的機會均等的時候，昭君的一段評論啟發我寫了“民主是願賭服輸嗎？”的一篇微博。如果用這裡的例子，從數學上可以嚴格地說，機會均等是很難做到的。因為從千千萬萬個不同的”M(N)-抽獎”中，我們（人類）剛剛在２００９年（２０１１年發表）嚴格地證明了只有“４（２）-抽獎”中得獎的機會是平等的。我是這篇文章的評論員，所以“假公濟私”寫這一篇日誌獻給萬維的網友們。

附：

問題１的答案：　

｛１，２｝，　｛１，３｝，　｛１，４｝，　｛２，３｝，　｛２，４｝，　｛３，４｝；這裡一共有６種可能性。

問題２的答案：　

｛１，３｝，　｛１，４｝，　｛２，４｝；共有３種成功的可能性。

問題３的答案：　

６種可能性中有３種得獎的可能性；　成功的機率為３／６＝１／２＝５０％。

問題４的答案：

在“３（１）-抽獎”中，沒有成功的可能性，成功率為０。

在“３（２）-抽獎”中，有３種可能性，其中成功的可能只有１種；成功率為１／３。

在“５（２）-抽獎”中，有３／５＝６０％的成功率。

問題４的答案：　

“４（２）-抽獎”是唯一使成功機率為１／２的此類抽獎，任何其他此類抽獎都不可能得到５０％的成功機會。　

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