一提起數學競賽，人們腦海里就會浮想起這樣的場面：考場裡鴉雀無聲，監考老師警惕的目光掃視全場。年輕的數學尖子們坐在各自的書桌前，時而冥思苦想，時而奮筆疾書，希望能找到那一道道數學難題的正確答案。而那正確答案早已經由出題的專家們做出來，正鎖在某—個保險柜裡。

數學建模競賽，或稱數學模型競賽，是不是也是這樣的場面呢？你最好還是先到它的考場去見識見識吧。且慢！它並沒有一個固定的考場。那麼，參賽的選手們在哪裡做題呢？到哪裡去找他們呢？你可以到圖書館去試試，他們也許正在那裡查閱資料，在那堆積如山的書堆中翻來翻去，希望從浩瀚的書海中打撈到自己需要的寶貝，你也可以到計算機房去看看，或許他們正在熟練地操縱着鍵盤，聚精會神地注視着計算機屏幕，屏幕上閃爍着的那些枯燥無味的數字和符號，簡直就像偵探片、武打片或世界懷足球賽那樣能抓住他們的心，讓他們或欣喜若狂，或目瞪口呆，或頹喪萬分。旁邊居然還有一個選手在打瞌睡，小心別吵醒他，他已經連熬了兩個通宵了！那邊是誰在吵架？不，那是另外一隊的選手在討論問題，七嘴八舌，各有各的主意，要把這些互相衝突的意見統—在同一份答卷里可真是不容易，交卷的時間快到了，不再有爭吵的聲音，打印機均勻的嚓嚓聲在選手們的耳朵里好像是世界上最美妙的音樂，他們打着哈欠檢查着打印機吐出的—頁頁印刷精美的作品。你要間他們現在最想幹的事情是什麼，地們一定異口同聲地回答：“睡覺！”

這像是考試嗎？像數學競賽嗎？又是翻書查資料，又是相互討論，到處跑來跑去也沒人管，哪裡還有一點考試的體統呢？不像考試像什麼？也許你會想到，這有點像是一個科研課題組在突擊完成一項任務。這算說對了。參賽選手們自己也這樣說：“這不像是在考試，而像是在幹活。”但它確實也是考試，是另一種形式的考試，姑且說是幹活的考試吧，就是考一考誰千活幹得更好。

再來看一看競賽的題目吧，看它出了些什麼樣的數學題。以1993年我國大學生數學建模競賽為例，它出了兩個題，讓每個參賽隊選作其中一個。一個題是要為我國12支甲級足球隊排名次，做這個題的選手們面對這些足球勁旅的比賽成績評頭品足，儼然是國家體委的官員或體育界的專家。另一個題目是衛星通訊的頻率設計，你會懷疑是不是把無線電知識競賽題誤寄到這裡來當數學競賽題了。再翻一翻以前各屆國內外競賽試題，就更是五花八門了。有動物保護、施肥方案、通訊網絡，昆蟲分類、藥物擴散的規律、抓走私船的策略、飛機場的管理、蛋自質分子的結構、供電系統的修復、堆肥的製作、運煤車場的計劃安排、應急設施的選址，等等。你說這是數學競賽題呢，還是物理、化學、電子、生物、醫學、農業、企業管理的競賽題呢？

數學建模競賽就是這樣。它名曰數學，當然要用到數學知識，但卻與以往所說的那種數學競賽（那是純數學競賽）不同。它要用到計算機，甚至離不開計算機，但卻不是純粹的計算機競賽，它涉及物理、化學、生物、醫學、電子、農業、管理等各學科、各領域的知識，但也不是這些學科、領域裡的純知識競賽，它涉及各學科、各領域，但又不受任何一個具體的學科、領域的局限。它要用到各方面的綜合的知識，但還不限於此．選手們不只是要有各方面的知識，還要有駕馭這些知識，應用這些知識處理實際問題的能力。知識是無止境的，你還必須有善於獲得新的知識的能力。總之，數學建模竟賽，既要比賽各方面的綜合知識，也要比賽各方面的綜合能力。它的特點就是綜合，它的優點也就是綜合。在這個意義上看，它與任何一個學科領域內的純知識競賽都不相同的特點就是不純，它的優點也就是不純，綜合就是不純。

