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關於近期Fano流形上構造Kähler-Einstein度量的工作

      最近公布的Fano流形上構造Kähler-Einstein度量的工作，是Kähler幾何近年來引人注目的進展，專家們正在驗證。若驗查無誤，將證明丘成桐關於Fano流形的構想與猜測是正確的。Donaldson的穩定性條件是其中的關鍵步驟，還需在代數幾何上把此概念搞清楚，這樣丘猜測就為深刻理解Fano流形奠定了基礎。由於近期發生了一些混淆不清的事件，我們將相關工作的公開記錄做了客觀、學術的分析，望有助于澄清事實。本文主要涉及文獻的比較，閱讀本文無需是專家，數學專業本科高年級學生或研究生可讀懂絕大部分。歡迎關於數學上的批評與指正。

            本文分三個部分：

1)        陳-Donaldson-孫的報告與文章

2)        田的報告與文章

3)        結論

 

I.                     陳-Donaldson-孫的報告與文章

  在最近的一系列文章中，陳秀雄-Donaldson-孫崧（CDS）宣布解決了Kähler幾何中懸置多年的問題。

丘成桐猜測：設M為一緊緻Kähler流形，其第一陳類為正。此流形上有Kähler-Einstein度量當且僅當流形是K-穩定的。

Kähler-Einstein度量在Kähler幾何的研究中和弦理論的研究中起極其重要的作用。陳類為零的情形的Calabi猜測在1976年被丘成桐解決，這類流形稱作Calabi-Yau流形，在弦論中是內稟空間的主要候選者。陳類為負的情形被丘成桐和Aubin解決。丘猜測的意義是回答了Kähler流形在陳類為正的時候（也稱為Fano流形）何時有Kähler-Einstein度量。

S-T. Yau. On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampere equation, I∗. Comm. Pure Appl. Math. 31. 339-441, 1978.

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/atiyah80.htm (Don-Atiyah, April 22, 2009)

http://www2.imperial.ac.uk/~skdona/KENOTES.PDF (Don-KEY, October 19, 2009)

http://www.math.northwestern.edu/calendar/complex_geometry_conference.html (Don-NW, October 24-27, 2009)

                http://xxx.lanl.gov/abs/1007.4220 (Don-Stab, July 23, 2010）

                http://xxx.lanl.gov/abs/1102.1196 (Don, February 6, 2011)

                http://xxx.lanl.gov/abs/1104.0270 (Don-Chen1, April 21, 2011)

                http://xxx.lanl.gov/abs/1104.4331 (Don-Chen2, April 21, 2011)

                http://xxx.lanl.gov/abs/1112.1594 （Don-Chen3, December 7, 2011）

                http://xxx.lanl.gov/abs/1206.2609 (Don-Sun, June 12, 2012)

http://xxx.lanl.gov/abs/1210.7494 (CDS, October 30, 2012)

http://xxx.lanl.gov/abs/1211.4566 (CDSI, November 19, 2012)       

http://xxx.lanl.gov/abs/1212.4714 (CDSII, December 19, 2012)

http://xxx.lanl.gov/abs/1302.0282 (CDSIII, February 1^st, 2013)

在陳類為正的情形，人們發現構造Kähler-Einstein度量有障礙。丘成桐意識到這類度量的存在與穩定性有關。這個想法受到他與Donaldson-Uhlenbeck合作的解Hermitian-Yang-Mills方程工作的啟發。

 S. T. Yau, Open problems in geometry, Problem 65, Proceedings of Symposia in Pure         Mathematics, Vol 54 (1993), AMS. 

“Ten years ago he [Yau] also shared with me his belief that the problem would be related to certain stability properties of the underlying manifolds.” (Tian’s response to receiving Veblen prize in 1996, http://www.ams.org/notices/199603/comm-veblen.pdf).

“The idea that the appropriate condition should be in terms of “algebro-geometric stability” was proposed by Yau about 20 years ago [20]” (CDS, p1)

“The conjecture was refined considerably by work of Tian in the 1990’s [14]…. In Tian’s original definition of K-stability the destabilising objects were projective varieties, smooth or mildly singular, with holomorphic vector fields. In the generalisation of [4] the destabilising objects were allowed to be general schemes with C^∗ actions. ” (Don-Stab, p2)

 “[14] Tian, G. Kahler-Einstein metrics of positive scalar curvature, Inventiones Math. 130 1-57 (1997)”

(Don-Stab, p26)

“[4] Donaldson, S. Scalar curvature and stability of toric varieties Jour. Differential Geometry 62 289-349 (2002)” (Don-Stab, p25)

