第二十章﹕混沌魔鬼‘不穩定’

王二正在總結他的演講，談到他計劃中的畢業論文課題：

“你們知道，我們這個由各類生物群體組成的大千世界，盤根錯節、繁雜紛紜；天下萬物，互相制約、互相依存；自然界中形形色色的動植物不停地出生、繁殖、變化、死亡，時而大浪淘沙、優勝劣汰；時而又相輔相成、維持平衡。在永不間斷的爭爭鬥斗、生生死死中, 各種生物群體的數目變化莫測，有時侯表現一定程度的周期性, 有時侯又貌似一片混沌，的確有些類似於上兩章中所研究的邏輯斯蒂方程的解的行為。我正在想，用邏輯斯蒂方程為基礎，是否可能找出一個描述包括多種生物競爭，群體數如何變化的生態模型來……”

王二的想法引起了好幾個生物相關專業學生的興趣，他們聚在一起開始熱烈討論生態學的問題。

其實，邏輯斯蒂方程不僅在生態研究方面意義重大，在別的領域也有諸多應用。是啊，邏輯斯蒂映射看起來太簡單了，只有1個變量，1個方程，卻能表現出混沌系統的種種特徵。還記得我們曾經討論過的其它混沌系統，比如洛倫茨系統和三體問題嗎？相對於它們的原始問題來說，最後的方程也算夠簡單了，但是，仍然有三個變量、三個微分方程。

混沌理論的老祖宗龐加萊曾經提出一個定理，稍後被瑞典數學家本迪克松證明，說的是混沌現象只能出現在三維以上的連續系統中。但這個定理不適用於離散系統，邏輯斯蒂迭代方程所描述的就是一個特別簡單的1維離散系統。混沌魔鬼在這個簡單系統中輕巧地跳出來，成為混沌研究者們的最愛。

李四對此深有體會，因為他正在做一個與流體力學、湍流等有關的課題，涉及的系統很複雜。當系統維數太多想不清楚時，李四就總是回到最簡單的一維邏輯斯蒂方程，用圖形的方法來考慮問題，感覺容易多了。不過，張三今天卻說：

“總的來說，1個變量的確比3個變量簡單很多。不過，有時候，3維的圖像也挺直觀的。比如說你看，當我用計算機畫奇異吸引子的時候，畫出來的洛倫茨吸引子多漂亮！洛倫茨方程的解，是隨時間變化而無限繞下去、卻又永不重複的軌道，在三維空間中畫出來，好像一隻翩翩起舞、展翅欲飛的蝴蝶。可是，這個邏輯斯蒂方程的吸引子，用圖形表示就不好看了。”

張三的說法不無道理。對邏輯斯蒂方程來說，每個不同的k值都有一個吸引子，在‘平衡’區域，吸引子是1個固定點；在‘雙態平衡’區域，吸引子是2個固定點；在‘多態平衡’區域，吸引子是多個分離的固定點；而在‘混沌’區域，吸引子是連成一片的點；最後的狀態在這些點無規律地蹦來蹦去，到底是如何蹦的？分岔圖上對具體過程顯示得並不清楚。不過，我們可以用如圖（20.1）所示的邏輯斯蒂迭代圖，清楚地看到在不同k值下，迭代過程中x_n的收斂情形。

圖（20.1）中，標為紅色的是迭代的最後過程。圖中的拋物線對應於邏輯斯蒂方程右邊的非線性迭代函數（x_n+1 = kx_n·（1-x_n））。

從左向右看：第一個小圖中的x_n最後收斂於一個紅點；第二個小圖中的x_n最後收斂於一個紅色矩形，標誌着有兩個不同的x值；而第三個小圖中的x_n最後收斂的紅色區域，是在4個不同的x值中循環；最右邊的‘混沌’情況，大家一看圈來圈去的紅色曲線便明白了：有點類似於洛倫茨的蝴蝶圖了，這是魔鬼現身的表現！

圖（20.1）：不同k值下的邏輯斯蒂迭代圖

邏輯斯蒂系統還有一個少有的優點：它所對應的微分方程可以求得精確的解析解。而大多數非線性系統是無法得出精確解的，只能用迭代法來研究數值解的定性性質，以及解的穩定性。