純數學競賽，如中學生的國際數學奧林匹克競賽，或美國大學生的普特南數學競賽，已經有很長的歷史，也為大家所熟悉。特別是近若干年來我國選手在中學生國際數學奧林匹克競賽中年年取得好成績，更使這項競春在我國有很高的知名度，在全國各地的質量較高的中學中廣泛開展。純數學競賽主要考核選手對數學基礎知識的掌握情況、邏輯推理及證明的能力和技巧、思維是否敏捷、計算能力的強弱等。試題都是純數學問題，考試方式是閉卷考試。參賽學生在規定的時間（一般每試為三小時）內獨立做題，不准交頭接耳相互討論，不准看任何書籍和參考資料，不准用計算機或計算器。考題都有標準答案。當然，選手的解答方法可以與標準答案不同，但其解答方法的正確與否也是絕對的，特別是計算題的得數一定要與標準答案相同。考試結果，對每個選手的答卷給出分數，按分數高低來判定優劣。儘管也要對參賽的團體（代表一個國家、地區或學校）計算團體總分，但這個團體總分也是將每個團體的選手得分加起來得到的，在比賽過程中同一團體的選手們絕對不能互相幫助。因此，這樣的競賽從本質上說是個人賽而不是團體賽。團體要獲勝，主要先靠每名選手各自的水平高低，而不存在互相配合的問題（當然在訓練過程中可以互相幫助）。這樣的競賽，對於吸引青年人熱愛數學從而走上數學研究的道路，對干培養數學家和數學專門人才，起了很大的作用。

隨着社會的發展，數學在社會各領域中的應用越來越廣泛，作用越來越大，不但運用於自然科學各學科、各領域，而且滲透到經濟、軍事、管理以至於社會科學和社會活動的各領域。但是，社會對數學的需求並不只是需要數學家和專門從事數學研究的人才，而更大量的是需要在各部門中從事實際工作的人善於運用數學知識及數學的思維方法來解決他們每天面臨的大量的實際問題，取得經濟效益和社會效益。他們不是為了應用數學知識而尋找實際間題（就像在學校里做數學應用題），而是為了解決實際問題而需要用到數學。而且不止是要用到數學，很可能還要用到別的學科、領域的知識，要用到工作經驗和常識。特別是在現代社會，要真正解決一個實際問題幾乎都離不開計算機。可以這樣說，在實際工作中遇到的問題，完全純粹的只用現成的數學知識就能解決的問題幾乎是沒有的。你所能遇到的都是數學和其他東西混雜在一起的問題，不是“乾淨的”數學，而是“髒”的數學。其中的數學奧妙不是明擺在那裡等着你去解決，而是暗藏在深處等着你去發現。也就是說，你要對複雜的實際問題進行分析，發現其中的可以用數學語言來描述的關係或規律，把這個實際問題化成一個數學問題，這就稱為數學模型，建立數學模型的這個過程就稱為數學建模。模型這個詞對我們來說並不陌生，它可以說是對某種事物的一種仿製品。比如飛機模型，就是模仿飛機造出來的。既然是仿造，就不是真的，只能是“假冒”。是“假冒”，但不能是“偽劣”，必須真實地反映所模仿的對象的某一方面的屬性。如果只是模仿飛機的模樣，這樣的飛機模型只要看起來像飛機就行了，可以擺在展覽館供人參觀、照相，但不能飛。如果要模仿飛機的飛行原理，就得造一個能飛起來的飛機模型，比如航空模型比賽的作品，它在空氣中的飛行原理與飛機有相似之外，但當然不像飛機那樣靠燒燃料來飛行，外觀上也不必那麼像飛機、至少不必有真的飛機那麼大。可見，模型所模仿的都只是真實事物的某一方面的屬性。而數學模型，就是用數學語言（可能包括數學公式）去描述和模仿實際問題中的數量關係、空間形式等。這種模仿當然是近似的，但又要儘可能逼真。實際問題中有許多因素，在建立數學模型時你不可能、也沒有必要把它們毫無遺漏地全部加以考慮，只能考慮其中的最主要的因素，捨棄其中的次要因素。數學模型建立起來了，實際問題化成了數學問題，就可以用數學工具、數學方法去解答這個實際問題。如果有現成的數學工具當然好。如果沒有現成的數學工具，就促使數學家們（也包括建立數學模型的人）尋找和發展出新的數學工具去解決它，這又推動了數學本身的發展。例如，開普勒由行星運行的觀測數據總結出開普勒三定律（這就是行星運行的數學模型），牛頓試圖用自己發現的力學定律去解釋它，但當時已有的數學工具是不夠用的，這促使了微積公的發明。求解數學模型，除了用到數學推理以外，通常還要處理大量數據，進行大量計算，這在電子計算機發明之前是很難實現的。因此，很多數學模型，儘管從數學理論上解決了，但由於計算量太大而沒法得到有用的結果，還是只有束之高閣。而電子計算機的出現和迅速發展，給用數學模型解決實際問題打開了廣闊的道路。而在現在，要真正解決一個實際問題，離了計算機幾乎是不行的。數學模型建立起來了，也用數學方法或數值方法求出了解答，是不是就萬事大吉了呢？不是。既然數學模型只能近似地反映實際問題中的關係和規律，到底反映得好不好，還需要接受檢驗，如果數學模型建立得不好，沒有正確地描述所給的實際問題，數學解答再正確也是沒有用的。因此，在得出數學解答之後還要讓所得的結論接受實際的檢驗，看它是否合理，是否可行，等等。如果不符合實際，還應設法找出原因，修改原來的模型，重新求解和檢驗，直到比較合理可行，才能算是得到了一個解答，可以先付諸實施。但是，十全十美的答案是沒有的，已得到的解答—定還有改進的餘地，還可以根據實際情況，或者繼續研究和改進；或者暫時告一段落，待將來有新的情況和要求後再作改進。