田和Donaldson引入的K-穩定條件，儘管名稱一樣，有着本質的區別。Donaldson引入的K-穩定條件基於他發現的用Kodaira嵌入計算Futaki不變量，因而是純代數幾何的，也正是丘所期望的。田的K穩定條件則基於一個定義在無窮維空間上的泛函計算Futaki不變量。這樣田的條件允許的不穩定對象是一些射影簇，而Donaldson的則允許廣得多的對象。

Donaldson在Don-Stab中提出的K-穩定條件，是最後的證明中用到的條件。他在這篇文章里也給出了在自同構群可約的情形，構造不穩定構型的方法。這個步驟也是完成最終證明的一步。假定丘猜測是正確的，從代數幾何的角度更好地理解Donaldson引進的K-穩定條件，是深刻了解Fano流形的關鍵一步。

Donaldson在2009年暑期Atiyah會議上公布了解決此問題的方案(Don-Atiyah)。他建議用帶錐的Kähler-Einstein度量來構造Fano流形上的Kähler-Einstein度量，並一直與陳秀雄研究此問題。在丘成桐解決Calabi猜測的文章里引進並研究了這類度量。

“The case we have primarily in mind is when X is a Fano manifold, D is an anticanonical divisor and the metrics are Kähler-Einstein; the motivation being the hope that one can study the existence problem for smooth Kähler-Einstein metrics on X (as a limit when β tends to 1) by deforming the cone angle. … (omitted). In further papers with X-X Chen, we will study more advanced and sophisticated questions.” (Don, p1)

Donaldson-陳秀雄做了一系列工作為致力於解決丘猜測（Don-Atiyah，Don-KEY, Don-NW, Don-Chen I-III）。Donaldson-孫崧在2012年6月份的一篇文章 (Don-Sun) 也是導致解決丘猜測的重要一步。長期以來，人們困擾於一列Kähler-Einstein流形的Gromov-Hausdorff極限改變了復結構。這篇文章對於光滑的Kähler-Einstein流形，在適當的有界條件的限制下，證明存在收斂的子列，其極限是代數的。

2012年10月30日，陳秀雄-Donaldson-孫崧（CDS）公布了他們解決丘成桐猜測的概覽。丘成桐猜測在Donaldson的框架下，得到了解決。為解決此問題，需要若干關鍵的步驟和完成這些步驟的重要細節。這裡列舉其中的一些關鍵步驟。

在Donaldson解決此問題的框架下，需要將Don-Sun的工作拓展到帶錐的Kähler 流形。在CDS解決丘猜測的概覽中，他們給出了關鍵的步驟。這裡關鍵是引入好的切錐的概念。證明的細節見CDSII。

“We say such a tangent cone C(Y) is “good” if the following holds. For any η > 0 there is a function on Y supported in the neighborhood of the singular set S(Y), equal to 1 on some neighborhood of S(Y) and with the L² norm of its derivative less than η. One main technical result is that in fact all tangent cones are good. Given this, the arguments of [10] extend almost word-for-word.” (CDS p3-p4, [10] = Don-Sun)

在CDS中作者還給出了另一個關鍵性的步驟。完成這個步驟的詳細證明出現在CDSIII中。

“Case (3), which is the crucial issue, involves two main difficulties. (Case (2b) is covered by the same discussion.), … (omitted) However it is true, by the Luna Slice theorem and the Hilbert-Mumford theorem applied to a slice, if we know that the automorphism group of (W, Δ) is reductive. Thus we need to prove

• Aut(W, Δ) is reductive.

• The Futaki invariant Futβ∞  vanishes.” (CDS, p4-p5)

完成這些步驟，需要做一些實質性的工作，不能簡單地把光滑的情形搬過來。例如證明極限流形的自同構群的可約性，在帶錐的度量下，就出現了新的困難，不能做分部積分。過去的方法是證明李代數的可約性，在奇異的情形，人們必須引進新的方法，直接證明自同構群的可約性。新的方法用到丁泛函的凸性和次調和函數的性質。

“This is a variant of the standard Matsushima Theorem, which asserts that the  automorphism group of a manifold with a smooth Kähler-Einstein metric is reductive; the new feature being that the proof operates with the Lie groups rather than their Lie algebras.”(CDS, p6)

“One technical tool in the study of weak (conical) Kähler-Einstein metrics is the convexity of a functional defined by Ding [16], as discovered by Berndtsson [6].” (CDSIII)