混沌魔鬼的出現，與參數k的數值有關，k越大，魔鬼出現的幾率就越大。這其中有何奧秘呢？我們回到邏輯斯蒂方程描述的生態學，回憶一下參數k的意義是什麼？k是群體數的線性增長率，與出生率有關。想到這點，我們恍然大悟：如果k比較大，群體繁殖得太多了，數目增長太快，增加社會不穩定的因素，當然就容易造成混亂，令魔鬼現身囉。

圖（20.2）：不穩定和穩定

混沌的產生的確與方程的‘穩定性’有關，因此，我們有必要討論討論系統狀態的穩定性。哪種狀態是穩定的？哪種狀態是不穩定的？從圖（20.2）的左圖中一目了然，那是在重力場中‘穩定’和‘不穩定’的概念：對小圓球來說，坡頂和坡谷都是重力場中可能的平衡狀態。但是人人都知道，位於頂點的藍色球不穩定，位於谷底的紅色球很穩定。究其根源，是因為只要藍色球開始時被放斜了那麼一丁點兒，就會因不能平衡而掉下去。而紅球呢，則不在乎這點起始小誤差，它總能夠滾到谷底而平衡。用稍微科學一點的語言來說，穩定就是對初值變化不敏感，不穩定就是對初值變化太敏感。我們將這個意思發揮擴展到邏輯斯蒂方程上，考慮圖（20.2）的右圖中k=2.9時，即吸引子是一個固定點的情況。這時，邏輯斯蒂方程的解應該是圖中的拋物線和45度直線的交點，圖中的這兩條線有兩個交點。因此，除了固定吸引子x_無窮=0.66之外，x_無窮=0也是一個解。但是，在圖中所示的條件下，x_無窮=0.66是穩定的解，x_無窮=0卻是不穩定的解。為什麼呢？因為只要初始值從0偏離一點點，像圖中所畫的情況，迭代的最後結果就會一步一步地遠離0點，沿着綠色箭頭，最終收斂到x_無窮=0.66這個穩定的平衡點。

研究三體問題的大數學家龐加萊，是微分方程定性理論的始創者。有關微分方程解的穩定性問題，則由另一位數學家李亞普洛夫始開先河。亞歷山大·李亞普洛夫（1857-1918）是與龐加萊同時代的俄國數學家和物理學家。與穩定性密切相關的李亞普洛夫指數，便是以他命名。

如何來判定系統穩定與否？李亞普洛夫想，可以用對重力場中兩個小球是否穩定的類似判定方法。於是，他研究當初值變化一點點時，看看系統的最終結果如何變化，並以此來作為穩定性的判據。更具體地說，我們可以將系統的最終結果x_無窮表示成初始值x₀的函數，用圖形畫出來。然後，系統的穩定性取決於這個函數圖形的走向：它是更接近圖（20.3）中的哪一種曲線呢？是向下指數衰減（λ小於0）？還是向上指數增長（λ大於0）？還是平直一條（λ等於0）？第一種情況被認為是穩定的，第二種情況被認為是不穩定的，而λ等於0則是臨界狀態。這兒的λ便是李亞普洛夫指數。

圖（20.3）：指數函數的性質隨λ變化

圖（20.4）顯示的便是不同k值下，邏輯斯蒂系統的李雅普諾夫指數及對應的分岔圖，從中不難看出λ的符號變化與倍周期分岔的產生及混沌魔鬼出現之間的關係：k值比較小的時候，λ小於0，系統處於穩定狀態；從k=3.0開始，λ有時等於0，出現分岔現象，系統變到多態平衡，但仍然是穩定的，大多數時候，λ小於0；從k>3.57開始，λ開始大於0，系統不穩定，過渡到混沌。有趣的是，混沌魔鬼露臉後又經常躲藏起來。在λ大於0的區間中，λ的數值還經常返回到小於0的數值。也就是說，混沌有時又變成有序，這對應於分岔圖中（黃色圖像）中的空白地帶。

圖（20.4）：邏輯斯蒂系統的李雅普諾夫指數及對應的分岔情形