上面所說的建立數學模型來解決實際問題的過程，是各行各業各領域大量需要的，也是我們的學生在走上工作崗位後常常要做的工作。做這樣的事情，所需要的遠不只是數學知識和解數學題的能力，而需要多方面的綜合知識和能力。社會對具有這種能力的人的需求，比對數學專門人才的需求要多得多。因此，作為教育部門，在學校里就應當努力培養和提高學生在這方面的能力。當然有多種形式來達到這個目的。比如開設數學模型方面的課程；讓學生多接觸實際工作，得到鍛煉，等等。但是，既然開展數學競賽能促進數學研究專門人才的培養，那麼為什麼不可以開展一項競賽來促進數學應用人才的培養呢？

數學建模競賽就是這樣的競賽。

正是由於認識到培養應用型數學人才的重要性，而傳統的數學競賽不能擔當這個任務，從1983年起，在美國就有一些有識之士開始探討組織一項應用數學方面的競賽的可能性。經過論證、爭論、爭取資助的過程，終於在1985年開始有了美國的第一屆大學生數學建模競賽，簡稱MCM（1987年以前的全稱是Mathematical Competition in Modeling，1987年改為Mathematical Contest in Modeling，其縮寫均為MCM）。競賽由美國工業與應用數學學會和美國運籌學會聯合主辦。從1985年起每年舉行一屆，在每年的二月下旬或三月初的某個星期五到星期日舉行，到1996年已舉行了12屆。

這項競賽的宗旨是鼓勵大學生運用所學的知識（包括數學知識及其他各方面的知識）去參與解決實際問題的全過程。這些實際問題並不限於某個特定領域，可以涉及非常廣泛的、並不固定的範圍。這樣來促進應用人才的培養。

比賽的形式：比賽是真正的團體賽，每個參賽隊由三人組成，在規定的三天時間內共同完成一份答卷。每個參賽隊有一個指導教師，在比賽前負責培訓並接受考題，將考題在規定的時間發給學生，然後由學生自行做題，教師不得參賽。每次的考題只有兩個題，都是來自實際的問題或有強烈實際背景的問題，沒有固定的範圍，可能涉及各個非常不同的學科、領域。每個參賽隊從這兩個考題中任意選做一個題。參賽隊的三名隊員可以相互討論，可以查閱資料，可以使用計算機和計算機軟件。一言以蔽之：可以使用任何非生命的資源，但不允許三人以外的其他人（包括指導教師）幫助做題。參賽隊的答卷應是，一篇完整的論文，包括對所選問題的重新闡述、對問題的條件和假設的闡明和必要補充甚至修改、對為什麼要用所述模型的分析、模型的設計、對模型的測試和檢驗的討論、模型的優缺點等，還要有一個不超過一頁的論文內容的摘要。