II.                   田的報告與文章

Donaldson-Chen的系列工作(Don-Atiyah, Don-KEY, Don-NW, Don-Chen I-III) 為解決丘猜測建立了基本框架。Donaldson-孫菘工作的出現，使人們看到了在Fano流形上解決丘猜測的曙光。田開始加入，田在石溪的一次會議上宣稱解決了此問題。在報告結尾石溪數學系LeBrun教授問田的工作與Chen-Donaldson的工作有無聯繫，田回答說不知道他們的工作。下面我們看到田的文章基本上是按照Donaldson的綱領證明丘的猜測但缺乏關鍵的細節。田稱此問題為Folklore 猜測, 而1996年他在Veblen獲獎應答中明言丘先生10年前就告訴他此問題能否有解取決於流形的穩定性。田在KE的主要工作似都是在1997年以前做的。

http://www.math.sunysb.edu/Videos/Cycles2012/video.php?f=14-Tian (Tian-SB, October 25, 2012)

        CDS在2012年10月30日的一篇文章中公布了他們解決此問題的要點。CDS的全文分為三個部分公開。在CDS丘猜測的證明概要公布三周之後，田在網上公布了自己的文章，也宣稱解決了此問題。在CDS第二部分公布後，田公布了修改後的文章。

http://xxx.lanl.gov/abs/1211.4669 (Tian1, first version: Nov. 20, 2012, Tian2, second version: January 18, 2013) 

田的文章基於Donaldson提出的方案，但是缺少關鍵性的步驟和解決這些問題的細節。這幾個關鍵的步驟首次出現在CDS的證明概要文章中，解決這些問題的的細節則出現在CDS後面的三篇文章中。田在第一篇文章中加入了石溪報告中沒有的、出現在CDS中的關鍵性步驟， 在後面的修改中加入了一些首篇文章中沒有的、CDS中出現的解決問題的細節。田在愛丁堡的報告中，就一個要點講了CDS的證明而未給出出處，且承認自己的證明技術上有困難。

http://www.icms.org.uk/workshops/ricci (Tian-EB, July 8^th, 2013)

在田的石溪報告中沒有“好的切錐”的定義。在CDS的工作中這個性質對於證明一列帶錐Kähler-Einstein度量的極限是代數的至為關鍵。

CDS文章中好的切錐在田的文章中變成引理5.8 (Tian1, 22頁)。 田在Tian1中給了半頁的證明。在CDS的第二篇文章出現後，Tian2中給出了更長的證明。

在田的石溪報告中沒有涉及下面兩個帶錐Kähler-Einstein流形極限的重要性質：

。全純自同構群是可約的，

。Futaki不變量Futβ∞為零。

 “Lemma 6.3. The Lie algebra η∞ of G∞ is reductive.” (Tian1, p28; Tian2, p35)

在Tian1 和 Tian2 中，田都試圖證明李代數是可約的。這個證明有個初級錯誤。

“Therefore, if we normalize X by multiplication by a complex number such that supM∞ θ∞ = 1, we want to show that the imaginary part of X is Killing. “ (Tian1, p28-29)

因為θ∞是個復值函數，我們無法取上確界。李代數可約性的證明是錯誤的。田在其2013年7月8日愛丁堡的報告上承認這個困難。在此報告中田討論了CDS的證明，但未指出其出處。詳情見下：

“Therefore, it suffices to produce a special degeneration of M to M₁. Since M₁ is in the closure of the orbit of M [in] CP^N under the action of SL(N + 1), we only need to show that the automorphism group of M1 is reductive.

This can be deduced from the uniqueness theorem due to Berndtsson and Berman. There is also a more direct proof.”(Tian-EB, part I)

上述兩行明顯來自於CDS。

“Then the uniqueness result of Berndtsson [4], as extended in [3], can be used to show that the automorphism group is reductive.” (CDS)

“Remark: If M₁ is smooth, then by standard arguments, one can prove that the group is reductive. But if M₁ is singular, one needs to pay attention to a technical problem caused by the singularity.” (Tian-EB, part I)

如CDS所指出的，由於奇點的出現，可約性的證明只能對自同構群做，不能直接對李代數做。在Tian1 和 Tian2 中，田都試圖證明李代數是可約的。

在Tian1, 28頁田用半頁討論廣義Futaki不變量為零。

“In our case, though ω∞ may not be smooth along D∞ even in the conic sense, using the Lipschtz continuity of θ∞, one can still prove the vanishing of fM∞,(1−β)D∞(X) by the

same arguments as in the smooth case.” (Tian1, p29; Tian2, p36)

上述一段是我們從Tian1和Tian2中找到的所有的極限流形的Futaki不變量為零的證明。在CDSIII的文章中他們花了很多篇幅證明這一關鍵的步驟（CDSIII，p31-36, p39-46）.

Tian1在關於帶錐奇點度量的錐角的計算也犯了初級錯誤。

“C4. For any x ∈ S2n−2, Cx = C′x × Cn−1, where C′x is a 2-dimensional flat cone of angle 2mπβ∞ for some integer m ≥ 1. (Tian1, p12)

“In our new case, the conic singularity of ωi along D may contribute a term close to 2mπβi in the slicing argument, this is how we can conclude that C′x is a 2-dimensional flat cone of angle 2mπβ∞.” (Tian1, p12)

“Lemma 5.5. For … (omitted), which is biholomorphic to C, of angle 2mπβ∞ < 2π. …(omitted) the Euclidean metric on Cn−1 with a conic metric on C′x of angle 2mπβ∞ < 2π.” (Tian1, p19)

“Remark 5.6. It follows from the volume comparison that 2mπβ∞ ≤ 2π. But x or y is a singularity, so 2mπβ∞ < 2π.” (Tian1, p19)

“(1) There is a tangent cone Cx of the form Cn−1 × C′x for a 2-dimensional flat cone C′x of angle 2mπβ∞, where m ∈ Z;

(2) … (omitted), any tangent cone Cy of Cx at y is of the form Cn−1 × C′y for a 2-dimensional flat cone C′y of angle 2mπβ∞.”(Tian1, p21)

在Tian2 上述角度的錯誤被稱為打字錯誤，更正為“(1 − μ) = m(1 − β∞)” (Tian2, p14). 這個正確的公式和CDSII的一樣:

“Proposition 13: We have the identity (1 − γ) = μi(1 − β∞).” (CDSII, p16)

在Tian1和Tian2中我們沒有看到定理3.2的證明。文章中只有一句話：

 “Using the same arguments in [CCT95], one can show: Theorem 3.2” (Tian1, p14)

註記5.6從Tian1到Tian2修改如下：

“Remark 5.6. It follows from the volume comparison that 2mπβ∞ ≤ 2π. But x or y is a singularity, so 2mπβ∞ < 2π.” (Tian1, p19)

“Remark 5.6. …(omitted) If β∞ < 1, since (1 − μa) = ma(1 − β∞) for some integer ma, there is a bound on l as well. In fact, one should be able to prove that there is a uniform bound on l depending only on λ.” (Tian2, p22)

從註記5.6我們看到田意識到正確的角度公式在β∞ < 1的情形給出重數的上界。他仍未意識到在β∞ = 1時重數可以是無窮。這兩種情形CDS在CDSII和CDSIII中分別作了研究。

“In this paper [CDSII] we consider the case when the limit β∞ is strictly less than 1. In the sequel [CDSIII] we will consider the case when β∞ = 1 and also explain, in more detail than in [8], how our results lead to the main theorem announced there.” (CDSII, p1-2)

數學家可以引用已有的結果，前提是這個結果是正確的。

“A general result of Evans-Krylov type is stated in [13] where two independent proofs are given, but at the time of writing we have had difficulty in following the one of these proofs that we have, so far, studied in detail. Partly for this reason, and partly because it has its own interest, we give a different approach (to achieve what we need) below.” (CDSII, p31)

“[13] T. Jeffres, R. Mazzeo, T. Rubinstein. Kähler-Einstein metrics with edge singularities. arXiv: 1105.5216” (CDSII)

                      田的文章依賴於他們的結果。

                “If supM ϕi is uniformly bounded, by the Harnack-type estimate in Theorem in [JMR11], the C⁰-norm of ϕi is uniformly bounded. So, by [JMR11] again, ϕi converge to a solution of (6.1) for β = β.” (Tian1, p28, [JMR11] = [CDSIII13])

“By our assumption and the results in [JMR11], ||ϕ_β||C⁰ diverge to ∞ as β tends to β.”(Tian2, p33)

III.                 結論

比較兩組作者的工作時我們發現兩個區別。第一，CDS的工作基於Donaldson幾年前提出的方案，在他們的系列文章中給出了關鍵的步驟和詳盡的細節，對於中間出現的困難給了充分的處理。他們建立了工作的基本框架，並給出了解決問題的細節，這兩者都算是原創性的貢獻。

第二，這兩組工作公之於眾長達數月的時間。在這段時間裡，有證據顯示，一個組的工作不斷地從另一組吸取想法。CDS近年來致力於此問題，建立了解決問題的框架，並在關鍵性問題上取得了突破。CDS的全文分三部分發表，全部公開用了十周。田的論文第一稿在CDS的工作第一部分三周后公開，加入了許多在石溪報告中聲稱解決此問題而沒有出現的關鍵步驟。田在CDS第二部分公開後又有修改稿。如前所示，田每次做的修改，其方法和技術都是從前面CDS公開的論文中借用的。

如前所述，伴隨着丘猜測證明出現的一些事件使得情況顯得混亂。我們從公開記錄的分析得出的結論是陳-Donaldson-孫對此問題做出了原創性的、創造性的貢獻。

中國科學技術大學教授

普林斯頓大學數學博士 胡森