比賽的結果：專家們在評卷時並不對論文給出分數，也不採用“通過”、“失敗”這種記分，而只是將論文分成一些等級：Outstanding（中國人稱它為特等獎）、Meritorious（一等獎〕、Honorable Mention（二等獎）、Successful Participation（成功參賽獎）。評卷的標準並不是看答案對不對，而主要看論文的思想方法好不好，以及論述是否清晰。Outstanding的論文作為優秀論文在專業雜誌上發表。而所有參賽的隊員和教練都能得到一張獎狀。

翻開已發表的MCM的優秀論文，你會發現：同一個考題的幾篇優秀論文甚至連答數都不一樣，卻同樣都優秀；優秀論文甚至被專家的評閱意見指出一大堆毛病，卻仍不失為優秀。在這裡，正確和錯誤是相對的，優秀和不優秀也是相對的。這在純數學競賽中是不可思議的。但既然數學建模賽是考察解決實際問題的能力，那就一切都以解決實際問題的過程為準。解決實際問題需要查資料，需要使用計算機，需要課題組的人相互交流和討論，因此數學建模競賽也就允許使用這些“非生命的資源”。同樣，實際問題的解決，常常沒有絕對的正確與錯誤，也沒有絕對的優秀，數學建模競賽也就這樣，但這並不是說數學建模競賽就沒有是非和好壞的標準。論文中各種不同意見、不同答案可以並存，只要能夠言之成理。但如果你像解答純數學題那樣去做，只有數學公式和計算，而不講清實際問題怎麼變成數學公式，也不讓計算結果再接受實際檢驗，即使答案正確，論文也很難評上好的等級。這是因為，它不是數學競賽，而是數學建模競賽，它看重的是三個步驟：

1、建立模型：實際問題→數學問題；

2、數學解答：數學問題→數學解；

3、模型檢驗：數學解→實際問題的解決。

如果你只重視中間一個步驟（一般初參賽的時候容易犯這個錯誤），而對第一和第三這兩個步驟不予重視，那就違背了數學建模競賽的宗旨，當然就不能得到好的結果了。為什麼要叫數學建模競賽？就是因為它賽的是建立數學模型，而不只是比賽解答數學模型。—般也把它叫做數學模型賽，這也沒有什麼不對。但“模型”是“建模”的結果，而“建模”是建立模型的過程。競賽的宗旨更強調的是建立數學模型這個過程，認為過程比結果更重要。所以，在競賽中允許將未能最後完成的建模過程、未能最後實現的想法寫成論文，參加評卷。雖然你的模型還沒能最後建立起來，但只要想法有價值，己經開始了的建模過程有合理性，就仍然是有可取之處的論文。這充分體現了競賽對建模過程的重視。從這點上說，把它稱為“數學建模競賽”比“數學模型競賽”更貼切些。何況，它的英文名稱MCM中的最後一個M是Modeling而不是Model。如果用Model，是名詞，是指建立起來的模型。而Modeling是由動詞Model變成的動名詞，是指建立模型的過程，因此翻譯成建模也更恰當些。（註：關於“模型”與“建模”的區別，這裡採用的是北京理工大學葉其孝教授的觀點。）

美國的MCM雖然只是美國的國內賽，但它歡迎其他國家的大學組隊參加，而且有越來越多的國家的大學參加這一競賽。因此，在某種意義上它已經是國際性的競賽，我國最早是在1989年有北京的三所大學組隊參加美國的MCM競賽。到後來，我國參加MCM的學校越來越多。經過醞釀、籌備和在一些城市試辦，從1992年開始由中國工業與應用數學學會舉辦我國自己的全國大學生數學模型競賽（CMCM），國家教委對這項活動十分重視，決定從1994年起由國家教委高教司和中國工業與應用數學學會共同舉辦，每年一次，我國自己的MCM雖然舉辦的時間還不長，但發展非常迅速。在1995年的競賽中，全國就共有259所高校、1234個隊、3702名學生參加。可以預料，MCM在我國將得到更加蓬動、健康的發展。